Auxiliary-angle forms, ranges and interval solutions
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | ความสูง |
ผลกระทบสองอย่างที่เป็นคาบทำงานร่วมกัน สามารถกราฟที่เลื่อนตำแหน่งหนึ่งแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดรวมกันได้หรือไม่?
- มีผลจากฟังก์ชันสองแบบเกิดขึ้นพร้อมกัน กราฟที่เลื่อนไปด้านหนึ่งสามารถแสดงค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดรวมของทั้งสองได้หรือไม่?
- บทเรียนนี้ศึกษา แอมพลิจูด (Amplitude): ขนาดที่ไม่เป็นลบของการสั่นรอบเส้นศูนย์กลาง
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ a และ b ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งคู่ เขียน a cosθ+b sinθ=R cos(θ−α) โดยที่ R=√(a²+b²)>0, cosα=a/R และ sinα=b/R เลือก α ในจตุภาคที่ถูกต้อง รูปแบบไซน์ที่เทียบเท่า R sin(θ+β) จะมี sinβ=a/R และ cosβ=b/R ค่าคงที่ c จะเปลี่ยนช่วงให้เหลือ [c−R,c+R] หาก a=b=0 พจน์นี้จะเท่ากับศูนย์และไม่กำหนดเฟสที่เป็นเอกลักษณ์
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why is the amplitude of 3cos θ+4sin θ equal to 5 rather than 7?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Writing the sum as R cos(θ-α) needs R=√(a²+b²) so that cos and sin of α stay within [-1,1]. |a|+|b|=7 overstates the range; the true range of 2+3cosθ+4sinθ is [-3,7].
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
3cosθ+4sinθ=5cos(θ−α), โดยมี cosα=3/5, sinα=4/5 และ α≈0.927295 เรเดียน รูปแบบไซน์ของมันคือ 5sin(θ+β), โดยที่ β≈0.643501 เรเดียน ดังนั้น 2+3cosθ+4sinθ จึงมีค่าตั้งแต่ −3 ถึง 7 สำหรับ 3cosθ−4sinθ ให้ใช้ 5cos(θ+α) สำหรับ −3cosθ+4sinθ เฟสของโคไซน์จะอยู่ในจตุภาคที่ II ไม่ใช่ค่า arctangent หลักเชิงลบ เพื่อแก้ 3cosθ+4sinθ=2 บนช่วง [0,2π) ให้ตั้ง δ=arccos(2/5)≈1.159279 จากนั้น θ=α±δ+2kπ; ค่าที่อนุญาตได้สองค่าจะอยู่ที่ประมาณ 2.086575 และ 6.051201 เรเดียน หากด้านขวาของสมการมีค่า 6 จะไม่มีคำตอบ เนื่องจากแอมพลิจูดมีเพียง 5 เท่านั้น
Auxiliary-angle forms, ranges and interval solutions
For a and b not both zero, write a cosθ+b sinθ=R cos(θ−α), where R=√(a²+b²)>0, cosα=a/R and sinα=b/R
Explain how the angle formula follows from the geometric or coefficient conditions.
Find the amplitude of 3cosθ+4sinθ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
R=√(3²+4²)=5.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การคำนวณ arctan(b/a) แบบธรรมดาอาจเลือกจตุภาคผิดและล้มเหลวเมื่อ a=0 ต้องจับคู่สัมประสิทธิ์ทั้งของ sine และ cosine แอมพลิจูดคือ √(a²+b²) ไม่ใช่ |a|+|b| อย่าถือว่าค่า inverse cosine หลักเป็นคำตอบเดียว มุมหรือหน่วยวัดต้องตรงกับช่วงที่กำหนด
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
แอมพลิจูดของ a cosθ+b sinθ คือ |a|+|b| เสมอ ข้อความนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้อความนี้ละเมิดนิยามหรือข้อสันนิษฐานใด
Find the maximum of 2+3cosθ+4sinθ.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The maximum cosine value is 1, so 2+5=7.
The amplitude of a cosθ+b sinθ is always |a|+|b|.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A plain arctan(b/a) can select the wrong quadrant and fails when a=0. Match both sine and cosine coefficients. The amplitude is √(a²+b²), not |a|+|b|. Do not treat the principal inverse cosine value as the only solution. The angle-mode unit must match the stated interval.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ขยาย R cos(θ−α) หรือ R sin(θ+β) ที่เสนอไว้เพื่อตรวจสอบสัมประสิทธิ์และเครื่องหมายทุกตัว สำหรับสมการ ให้เปรียบเทียบเป้าหมายกับช่วงก่อน แล้วสร้างทั้งสองสาขาของเฟส และแปลงแต่ละสาขาด้วยรอบเต็มเข้าไปในช่วงเดิม ที่จุดปลายช่วงบนหรือล่าง สาขาทั้งสองจะทับซ้อนกัน modulo 2π
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find its minimum.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The minimum cosine value is −1, so 2−5=−3.
Match each auxiliary-form quantity to its definition.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A plain arctan(b/a) can pick the wrong quadrant; matching BOTH coefficients fixes α, and a right-hand side beyond ±R means no solution.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ขนาดที่ไม่เป็นลบของการสั่นรอบเส้นศูนย์กลาง เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบข้อสันนิษฐาน และตีความผลลัพธ์