C · Coordinate geometry

AQA A-level Mathematics 7357, ส่วน C (เรขาคณิตพิกัด), เวอร์ชัน 1.3 (การประเมินผลครั้งแรก 2018). หมายเหตุการสอนดั้งเดิม

ความรู้พื้นฐาน: เส้นตรง GCSE, Pythagoras และสมการกำลังสอง

นี่คือตัวอย่างการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่วัสดุอย่างเป็นทางการของ AQA

คำถาม

• หน้าตัดของจานดาวเทียมและขอบล้อรถล้วนเป็นวงกลม แต่มีเพียงขอบล้อเท่านั้นที่เขียนเป็นสมการ (x − a)² + (y − b)² = r² ที่สามารถอ่านจุดศูนย์กลางได้ทันที สมการนั้นให้คุณประโยชน์อะไร?
• Before reading on, say what the parameters a, b and r each control, and how a tangent direction could be found without differentiation.

วิธีทำ

• เส้นตรงผ่าน (x₁, y₁) ด้วย ความชัน m คือ y − y₁ = m(x − x₁). เส้นขนานมีความชันเท่ากัน; ความชัน finite ของเส้นตั้งฉากที่สอดคล้องกับ m₁ × m₂ = −1.
• วงกลม ที่มีจุดศูนย์กลาง (a, b) และรัศมี r คือ (x − a)² + (y − b)² = r². รังสีไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับ เส้นสัมผัส ที่จุดนั้น ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสคือค่าลบของส่วนกลับของความชันของรังสี เส้นผ่านศูนย์กลางทำมุมฉากกับส่วนโค้ง
• ความชัน: การเปลี่ยนแปลงของ y ต่อหน่วยการเปลี่ยนแปลงของ x; วงกลม: เซตของจุดที่มีระยะห่างคงที่จากจุดศูนย์กลาง; เส้นสัมผัส: เส้นที่สัมผัสวงกลมที่จุดเดียว ตั้งฉากกับรัศมีที่จุดนั้น

ตรวจสอบคำตอบของคุณ

• ตรวจสอบว่าจุดที่เสนออยู่บนวงกลมโดยการแทนค่าลงใน (x − a)² + (y − b)² = r² ก่อนสร้างเส้นสัมผัสที่จุดนั้น จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อช่วยหาจุดศูนย์กลางจากรูปแบบที่กระจาย x² + y² + px + qy + s = 0 — และปรับฝั่งขวาด้วย
• ตัดเส้นตรงกับวงกลมด้วยการแทนค่า: รากซ้ำหมายถึงการสัมผัส, สองรากคือสายคอร์ด, และดีคริมิแนนต์ติดลบหมายถึงไม่ตัดกัน

กรณีฝึกทำ

• ข้อมูลกำหนด: วงกลม x² + y² = 25 และจุด (3, 4) อยู่บนวงกลม (3² + 4² = 25 ✓). รังสีจาก (0, 0) ไปยัง (3, 4) มีความชัน 4/3, ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสคือ −3/4 โดย m₁ × m₂ = −1. เส้นสัมผัสคือ y − 4 = −(3/4)(x − 3), ซึ่งจัดรูปใหม่ได้ 3x + 4y = 25.

ตัวอย่าง:

หาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 โดยใช้ลำดับเดียวกัน: จัดกลุ่มพจน์ → ทำกำลังสองสมบูรณ์ → อ่านรูปแบบ (คำตอบ: (x − 2)² + (y + 1)² = 25 ดังนั้นจุดศูนย์กลางคือ (2, −1) และรัศมีคือ 5; หมายเหตุว่าเครื่องหมายในวงเล็บจะกลับด้านเมื่อระบุจุดศูนย์กลาง)

ขอบเขตกับกับดัก

• กฎค่าลบผกผันต้องใช้ความชันที่มีค่าจำกัดและไม่เป็นศูนย์; รัศมีแนวนอนทำให้เส้นสัมผัสเป็นแนวตั้ง เขียนได้เป็น x = ค่าคงที่ เกลี่ยงที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นผ่านศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับเกลี่ยงคือทางลัดสามเหลี่ยมมุมฉาก: ครึ่งของความยาวเกลี่ยง รัศมี และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เตือน:

เส้นสัมผัสที่จุดบนวงกลมมีความชันเท่ากับรัศมีไปยังจุดนั้น ประโยคนี้ไม่ถูกต้อง: รัศมีและเส้นสัมผัสตั้งฉากกันที่จุดสัมผัส ดังนั้นผลคูณของความชันจึงเท่ากับ −1 — ที่จุด (3, 4) รัศมีมีความชัน 4/3 และเส้นสัมผัสมีความชัน −3/4

จุดสำคัญ:

เรขาคณิตเชิงพิกัด: เส้นตรงกำหนดโดยจุดและความชัน วงกลมกำหนดโดย (x − a)² + (y − b)² = r² การหาเส้นสัมผัสใช้ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีกับเส้นสัมผัสที่ตั้งฉากกัน ส่วนการหาจุดตัดใช้วิธีแทนค่าและค่าดิสคริมิแนนท์