การประมาณค่าสำหรับมุมเล็กและขีดจำกัดของมัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | ค่าประมาณ |
การหมุนเล็กน้อยทำให้ลูกศรเคลื่อนที่เกือบในแนวราบ เมื่อใดการใช้แทนฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยมุมเองจึงมีความแม่นยำเพียงพอ?
- การหมุนเล็กน้อยทำให้ลูกศรเคลื่อนที่เกือบในแนวราบ เมื่อใดการใช้แทนฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยมุมเองจึงมีความแม่นยำเพียงพอ?
- บทเรียนนี้ศึกษาเรื่อง ค่าประมาณ: ค่าที่ใกล้เคียงกันซึ่งง่ายกว่า ซึ่งใช้ร่วมกับข้อจำกัดความแม่นยำที่กำหนดไว้
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- เมื่อ θ ใกล้เคียงศูนย์และวัดเป็นเรเดียน sinθ≈θ, tanθ≈θ และ cosθ≈1−θ²/2 สิ่งเหล่านี้เป็นค่าประมาณ ไม่ใช่เอกลักษณ์ พจน์ของ sine/tangent ที่ถูกตัดออกเริ่มที่ลำดับ θ³; พจน์ของ cosine ที่ถูกตัดออกเริ่มที่ลำดับ θ⁴ มุมที่มีค่าน้อยลงโดยทั่วไปจะปรับปรุงค่าประมาณในพื้นที่นี้ได้ดีขึ้น
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไม sin θ≈θ ถึงไม่ถูกต้องเมื่อป้อนมุมในหน่วยองศา?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ขีดจำกัดของมุมเล็กมาจากเรขาคณิตของเรเดียน ซึ่งความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมีคูณกับมุม ในหน่วยองศา ค่าทุกค่าจะลดลงด้วย π/180 ดังนั้นการเขียน sin 1°≈1 จึงผิดไปประมาณ 57 เท่า
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ที่ θ=0.1 เรเดียน sinθ≈0.1 (ค่าจริง 0.0998334), tanθ≈0.1 (ค่าจริง 0.100335) และ cosθ≈0.995 (ค่าจริง 0.995004) ค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์อยู่ที่ประมาณ 0.000167, 0.000335 และ 0.00000417 สำหรับ 6(1−cos x)=0.03 ให้ประมาณค่า 1−cos x ด้วย x²/2: 3x²≈0.03 ดังนั้น x≈±0.1 เรเดียน ตรวจสอบสมมติฐานมุมเล็กหลังแก้สมการ; แทนค่า x=0.1 จะได้ 0.0299750 แทนที่จะเป็น 0.03 อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ sin(2x)/x≈2 สำหรับ x ที่มีค่าน้อยและไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่ 1−cos(2x)≈2x²
การประมาณค่าสำหรับมุมเล็กและขีดจำกัดของมัน
เมื่อ θ มีค่าน้อยมากและวัดเป็นเรเดียน, sinθ≈θ, tanθ≈θ และ cosθ≈1−θ²/2
อธิบายเงื่อนไขแต่ละข้อก่อนใช้สูตรตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้อง
ใช้สูตรมุมเล็กเพื่อประมาณค่า sin(0.2 เรเดียน)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ โดยที่ θ=0.2 เรเดียน
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- องศาไม่สามารถใช้กับสูตรเหล่านี้ได้: sin(1°)≈π/180 ไม่ใช่ 1 เขียน ≈ แทน = การลบอาจทำให้ค่าความผิดพลาดสัมพัทธ์สำคัญมากขึ้น; รักษาก่อนหน้า θ² ไว้ใน 1−cosθ อัตราส่วนที่ θ=0 อาจไม่มีค่าแม้ว่าลิมิตใกล้เคียงจะมีอยู่ก็ตาม
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
สูตร sinθ≈θ มีผลใช้ได้อย่างเท่าเทียมสำหรับมุมที่ป้อนเข้าเป็นองศา ข้ออ้างนี้ไม่ถูกต้อง อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
ประมาณค่า cos(0.2 เรเดียน)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1−0.2²/2=0.98.
สูตร sinθ≈θ มีผลใช้ได้เท่ากันสำหรับมุมที่ป้อนในหน่วยองศา
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
องศาไม่สามารถใช้ในสูตรเหล่านี้: sin(1°)≈π/180 ไม่ใช่ 1 เขียน ≈ แทนที่จะเป็น = การลบอาจทำให้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สำคัญมากขึ้น; รักษาทerm θ² ไว้ใน 1−cosθ สัดส่วนที่ θ=0 อาจไม่ถูกกำหนด แม้ว่าจะมีขีดจำกัดใกล้เคียงอยู่ก็ตาม
ตีความสถานการณ์ใหม่
- แปลงเป็นเรเดียนก่อนและระบุพารามิเตอร์ของแต่ละฟังก์ชันตรีโกณมิติ: sin(3x)≈3x ไม่ใช่ x สำหรับโมเดล ให้เปรียบเทียบค่าความผิดพลาดของการประมาณกับความละเอียดที่ต้องการ หากคำตอบไม่ใช่ค่าเล็ก ให้ใช้สมการตรีโกณมิติเดิม; สูตรเหล่านี้ไม่มีเกณฑ์ความแม่นยำสากล
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
ให้คำตอบบวกโดยประมาณของ 6(1−cos x)=0.03 ในหน่วยเรเดียน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3x²≈0.03 ทำให้ x²≈0.01 ดังนั้นรากเชิงบวกคือ 0.1
จับคู่การประมาณค่ามุมเล็กแต่ละตัวกับพจน์แรกที่ถูกตัดออก
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
นี่คือการประมาณที่มีขีดจำกัดความแม่นยำ - เขียน ≈, ใช้ θ เป็นเรเดียน และรักษาพจน์ θ² ไว้เพื่อป้องกันการหักล้างของ 1
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · E. จับคู่ระดับเป้าหมายและข้อกำหนดก่อนกำหนดส่วนขยาย
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ค่าที่ใกล้เคียงกันซึ่งง่ายกว่า ซึ่งใช้ร่วมกับข้อจำกัดความแม่นยำที่กำหนดไว้ เลือกความสัมพันธ์ appropriate แสดงวิธีการ ตรวจสอบเงื่อนไขสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์