Geometric sums, alternating ratios and convergence
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
การชำระเงินสลับข้างอาจมีผลรวมสะสมที่คงที่ ทำไมค่าอัตราส่วนลบจึงไม่ป้องกันไม่ให้ลู่เข้าหาจุดหนึ่งโดยอัตโนมัติ?
- การชำระเงินสลับข้างอาจมีผลรวมสะสมที่คงที่ ทำไมค่าอัตราส่วนลบจึงไม่ป้องกันไม่ให้ลู่เข้าหาจุดหนึ่งโดยอัตโนมัติ?
- บทเรียนนี้ศึกษา อัตราส่วนร่วม: ตัวคูณคงที่ที่คูณแต่ละพจน์เพื่อให้ได้พจน์ถัดไป
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับพจน์แรก a และอัตราส่วน r ที่ไม่ใช่ศูนย์, u_n=ar^(n−1). ถ้า r=0, พจน์จะเป็น a,0,0,…, หลีกเลี่ยงการเขียนรูป 0^0 ที่พจน์แรก. สำหรับ r≠1, ผลรวมจำกัดคือ S_n=a(1−r^n)/(1−r); สำหรับ r=1 คือ na. สำหรับ a ที่ไม่ใช่ศูนย์, ผลรวมอนันต์ของเรขาคณิตมีอยู่เมื่อ |r|<1 และมีค่าเท่ากับ a/(1−r). อัตราส่วนลบจะสลับเครื่องหมาย; การลู่เข้าขึ้นอยู่กับขนาดของมัน ไม่ใช่เพียงเครื่องหมาย
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why does the series with a=6, r=-1/2 converge despite alternating signs?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only the size of the ratio decides: |r|=1/2<1, so the terms tend to zero and the sum is 6/(1+1/2)=4. The sign merely makes partial sums alternate above and below 4.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ a=6 และ r=−1/2, พจน์ต่าง ๆ คือ 6,−3,3/2,−3/4,… . ผลรวมสี่พจน์แรกคือ 15/4=3.75. สูตรผลจำกัดให้ S₄=6[1−(−1/2)^4]/(1+1/2)=15/4. เนื่องจาก |r|=1/2<1, S infinity=6/(1+1/2)=4. The signed remainder is 4−S_n=4(−1/2)^n, so odd partial sums are above 4 and even partial sums below 4. For error below 0.01, require 4/2^n<0.01. At n=8 the error is 1/64>0.01; ที่ n=9 ค่าจะเป็น 1/128<0.01, ดังนั้น 9 พจน์จะตรงกับเงื่อนไขเป็นครั้งแรก.
Geometric sums, alternating ratios and convergence
For first term a and nonzero ratio r, u_n=ar^(n−1)
Check which series formula answers the question and whether its conditions hold.
Find u₃ for a=6 and r=−1/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u₃=6(−1/2)²=6/4=1.5.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- อย่าแทนที่ r=−1/2 ด้วย r=1/2 ในสูตรผลรวมจำกัด: ความคู่-คี่ของ n มีความสำคัญ สูตรผลรวมอนันต์ไม่ถูกต้องที่ r=1 หรือ r=−1 สำหรับ a ที่ไม่ใช่ศูนย์; พจน์ของพวกมันไม่ลู่เข้าหาศูนย์ ผลรวมจำกัดอาจมีอยู่แม้ว่าผลรวมอนันต์ต่อจากนั้นจะไม่ลู่เข้า
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดที่มีอัตราส่วนลบจะไม่ลู่เข้า ประโยคนี้ผิด อธิบายว่าข้อสรุปนี้ละเมิดนิยามหรือข้อสันนิษฐานใด
Find its first-four-term sum.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−3+3/2−3/4=15/4=3.75.
Every geometric series with a negative ratio diverges.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not replace r=−1/2 by r=1/2 in the finite formula: the parity of n matters. The infinite sum formula is not justified at r=1 or r=−1 for nonzero a; their terms do not tend to zero. A finite sum can exist even when its infinite continuation diverges.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ตรวจสอบพจน์แรกและผลรวมย่อยโดยตรงก่อนใช้สูตร. ถ้า |r|>1 และ a ไม่ใช่ศูนย์, ขนาดของพจน์จะเพิ่มขึ้นแทนที่จะหายไป ที่ r=−1, ผลรวมย่อยจะสลับระหว่าง a และ 0 แทนที่จะเข้าใกล้ค่าเดียว. อนุกรมศูนย์ a=0 เป็นกรณีพิเศษที่เสื่อมสภาพ; ระบุกรณีนี้แทนการใช้ข้อสรุปเรื่องการลู่เข้าสำหรับพจน์แรกที่ไม่ใช่ศูนย์
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find its infinite sum.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Since |r|<1, the infinite sum is 6/(1+1/2)=4.
Match each geometric quantity to its formula.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The exponent is n-1 because the first term carries r^0; the infinite formula is unjustified at r=±1 where terms do not shrink.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · D. ตรวจสอบระดับเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ตัวคูณคงที่ที่คูณแต่ละพจน์เพื่อให้ได้พจน์ถัดไป เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบข้อสันนิษฐาน และตีความผลลัพธ์