อินทิกรัลในแง่ของลิมิตของผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำศัพท์

English	ความหมาย
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	ผลบวกของรีมันน์

ชุดสี่เหลี่ยมจำกัดจำนวนขาดส่วนหนึ่งของพื้นที่โค้ง着什么 changes as the strip width tends to zero?

ชุดสี่เหลี่ยมจำกัดจำนวนขาดส่วนหนึ่งของพื้นที่โค้ง着什么 changes as the strip width tends to zero?
บทเรียนนี้ศึกษา ผลบวกรีแมน: ผลรวมของค่า CONTRIBUTION จากสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเครื่องหมายซึ่งเข้าใกล้ค่าอินทิกรัลเมื่อการแบ่งช่วงละเอียดขึ้น

เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์

สำหรับ n ช่วงเท่ากันบน [a,b] ความกว้าง h=(b−a)/n ผลบวกปลายขวาคือ h คูณด้วยผลรวมของ f(a+kh) สำหรับ k=1,…,n; ผลบวกปลายซ้ายใช้ k=0,…,n−1. สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f ค่าลิมิตของทั้งสองเมื่อ n มีค่าเป็นอนันต์จะเท่ากับอินทิกรัล ผลรวมจำกัดเป็นการประมาณค่า; ลิมิตคือผลสะสมที่มีเครื่องหมายที่แม่นยำ
ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข

ฝึกฝน

สำหรับ x² ในช่วง [0,1], L₂=1/8 และ R₂=5/8 ทำไมจำนวนเหล่านี้จึงจำกัดค่าอินทิกรัลที่แท้จริง?

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

เพราะ 1/3 อยู่ระหว่างมันโดยบังเอิญ
x² เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ดังนั้นจุดปลายด้านซ้ายจะประเมินค่าต่ำกว่า และจุดปลายด้านขวาจะประเมินค่าสูงกว่าทุกแถบ
ผลบวกทั้งหมดจำกัดค่าอินทิกรัลทั้งหมด

ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ

$$\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n k^2=\frac13=\int_0^1 x^2\,dx$$

ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม

Example

สำหรับ f(x)=x² บน [0,1], h=1/n. ผลรวมด้านขวา R_n=(1/n³) ผลรวมจาก k=1 ถึง n ของ k²=(n+1)(2n+1)/(6n²)=1/3+1/(2n)+1/(6n²). ผลรวมด้านซ้าย L_n=(n−1)n(2n−1)/(6n³)=1/3−1/(2n)+1/(6n²). เมื่อ n=2, L_2=1/8 และ R_2=5/8; ทั้งสองขอบเขตอินทิกรัลที่แท้จริง 1/3 เพราะ x² เพิ่มขึ้นในช่วงนี้. ความต่าง theirs คือ 1/n, ลู่เข้าสู่ศูนย์. นิยามเดียวกันนี้ให้ส่วนร่วมที่มีเครื่องหมาย: สำหรับ f=−2 บน [0,1], ผลรวมเหล่านี้ทั้งหมดเป็น −2, mientras areaเรขาคณิตบวกคือ 2.

การอินทิเกรตในรูปของลิมิตของผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้า — แผนภาพการสอนต้นฉบับ

สำรวจ

อินทิกรัลในแง่ของลิมิตของผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สำหรับ n สี่เหลี่ยมผืนผ้าบน [a,b] ความกว้าง h=(b−a)/n

ตรวจสอบสมมติฐาน จุดปลายและสัมประสิทธิ์เบื้องหลังการคำนวณอินทิกรัลแต่ละครั้ง

ฝึกฝน

หาค่า L_2 สำหรับ x² บนช่วง [0,1]

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ

คูณด้วยความกว้างของแถบ: การบวกเพียงความสูงจะได้หน่วยที่ผิดและลิมิตที่ผิด ผลบวกปลายซ้ายรวม k=0 และไม่รวม k=n; ผลบวกปลายขวาทำตรงกันข้าม ฟังก์ชันเพิ่มให้ขอบเขตทางซ้าย/ขวา แต่กฎต้องตรวจสอบกับช่วงจริง ผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้าและกฎทราปเซซียมเป็นการประมาณค่าแบบจำกัดที่แตกต่างกัน ความสูงติดลบมีค่า CONTRIBUTION เป็นลบ
เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น

Watch out

ผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้าปลายขวาแบบจำกัดเป็นอินทิกรัลที่แม่นยำของเส้นโค้งต่อเนื่องทุกเส้น ข้ออ้างนี้ผิด อธิบายว่าข้ออ้างนั้นละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด

ฝึกฝน

หาค่า R_2

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

ผลบวกสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขวาที่มีจำนวนจำกัด เป็นค่าอินทิกรัลที่แท้จริงของเส้นโค้งต่อเนื่องทุกเส้นอยู่แล้ว

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

ตีความสถานการณ์ใหม่

เขียนการแบ่งช่วง จุดประเมิน และขีดจำกัดของ sigma ก่อนการลดรูป ใช้เอกลักษณ์ผลรวมจำกัด แล้วหาลิมิต เปรียบเทียบขอบเขตจำกัดกับผลลัพธ์ของฟังก์ชันพหุนามเพื่อเป็นการตรวจสอบอิสระ นี่คือเหตุผล H4 ลิมิตที่แม่นยำ; ทราปเซซียมเชิงตัวเลขเป็นของ I3 และไม่สามารถแทนที่การวิเคราะห์ลิมิตได้
คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่

ฝึกฝน

หาลิมิตร่วมของ L_n และ R_n

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

ฝึกฝน

จับคู่คุณลักษณะของผลบวกรีแมนกับกฎที่เกี่ยวข้อง

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

เลือกไม้จิ้มฟันหนึ่งอัน แล้วเลือกจุดหมายปลายทาง เลือกไม้จิ้มฟันสองอันเพื่อสลับกัน กด Escape เพื่อยกเลิกการเลือก คุณสามารถลากไม้จิ้มฟันได้

h=(b-a)/n, คูณด้วยความสูงทุกค่า

k นับจาก 1 ถึง n

k นับจาก 0 ถึง n-1

ความกว้างของแถบ
ผลบวกด้านขวา
ผลบวกด้านซ้าย

ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ

7357 · A-level · H. จับคู่ระดับเป้าหมายและสเปกก่อนกำหนดงานเสริม
ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก

Key idea

ผลรวมของค่า CONTRIBUTION จากสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเครื่องหมายซึ่งเข้าใกล้ค่าอินทิกรัลเมื่อการแบ่งช่วงละเอียดขึ้น เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีการ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์