First-principles sine and cosine derivatives
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| radian limit/ˈreɪdɪən ˈlɪmɪt/ | ลิมิตหน่วยวัด弧度 |
จุดที่หมุนมีพิกัดไซน์และโคไซน์ การเปลี่ยนแปลงพิกัดเล็กน้อยของจุดนี้นำไปสู่สูตรอนุพันธ์ที่แม่นยำได้อย่างไร?
- จุดที่หมุนมีพิกัดไซน์และโคไซน์ การเปลี่ยนแปลงพิกัดเล็กน้อยของจุดนี้นำไปสู่สูตรอนุพันธ์ที่แม่นยำได้อย่างไร?
- บทเรียนนี้ศึกษา ลิมิตเรเดียน: ลิมิตมุมเล็กที่ใช้กับมุมที่วัดในหน่วยเรเดียน
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ในหน่วยเรเดียน, sin h/h มีค่าเข้าหา 1 และ (cos h−1)/h มีค่าเข้าหา 0 เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์ การใช้สูตรการบวกมุมในอัตราส่วนผลต่างจะได้ d(sin x)/dx=cos x และ d(cos x)/dx=−sin x. ลิมิตเหล่านี้กำหนดความชันของเส้นสัมผัส; ต้องใช้อินพุตเป็นเรเดียนเท่านั้น
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
Why do the derivative formulas for sin and cos require radians?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The geometric limit sin h<h<tan h is a statement about arc lengths in radians. In degrees the limit is π/180, and every derivative picks up that factor.
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ sin x, [sin(x+h)−sin x]/h=sin x[(cos h−1)/h]+cos x[sin h/h], มีค่าเข้าหา cos x. สำหรับ cos x อัตราส่วนคือ cos x[(cos h−1)/h]−sin x[sin h/h], มีค่าเข้าหา −sin x. ใกล้ศูนย์ อสมการวงกลมหน่วย sin h<h<tan h สำหรับ 0<h<π/2 จะจำกัดค่า sin h/h ไว้ระหว่าง cos h และ 1; ค่า h เชลบอกอัตราส่วนเดียวกัน Besides (cos h−1)/h=−2sin²(h/2)/h มีค่าเข้าหาศูนย์ โดยใช้ sin(h/2)/(h/2)→1. ที่ x=π/6, ความชันของไซน์คือ √3/2 และความชันของโคไซน์คือ −1/2. สำหรับไซน์ที่ x=0, h=0.1 ให้ sin(0.1)/0.1≈0.998334; ที่ h=−0.1 อัตราส่วนจะเท่ากัน
First-principles sine and cosine derivatives
In radians, sin h/h tends to 1 and (cos h−1)/h tends to 0 as h tends to zero
Connect a derivative calculation to its limit or gradient sign interpretation.
Find the derivative of sin x at x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The sine proof gives cos0=1.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การประมาณมุมเล็กไม่ใช่สมการที่ถูกต้องสำหรับ h有限. อนุพันธ์ของโคไซน์มีเครื่องหมายลบ. หากตัวแปร θ วัดในหน่วยองศา, d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); สูตรเรเดียนไม่สามารถใช้ซ้ำได้โดยไม่คูณด้วยปัจจัยนั้น. อย่าใช้สูตรอนุพันธ์เพื่อพิสูจน์ลิมิตเริ่มต้น
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อนุพันธ์ของ cos x คือ sin x บวก สำหรับ x เรเดียน. ข้ออ้างนี้เป็นเท็จ อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
Find the derivative of cos x at x=π/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The cosine proof gives −sin(π/2)=−1.
The derivative of cos x is positive sin x for radian x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A small-angle approximation is not an exact finite-h equality. The cosine derivative has a minus sign. If a variable θ is measured in degrees, d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); the radian formula cannot be copied without that factor. Do not use the derivative formula itself to prove the starting limit.
ตีความสถานการณ์ใหม่
- เริ่มต้นจากอัตราส่วนผลต่างเดิมและใช้สูตรการบวกก่อนนำลิมิตเรเดียนทั้งสองมาใช้งาน. รักษาสัมประสิทธิ์คงที่ sin x/cos x และเครื่องหมาย它们的. ตรวจสอบความชันที่จุดเฉพาะเทียบกับกราฟที่กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง; การพิสูจน์นี้ใช้ได้กับทุกค่า x เรเดียนจริง ไม่เพียงแต่ใกล้ x=0 เท่านั้น
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
Find the derivative of sin x at x=π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The sine proof gives cosπ=−1.
Match each radian limit to its value as h→0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The difference quotient for sine splits into cos x·(sin h/h)+sin x·((cos h-1)/h), and the two limits deliver cos x.
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- 7357 · A-level · G. ตรงกับชั้นเป้าหมายและสเปกซิฟิเคชันก่อนกำหนดการขยายเนื้อหา
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ลิมิตมุมเล็กที่ใช้กับมุมที่วัดในหน่วยเรเดียน. เลือกความสัมพันธ์, แสดงวิธีการ, ตรวจสอบสมมติฐานและตีความผลลัพธ์