GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

Планета движется с ускорением даже при постоянной скорости: скорость включает направление.

Предварительные требования: 47.

• Применять ньютоновские, лагранжевы и гамильтоновы описания
• Анализировать вращение, центральные силы и колебания
• Использовать законы сохранения вместе с условиями их применения

Второй закон Ньютона — векторное утверждение. Выберите систему координат и определите связи до разложения на компоненты.

Закон сохранения энергии применим, когда работа неконсервативных сил учтена; закон сохранения импульса требует нулевого суммарного внешнего импульса.

Для малых колебаний линеаризуйте задачу вокруг устойчивого равновесия. Восстанавливающая сила, пропорциональная смещению, обеспечивает гармонические колебания.

Уравнения Лагранжа используют L=T−V и обобщённые координаты. Этот формализм для студентов бакалавриата отличается от школьного метода замены сил.

Выберите инерциальную систему отсчёта и координату x, отсчитываемую от положения равновесия пружины. Для консервативной пружины лагранжев подход позволяет избежать решения уравнений связей.

При m = 2.0 кг и k = 18 Н/м, Положительная жёсткость обеспечивает устойчивое движение. Единицы измерения k/m — обратные секунды в квадрате.

Сохранение кинетической энергии не выполняется во всех столкновениях, даже если сохраняется импульс.

Лагранжиан: Кинетическая энергия минус потенциальная энергия для стандартной механической системы.

момент импульса: Момент линейного импульса относительно опорной точки.

Нулевое электрический потенциал в точке не означает нулевого электрического поля в ней.

Предварительные требования: 13, 14, 15, 29, 30.

• Использовать электростатические потенциалы, поля и закон Гаусса
• Анализировать цепи, магнетизм и индукцию
• Применять уравнения Максвелла и связи электромагнитных волн

Электрическое поле есть отрицательный градиент потенциала. Значение и пространственное изменение — разные величины.

Используйте закон Гаусса с учётом симметрии. Известный полный поток сам по себе не определяет поле в каждой точке поверхности.

Законы Кирхгофа описывают заряд и энергию в цепях. Вызванная ЭДС следует за изменением магнитного потока со знаком по закону Ленца.

Уравнения Максвелла связывают электрические и магнитные поля. В вакууме волна имеет E/B=c и переносит энергию.

Сферическая оболочка имеет радиус R и равномерный заряд Q. Примите ноль потенциала на бесконечности. Сферическая симметрия позволяет закону Гаусса определить поле снаружи.

Внутри заключённый заряд равен нулю, а симметрия даёт E = 0. Непрерывность обеспечивает Потенциал внутри отличен от нуля и постоянен. Нулевой градиент, а не нулевое значение, даёт нулевое поле. Радиальное поле скачкообразно меняется на заряженной поверхности.

Не используйте закон Гаусса для утверждения о однородном поле на произвольной несимметричной поверхности.

поток: Поверхностный интеграл нормальной компоненты поля.

потенциал: Потенциальная энергия на единицу заряда.

Две отдельные яркие волны могут погасить друг друга в точке, если их фазы противоположны.

Предварительные требования: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Анализ суперпозиции волн и интерференции
• Применение дифракции, поляризации и оптического изображения
• Связь фазы, частоты и дисперсии

Сложите амплитуды волн, затем вычислите интенсивность. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды для той же среды.

Разность хода вызывает разность фаз 2πΔ/λ. Для когерентных источников необходима стабильная относительная фаза.

Для одной щели минимумы удовлетворяют условию a sin θ=mλ для ненулевых целых m. Двойная щель имеет иное условие интерференции.

Геометрическая оптика требует установленной системы знаков. Волновые эффекты значимы, когда апертуры сопоставимы с длиной волны.

Когерентные волны имеют стабильную разность фаз. Складывайте амплитуды перед возведением в квадрат.

При равных индивидуальных интенсивностях I0 и разности хода в четверть длины волны, Это не является ни максимумом, ни минимумом. Случайная относительная фаза устраняет перекрестное слагаемое при длительном усреднении; стабильная когерентность — это физическое условие, а не условность чертежа.

Центральный максимум от одной щели не получается подстановкой m=0 в условие минимума.

когерентность: Стабильное фазовое соотношение между волнами.

дифракция: Распространение волн и интерференция, вызванные апертурой или препятствием.

Два двигателя могут подчиняться закону сохранения энергии, но только один соблюдает ограничение по эффективности, накладываемое вторым началом термодинамики.

Предварительные требования: 19, 20, 34, 35, 36.

• Применять первое и второе начала с учетом знаковой конвенции
• Устанавливать связь между ансамблями, факторами Больцмана и энтропией
• Анализировать идеальные газы, тепловые двигатели и квантовую статистику

Указать знаковую конвенцию для первого начала: ΔU=Q−W, где W — работа, совершенная системой над окружающей средой.

Для обратимого двигателя между резервуарами эффективность ограничена формулой 1−Tc/Th при использовании абсолютных температур.

Веса Больцмана равны exp(−E/kT). Вероятности вычисляются путем деления на функцию распределения (сумму состояний).

Различать предположения Максвелла–Больцмана, Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака. Фермионы не могут занимать одинаковое одночастичное состояние.

Принимать работу W, совершаемую газом, за положительную величину. Первое начало термодинамики имеет вид

При обратимом изотермическом расширении идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры T, поэтому Для n = 0.50 моль, T = 300 К и удвоенного объема, Газ расширяется и получает тепло. Резервуар теряет ту же величину энтропии в этом обратимом пределе.

Отношения температур по шкале Цельсия нельзя использовать в формуле КПД цикла Карно.

энтропия: Функция состояния, связанная с числом доступных микросостояний и обратимым теплообменом.

функция распределения (сумма состояний): Сумма статистических весов, используемая для нормировки вероятностей.

Частица в ящике не может иметь нулевую энергию основного состояния. Её локализация изменяет допустимый набор квантовых состояний.

Предварительные требования: 24, 37, 38, 39.

• Использовать волновые функции, операторы и вероятности измерений
• Решать стандартные модели связанных состояний и рассуждения о туннелировании
• Применять принципы момента импульса, спина и атомной спектроскопии

Волновая функция состояния должна удовлетворять граничным условиям модели и иметь полную вероятность, равную единице: проинтегрируйте |ψ(x)|² по допустимой области. Для ортонормированных состояний φ_j суперпозиция ψ=Σc_jφ_j имеет квадрат нормы Σ|c_j|², поскольку перекрестные члены при интегрировании дают ноль. Таким образом, в равновесной суперпозиции N ортонормированных состояний модуль коэффициента равен 1/sqrt(N). Вероятность обнаружения определенного уровня энергии составляет |c_j|², а не c_j. Относительные фазы могут влиять на вероятности положения даже при неизменных энергетических вероятностях.

Наблюдаемая величина представляется эрмитовым оператором. Его собственные значения вещественны, а нормированное состояние дает среднее значение ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Среднее значение — это усреднение по многократным приготовлениям системы, а не обязательно результат одного измерения. Если A удовлетворяет полиномиальному тождеству, примените его к собственному состоянию: для A⁴=I вещественное собственное значение должно быть +1 или −1. Сложный корень четвертой степени исключен свойством эрмитовости, хотя он и является решением полинома.

Для бесконечного потенциального ямы 0<x<L, условие ψ(0)=ψ(L)=0 допускает синусоидальные моды sin(nπx/L), где n=1,2,… . Их энергии равны E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), поэтому основное состояние не равно нулю, а удвоение L делит каждую энергию на четыре. Эквивалентное выражение через h имеет вид n²h²/(8mL²); никогда не подставляйте h вместо $\hbar$ без его множителя π2. Конечный барьер вместо этого допускает экспоненциальные хвосты, а бегущая волна в классически разрешенной области имеет осциллирующую, а не экспоненциально убывающую пространственную зависимость.

Операторы коммутируют, когда [A,B]=AB−BA=0; совместимые наблюдаемые могут иметь общий базис собственных векторов. Поскольку кинетическая энергия p²/(2m) является функцией импульса p, она коммутирует с p. Потенциал, зависящий от координаты, как правило, приводит к тому, что гамильтониан H=p²/(2m)+V(x) не коммутирует с p. Момент импульса подчиняется соотношению [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z и циклическим перестановкам, тогда как J² коммутирует с каждым из компонентов. Атомные переходы связаны с обменом положительной энергией фотона, равной разности уровней; правила отбора, связанные с моментом импульса и механизмом, ограничивают возможные переходы.

Бесконечная потенциальная яма простирается от 0 до L. Исчезновение волновой функции на обоих концах дает

Подготовьте $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Ортогональность обеспечивает единичную норму. Измерения энергии дают E1 или 4E1 с равной вероятностью: Это среднее значение не является допустимым результатом отдельного измерения. Относительная фаза изменяется со временем, поэтому суперпозиция различных энергий не является стационарным состоянием.

Стационарное состояние может иметь ненулевую энергию, даже если его плотность вероятности не зависит от времени.

нормировка: Обеспечение того, чтобы полная вероятность была равна единице.

оператор: Математическое действие, представляющее наблюдаемую величину.

Точный прибор может давать последовательно неверные результаты при сдвиге его калибровки.

Предварительные требования: 21, 22, 42, 43, 44.

• Применять релятивистские соотношения энергии и пространства-времени
• Распространять неопределённость измерений и анализировать экспериментальные данные
• Распознавать концепции ядерной, физики элементарных частиц, физики твёрдого тела и астрофизики

Специальная теория относительности использует γ=1/sqrt(1−v²/c²). Энергия покоя равна mc², а полная энергия — γmc².

Для независимых малых неопределённостей суммируйте вклады в квадратуре; для коррелированных неопределённостей требуются члены ковариации.

Случайный разброс влияет на точность; систематическая погрешность калибровки влияет на правильность. Логарифмический график может выявить степенную зависимость.

Вопросы по ядерной физике, физике элементарных частиц, физике твёрдого тела и астрофизике требуют словарного запаса и моделей уровня бакалавриата. Школьная физика сама по себе не является полным подготовительным курсом.

Собственное время измеряется между событиями в одной точке в данной системе отсчёта. Для скорости частицы 0.60c,

если её среднее собственное время жизни составляет 4.0 микросекунд, время жизни — это среднее значение распределения; оно не предсказывает время распада отдельной частицы.

Линейное сложение процентных неопределенностей дает оценку наихудшего случая, но не является стандартной статистической неопределенностью независимых величин.

precision: Близость повторных измерений друг к другу.

covariance: Мера совместного изменения, используемая для коррелированных неопределённостей.

Not every energy difference produces a strong electric-dipole 电偶极 line.

Prerequisites: 23, 40, 41.

• Relate atomic energies to spectral lines
• Apply angular-momentum quantum numbers
• Distinguish allowed and forbidden electric-dipole transitions

For hydrogen-like one-electron ions, the bound energies scale as −13.6 Z²/n² eV in the simplest nonrelativistic model. Emission requires a downward transition and positive photon energy.

Orbital angular momentum has l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. Electron spin adds s=1/2; total angular momentum combines orbital and spin contributions.

Electric-dipole selection rules include Δl=±1 and Δm=0,±1. These rules concern a specific transition mechanism; forbidden does not mean impossible by every mechanism.

Fine structure, spin–orbit effects and Zeeman splitting 塞曼分裂 refine the simplest hydrogen picture. In many-electron atoms, shielding and electron interactions invalidate direct hydrogen-energy substitution.

For a nonrelativistic one-electron ion, neglecting fine structure,

For Z = 2, an emission from n = 3 to n = 2 gives positive photon energy: An energy difference alone does not guarantee an electric-dipole transition; the participating orbital states must satisfy the selection rules.

Do not make the final-state energy minus initial-state energy negative for an emitted photon.

selection rule 选择定则: A restriction on transitions for a specified interaction mechanism.

Zeeman splitting: Magnetic-field splitting of atomic energy levels.

A semiconductor’s conductivity depends on available states and carriers, not merely on the number of electrons in the material.

Prerequisites: 25, 45, 46.

• Use band and carrier descriptions
• Apply radioactive decay and binding-energy ideas
• Check conservation laws in particle reactions

Filled bands cannot carry ordinary current without accessible nearby states. Metals have partially filled or overlapping bands; semiconductors have a small band gap 带隙. Donor and acceptor doping change carrier populations.

Fermi–Dirac occupancy is 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. At zero temperature it becomes a step at the Fermi energy; thermal broadening does not make every state half occupied.

Radioactive populations obey N=N0e^(−λt), activity λN and half-life 半衰期 ln2/λ. Binding energy 结合能 comes from a mass deficit multiplied by c²; compare binding energy per nucleon when discussing stability.

Nuclear and particle processes must conserve charge, energy, momentum and the applicable quantum numbers. Beta decay includes a neutrino or antineutrino; a two-body electron-only story cannot explain its continuous energy spectrum.

Binding energy is the positive energy required to separate a nucleus into free nucleons. For a reaction use total initial and final rest masses, with a consistent mass convention.

A mass decrease of 0.0040 atomic mass units gives Positive Q means energy release. Charge, nucleon number, energy and momentum must still balance; Q alone does not establish a reaction rate.

Activity and surviving population both decay, but their units differ: activity is transitions per second.

band gap: An energy interval with no allowed bulk electronic states in the band model.

half-life: Time for a radioactive population to halve.

Energy methods connect a spring oscillator and an orbit, but their coordinates and physical assumptions differ.

Prerequisites: 26, 41.

• Construct a simple Hamiltonian
• Use canonical equations
• Apply gravitational and radiative scaling

The canonical momentum 正则动量 is p=∂L/∂qdot. The Legendre transform H=p qdot−L gives a Hamiltonian when velocities can be expressed using coordinates and momenta.

Hamilton’s equations are qdot=∂H/∂p and pdot=−∂H/∂q. For an ordinary oscillator H=p²/(2m)+kq²/2, these reproduce Newton’s equation.

For a circular gravitational orbit v²=GM/r and period²=4π²r³/(GM). The assumptions include a dominant central mass and a circular approximation; elliptical orbits use the semimajor axis in Kepler’s law. For a circular satellite of mass m, angular momentum magnitude is mrv=m sqrt(GMr), so identical satellites have L proportional to sqrt(r). A radius ratio 9 therefore gives angular-momentum ratio 3, while the period ratio is 27. This distinction follows from the same centripetal-force relation; do not use period scaling for angular momentum.

Luminosity 光度 and received flux obey F=L/(4πd²) for isotropic radiation. A blackbody has L=4πR²σT⁴; its spectral peak shifts inversely with temperature. Distinguish intrinsic luminosity from observed brightness.

For a regular Lagrangian $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, canonical momentum is

Substitute the velocity into the Legendre transform: Combining these gives $\ddot q=-(k/m)q$. The inversion of momentum to velocity is required; it cannot be assumed for every constrained or singular Lagrangian.

A Hamiltonian equals total mechanical energy only under the relevant system assumptions; do not infer this universally from its name.

canonical momentum: The derivative of the Lagrangian with respect to a generalised velocity.

luminosity: Total emitted power, distinct from flux at an observer.

Two carts approach from different directions. After they stick, their momentum can be conserved while their kinetic energy falls.

Prerequisites: 1.

• Compute vector momentum and energy loss in sticking collisions
• Compare fixed-force springs and use work–energy conditions
• Derive small-oscillation periods and oscillator energies

Choose an isolated system during the short collision. With negligible external impulse 外力冲量, conserve total momentum separately in every Cartesian direction. If masses m1 and m2 stick, their common velocity is (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Find the magnitude only after adding vectors. Initial kinetic energy is the sum of each ½m|v|²; final kinetic energy uses the total mass and the common speed. Their difference becomes internal energy or deformation, not missing momentum. A perfectly inelastic collision means sticking, not final rest.

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

For an undamped harmonic oscillator, total energy is ½m v²+½kx²=½kA². At equilibrium all its energy is kinetic; at a turning point 转折点 its speed is zero and all its energy is potential. Angular frequency is not ordinary frequency: ω=2πf. If the same oscillator has equilibrium speed vmax, A=vmax/ω. Distinguish the instant at which speed is measured from the release displacement, and keep SI units when a millijoule answer is requested.

Two carts stick with negligible external impulse. Add momentum vectors 动量矢量, then divide by total mass. Known: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

The 6 J difference becomes internal energy. Kinetic energy is not conserved in sticking.

Do not add incoming speed magnitudes as momenta, or conserve kinetic energy in a sticking collision. Fixed-force and fixed-extension spring comparisons have opposite answers.

external impulse: Time integral of the net force from outside the chosen system.

turning point: An extreme oscillator position where its instantaneous speed is zero.

Переворачивание плавающего бруска может изменить объем погруженной части древесины, хотя общий вес остается неизменным.

Предварительные требования: 10.

• Использовать момент сил относительно точки опоры и момент инерции согласованно
• Разделять кинетическую энергию качения с учетом условия отсутствия проскальзывания
• Балансировать силу Архимеда и сопротивление для составных тел

Момент силы относительно неподвижной точки опоры равен r×F; его величина определяется перпендикулярным плечом. Для однородного стержня длиной L, закрепленного одним концом, сила тяжести действует в центре на расстоянии L/2, а момент инерции составляет ML²/3. Если угол θ отсчитывается от вертикали, модуль гравитационного момента равен Mg(L/2)sinθ, поэтому модуль углового ускорения составляет 3g sinθ/(2L). Определите положительное направление вращения перед присвоением знака. Использование момента инерции центра масс ML²/12 без параллельной теоремы дает неверное ускорение.

Тело, катящееся без проскальзывания, удовлетворяет условию v=Rω. Запишите полную кинетическую энергию как ½Mv²+½Iω². При I=βMR², доля вращательной энергии составляет β/(1+β); для сплошного диска β=1/2, а доля равна 1/3. Опрокинутая окружность имеет β=1 и долю 1/2. Сила трения покоя может обеспечивать необходимый момент для качения без диссипации энергии в точке контакта, мгновенно неподвижной относительно неподвижной поверхности. Скользящее тело автоматически не удовлетворяет условию отсутствия проскальзывания.

Для плавающего составного тела сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, суммированному по всем погруженным частям. Пусть деревянный брусок имеет объем V, а тяжелый камень — объем Vs. Если камень находится над водой, вклад вносит только погруженная часть дерева: ρводы g fV равно общему весу. Если камень прикреплен снизу и полностью погружен, его вытесненный объем уменьшает требуемую долю погружения дерева до f−Vs/V. Камень не перестает иметь вес; теперь вода обеспечивает часть его поддержки. Проверьте, физически ли возможны предполагаемая ориентация и плавучесть.

Предельная скорость означает нулевое ускорение, а не нулевую скорость или нулевую силу. При квадратичном сопротивлении C v² и нисходящем весе Mg пренебрежение плавучестью дает vt=sqrt(Mg/C). Два идентичных шара имеют одинаковый коэффициент сопротивления C; удвоение массы увеличивает предельную скорость в sqrt(2) раза. Если важна плавучесть, замените Mg на (M−ρжидкости V)g. Линейная модель сопротивления дает иное масштабирование по массе. Указывайте заданный закон сопротивления и сравнивайте балансы сил, а не переносите формулу между моделями.

Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности. Условие отсутствия проскальзывания: v = R omega.

Для сплошного диска beta = 1/2, поэтому доля вращательной энергии составляет Для однородного стержня, закреплённого одним концом, используйте $I=ML^2/3$, а не момент инерции центра масс. Относительно этой точки опоры $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, при угле theta, отсчитываемом от нижней вертикали.

Используйте момент инерции относительно выбранной точки опоры. При плавании включите вытеснённый объём камня, а не только его вес. Предельная скорость требует указанного закона сопротивления.

момент инерции: Произведение массы на квадрат перпендикулярного расстояния от заданной оси вращения.

предельная скорость: Постоянная скорость, при которой противодействующие силы уравновешиваются.

A load released from an aircraft keeps the aircraft’s horizontal velocity. Relative to the aircraft, its initial motion can therefore be purely downward.

Prerequisites: 1, 11.

• Solve coupled-body equations using one acceleration constraint 约束
• Transform velocities between inertial frames
• Check force and energy limits for constrained motion

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

The common tension assumption requires an ideal massless string and pulley with negligible friction and inertia. A pulley with rotational inertia can have different tensions, with (T2−T1)R=Iα and a=Rα if the string does not slip. Draw each body separately: a force internal to the combined system remains an external force on one chosen body. Constraint forces can cancel from a system equation while still being needed for individual motion.

For two inertial frames with constant relative velocity 相对速度 V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Check limiting cases after solving. As m1 approaches zero, the ideal coupled acceleration approaches g and tension approaches zero; as m1 grows very large, acceleration approaches zero and tension approaches m2g from below. An energy derivation gives m2g s=½(m1+m2)v² for release from rest and an ideal pulley, agreeing with v²=2as. This agreement checks the equations; it does not permit energy conservation if friction or other unaccounted work is present.

A table mass m1 and hanging mass m2 share an acceleration through a taut ideal string. Choose rightward table motion and downward hanging motion positive.

T is less than the hanging weight 20 N. A nonzero net downward force is needed for acceleration.

A massless ideal pulley equates tension, not tension and weight. Subtract frame velocities component by component before taking a speed magnitude.

constraint: A condition linking allowed positions or motions of connected bodies.

relative velocity: Velocity of one object measured in another moving frame.

Заряженный проводник может иметь нулевое поле внутри своего материала, при этом его потенциал остаётся ненулевым.

Предварительные требования: 2, 47.

• Складывать силы Кулона как векторы с учётом реальной геометрии
• Вычислять поток из соображений симметрии или телесного угла с указанной ориентацией
• Находить поля и потенциалы проводников с использованием индуцированных поверхностных зарядов

Для точечного заряда Q в точке r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Суммировать векторы, а не модули полей. Для двух положительных зарядов, притягивающих электрон, силы в одном направлении складываются; в противоположных — вычитаются; перпендикулярные компоненты объединяются по теореме Пифагора. Сначала определите точку наблюдения и направление каждой силы. Потенциал является скалярной суммой V=ΣQ/(4πε0r) с нулём на бесконечности. Нулевой потенциал обычно не означает нулевого поля, поскольку E=−∇V.

Закон Гаусса представляет собой интеграл по замкнутой поверхности ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. Он определяет локальное поле просто только тогда, когда симметрия делает нормальное поле однородным или обнуляет другие вклады в поток. Заряд рядом с бесконечной плоскостью испускает половину своего полного потока через эту плоскость по величине: плоскость охватывает телесный угол 2π из 4π. Результат не зависит от расстояния и бокового положения, но его знак зависит от выбранной нормали плоскости и знака заряда. Открытая плоскость не охватывает заряд; использование формулировки «замкнутая поверхность» для неё неверно.

В электростатическом равновесии электрическое поле внутри проводящего материала равно нулю, а потенциал проводника постоянен. Поместите заряд Q в центр проводящей сферической оболочки с внутренним радиусом a, внешним радиусом b и суммарным зарядом оболочки q. Поверхность Гаусса внутри материала требует наличия заряда −Q на внутренней поверхности, поэтому на внешней поверхности находится заряд q+Q. Сферическая симметрия делает внешнее поле таким же, как от полного заряда Q+q в центре. Потенциал материала, принятый равным нулю на бесконечности, равен (Q+q)/(4πε0b) и не зависит от радиуса наблюдения внутри материала.

В полости этой концентрической оболочки поле равно Q/(4πε0r²) направлено радиально для 0<r<a. Потенциал включает как вклад точечного заряда, так и постоянные вклады оболочки; непрерывность сохраняется на каждой поверхности, хотя нормальное поле скачет на поверхностном заряде. Разделяйте полость, материал проводника и внешнюю область. Смещённый заряд всё равно индуцирует полный внутренний заряд −Q, но поле в полости больше не является простым радиальным полем концентрированного заряда. Нулевое поле внутри проводника следует из равновесия, а не из предположения, что каждое распределение поверхностных зарядов является равномерным.

Концентрированный точечный заряд Q находится в проводящей сферической оболочке с суммарным зарядом q. Электростатическое равновесие делает поле равным нулю внутри металла. Поверхность Гаусса в металле не охватывает чистого заряда, поэтому $Q_{inner}=-Q$. Сохранение заряда даёт $Q_{outer}=q+Q$. При внешнем радиусе b и нулевом потенциале на бесконечности,

Здесь Q = +2 нКл, а q = -1 нКл. Полость не является проводящим материалом; её поле не обязательно должно исчезать.

Не путайте результат половины потока для открытой плоскости с полным заключённым зарядом. Нулевое поле проводника фиксирует постоянный потенциал, который не обязательно равен нулю.

телесный угол: Угловая площадь, охватываемая поверхностью, измеряется в стерадианах.

индуцированный поверхностный заряд: Перераспределённый заряд на проводнике, удовлетворяющий условиям электростатического равновесия.

A resistor in a parallel branch sees the branch voltage, which can differ from the battery voltage because another resistor is in series.

Prerequisites: 2, 30.

• Solve resistor networks and distinguish rms from peak AC quantities
• Apply flux linkage 磁通链, Lenz direction and the current-loop field
• Use charge-to-mass ratios and balance crossed-field forces

For steady ideal resistor circuits, series resistances add and parallel conductances add. Reduce a network 电路网络 while preserving which nodes share the same voltage. With a 24 V source, a 2 Ω series resistor and parallel 3 Ω and 6 Ω branches, the parallel equivalent is 2 Ω. Total current is 6 A, branch voltage is 12 V and branch currents are 4 A and 2 A. The current through every component is not necessarily the total current; verify Kirchhoff current and voltage sums after reduction.

For sinusoidal current I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). A series RLC circuit has impedance magnitude sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) and average dissipated power Irms²R=Vrms Irms cosφ. Ideal inductors/capacitors exchange stored energy with zero average dissipation. If rms current is already given, do not insert another factor 1/2. An ideal rectifying diode conducts in its forward direction and blocks in reverse: a suitably oriented series diode clips the negative half of a sinusoidal resistor voltage; it does not create a full-wave rectifier by itself.

Magnetic flux is ∫B·dA, or BA cosθ for a uniform field with θ measured from the area normal. Faraday emf is −N dΦ/dt. For changing perpendicular field and fixed loop geometry, its average magnitude is NA|ΔB|/Δt. Determine the sign or current direction using opposition to the flux change, not opposition to the field itself. The magnetic field at the centre of one circular loop is μ0I/(2R), obtained from Biot–Savart: every element contributes in the same axial direction. An N-turn compact coil multiplies this result by N.

For a nonrelativistic charge with velocity perpendicular to uniform B, magnetic force |q|vB provides centripetal force mv²/r. Thus r=mv/(|q|B) and cyclotron angular frequency is |q|B/m, independent of speed in this approximation. Charge sign sets rotation direction. A deuteron has approximately twice proton mass and the same charge, while an alpha particle has four times its mass and twice its charge; their frequencies are each half the proton value. In crossed E and B fields, undeflected motion requires electric and magnetic forces opposite and v=E/B. Check vector directions before using this magnitude.

A 24 V ideal source drives 2 ohms in series with parallel 3 and 6 ohm branches. Identify nodes before reducing the network.

The other branch carries 4 A; the branch currents sum to the source current.

Do not apply battery voltage to every branch or halve an rms-current power again. Flux angle uses the area normal; a selector also needs opposing force directions.

root mean square 均方根: Square root of the mean squared value, used for effective AC current or voltage.

flux linkage: Sum of magnetic flux through a coil’s turns.

A charged capacitor can change its electric field across a gap even though no conduction current crosses the gap.

Prerequisites: 13, 29, 47.

• Use displacement current 位移电流 and material wave-speed relations
• Determine wave-field directions and radiated energy flow
• Apply Maxwell boundary conditions without confusing field components

Ampere–Maxwell law in vacuum is ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). The added displacement-current term depends on the time rate of electric flux through the chosen surface. It ensures consistent results for a loop whose spanning surface either crosses a capacitor wire or passes between the plates. Displacement current is not magnetic flux or an integral over earlier electric flux. For a uniform plate field, the gap contribution is ε0A dE/dt; signs follow the oriented surface.

In a homogeneous, linear, lossless dielectric 电介质 with permeability μ and permittivity ε, Maxwell equations give wave speed v=1/sqrt(με) and refractive index n=c/v=sqrt(μrεr). For nonmagnetic material μr≈1, so v=c/sqrt(εr). Use the stated frequency-dependent material constants when dispersion matters; a static dielectric constant need not describe every optical frequency. Vacuum waves have E/B=c; in this simple medium the relation is E/B=v.

For a plane wave travelling along unit vector n, B=(n×E)/v. Both fields are perpendicular to propagation and to each other. Phase kz−ωt propagates toward +z, while kz+ωt propagates toward −z. If E is along x+y and propagation is +z, B is along −x+y, because z×x=y and z×y=−x. The Poynting vector 坡印廷矢量 S=E×H (E×B/μ in this medium) points along energy transport. In the radiation zone of an accelerating charge, energy flux is outward from the source, not necessarily in the instantaneous direction of charge motion.

Maxwell’s divergence equation ∇·B=0 gives continuity of the normal B component across an interface: a thin pillbox has no magnetic charge inside. The tangential H jump is related to surface current; it need not vanish. Under an ideal superconducting Meissner-state model with zero interior B, the exterior normal component at the boundary must therefore be zero, leaving any nonzero exterior B tangent to the surface. This conclusion is conditional on the stated zero-interior model; it does not follow by assuming all exterior field is zero. For electrostatics, normal D can instead jump by free surface charge.

A plane wave travels along positive z in a linear lossless nonmagnetic dielectric. With relative permittivity 9,

If E points along positive x, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ points along positive y. For E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ points along propagation. Check that material constants apply at the wave frequency.

Displacement current uses changing electric flux. Zero interior B fixes the exterior normal component, not every exterior component. Distinguish wave propagation from particle motion.

displacement current: Electric-flux time-derivative contribution in Ampere–Maxwell law.

Poynting vector: Electromagnetic energy flux per unit area and time.

A driver hears an echo from a stationary wall at a shifted pitch: the outbound and returning sound each acquire a Doppler factor 多普勒因子.

Prerequisites: 3.

• Apply source and observer Doppler factors in the medium frame
• Derive allowed pipe frequencies from displacement boundary conditions
• Distinguish frequency, wavelength and boundary changes

For sound in a stationary medium, separate source motion from observer motion. A source approaching at speed u_s compresses wavefront spacing and produces received frequency f c/(c−u_s) at a stationary observer. An observer approaching a stationary source at speed u_o meets more wavefronts per second and measures f(c+u_o)/c. Speeds are measured relative to the medium; the acoustic source and observer formulas are not symmetric under exchanging roles. Receding motion reverses the appropriate sign. These expressions assume subsonic motion along the propagation line.

For a siren moving toward a stationary reflecting wall with speed u, the wall first receives f_wall=f c/(c−u). Reflection from a stationary wall preserves frequency in the medium frame. The moving driver then approaches the returning wavefronts and receives f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). At small u/c the fractional shift is approximately 2u/c, but the exact expression has different numerator and denominator. A moving reflecting surface needs its own Doppler step; do not reuse the stationary-wall result blindly.

At an ideal open pipe end, air displacement is an antinode and pressure variation is a node. At a rigid closed end, displacement is a node and pressure is an antinode. For both ends open, length L contains n half-wavelengths, giving f_n=nc/(2L), n=1,2,… . For one end closed, it contains an odd number of quarter-wavelengths, giving f_n=(2n−1)c/(4L). Real pipes may need end corrections; the ideal GRE model uses the stated length without inventing an adjustment.

Closing one end of a previously both-open pipe halves its fundamental and leaves only odd multiples of that new fundamental. Its old frequencies were integer multiples of c/(2L), which are even multiples of c/(4L), so none is an allowed frequency of the new ideal one-closed spectrum. This differs from simply deleting even harmonics while retaining the old fundamental. When the medium is unchanged, wave speed is unchanged; frequency and wavelength change together to satisfy the new boundary geometry.

A siren approaches a stationary wall in still air. Treat outward and return journeys separately. The wall first receives $f_w=fc/(c-u)$; reflection keeps this frequency in the medium frame. The moving listener then receives $f_e=f_w(c+u)/c$.

This Doppler effect 多普勒效应 uses velocities relative to the medium. It is not the light-wave formula.

An echo needs both Doppler factors. Closing a pipe changes the fundamental; odd harmonics are counted from the new fundamental, not the old one.

displacement antinode 位移波腹: A standing-wave position where the air displacement amplitude is maximal.

Doppler factor: Frequency multiplier produced by a specified source or observer motion.

A gas cell in one arm of a Michelson interferometer 干涉仪 is crossed twice. Counting only one passage halves the inferred refractive-index change.

Prerequisites: 3, 33.

• Calculate telescope magnification and grating resolving power 分辨本领
• Relate Michelson fringe counts to double-pass optical path changes
• Trace surface normals before applying Snell and reflection laws

For an ideal astronomical telescope adjusted for relaxed viewing at infinity, the objective forms its focal-plane image and the eyepiece collimates the emerging light. Lens separation is f_objective+f_eyepiece; angular magnification magnitude is f_objective/f_eyepiece. The usual two-converging-lens telescope produces an inverted image, represented by a negative signed angular magnification under a consistent convention. A finite final-image distance changes lens separation; do not use the infinity adjustment without checking the condition.

Resolving power R=λ/Δλ describes the smallest distinguishable wavelength separation near λ. For an ideal diffraction grating in order m with N illuminated slits, R=mN. This is a resolution criterion, not simply the angular position formula d sinθ=mλ. Increasing illuminated slit count sharpens the principal peaks; increasing slit spacing mainly changes their angular locations. A measured λ=600 nm and Δλ=3 nm gives R=200, independent of converting both lengths to metres because their ratio uses matching units.

Michelson interference depends on the optical path difference between the arms. If one arm contains a gas cell of geometric length L and index changes from n to 1 upon evacuation, a double passage changes path by 2L(n−1). If N fringes pass, the magnitude of this change is Nλ, so n−1=Nλ/(2L). For a moving mirror instead, displacement Δx gives path change 2Δx. Fringes count phase cycles; one fringe is one wavelength of optical path, not one wavelength of mirror motion.

Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

A Michelson interferometer sends light twice through a gas cell of length L. Evacuation changes path by $2L(n-1)$. N fringes correspond to path change $N\lambda$.

Thus n = 1.00030. Moving a mirror is also double-pass; a fringe is not one wavelength of mirror motion.

Use optical path, not just geometric distance. Refraction angles are measured from the normal of the actual surface, and telescope focal-length addition assumes a final image at infinity.

resolving power: Wavelength divided by the smallest resolvable wavelength separation.

optical path length 光程: Geometric path weighted by refractive index along the ray.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

Холодильник может перемещать больше тепла, чем работа, затраченная на его работу. Это соотношение является коэффициентом полезного действия (COP), а не КПД, который должен быть меньше единицы.

Предварительные требования: 4.

• Применять знаки работы и теплоты первого закона термодинамики к газовым процессам
• Сравнивать балансы энтропии для обратимых процессов и площади циклов P–V
• Различать КПД теплового двигателя и COP холодильника

Используйте ΔU=Q−W, где Q — теплота, поступающая в систему, а W — работа, совершённая системой. Квазистатическая граничная работа равна ∫P dV и положительна при расширении. Для фиксированного количества идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры. При постоянном объёме W=0, следовательно ΔU=Q; для изотермического процесса идеального газа ΔU=0, поэтому Q=W. Адиабатный процесс означает Q=0, а не постоянную температуру. За полный цикл состояние возвращается к исходному, и ΔU=0, поэтому суммарная теплота равна суммарной работе, хотя на отдельных этапах тепловые потоки различны.

Для обратимого изотермического расширения идеального газа произведение PV постоянно. При постоянных теплоёмкостях обратимый адиабатный путь описывается уравнением PV^γ=const, где γ=Cp/Cv>1; проходя через то же начальное состояние, давление падает быстрее при увеличении объёма. Изобарный путь горизонтален на графике P–V. Замкнутый цикл, обходимый по часовой стрелке, имеет положительный интеграл ∮P dV; изменение направления меняет знак. Для прямоугольного контура величина равна ΔPΔV, а для треугольного — половине площади соответствующего описывающего прямоугольника. Используйте Па и м³ для джоулей, а не переводные значения в литрах.

Для обратимого теплообмена dS=δQ_rev/T; энтропия является функцией состояния, тогда как теплота зависит от пути. В обратимом процессе «система + окружение» полное изменение энтропии равно нулю, но энтропия самой системы может возрастать или убывать. Необратимые спонтанные процессы порождают неотрицательное суммарное изменение энтропии. Обратимое изотермическое расширение увеличивает энтропию газа на nR ln(V2/V1); резервуар теряет ту же величину. Обратимость не требует постоянной температуры системы, отсутствия работы или изменения внутренней энергии.

Обратимый двигатель между температурами TH и TC имеет КПД η=W/QH=1−TC/TH. Обратимый холодильник имеет COP=QC/W=TC/(TH−TC), а тепловой насос — QH/W=TH/(TH−TC). Используйте абсолютные температуры в кельвинах. На обратимой T–S диаграмме величина теплоты вдоль изотермы равна T, умноженному на изменение энтропии; площадь прямоугольника Карно равна модулю совершенной работы. Холодильник перемещает тепло от холодного тела к горячему за счёт消耗 работы, выполняя цикл, обратный двигателю. COP может превышать единицу без нарушения закона сохранения, поскольку перемещаемая теплота поступает не исключительно из работы.

Обратимый холодильник переносит энтропию ΔS от Tc к Th.

COP выше единицы возможен, потому что тепло перемещается, а не полностью вырабатывается из работы.

Нулевое суммарное производство энтропии не означает нулевого изменения энтропии системы. Для холодильника используется формула TC/(TH−TC), а не формула КПД двигателя.

производство энтропии: Неположительная суммарная энтропия, генерируемая необратимостью.

коэффициент полезного действия: Полезное переданное тепло, делённое на затраченную работу для холодильника или теплового насоса.

Газ может иметь нулевую среднюю скорость, в то время как его частицы имеют значительную среднюю величину скорости. Противоположные направления компенсируются в векторном среднем; скорость не имеет знака.

Предварительные требования: 4, 35.

• Нормализовать непрерывные плотности скоростей и интерпретировать их единицы измерения
• Различать векторные средние, средние по модулю скорости и наиболее вероятные скорости
• Использовать веса Больцмана с учётом вырождения и функцию распределения

Для непрерывной плотности вероятности f(v) значение f(v)dv приближённо равно вероятности в узком интервале, а ∫от0до∞ f(v)dv=1. Плотность имеет размерность, обратную скорости, и сама по себе не является вероятностью. Если P(v)dv обозначает число частиц в этом интервале, то площадь под графиком равна полному числу частиц N, а f=P/N. Трапеция, растущая на ширине v0, плоская на ширине 2v0, затем убывающая на ширине v0, имеет площадь 3av0 при высоте a. Нормализуйте по площади перед вычислением среднего значения или интерпретацией высоты на графике.

В изотропном газе в состоянии термодинамического равновесия без макроскопического потока каждое распределение компоненты скорости симметрично, поэтому ⟨v_vector⟩=0. Скорость v=|v_vector| неотрицательна и имеет положительное среднее значение. Для классического идеального газа максвелловская плотность скорости пропорциональна v²exp[−mv²/(2kBT)]. Её мода равна sqrt(2kBT/m), среднее значение — sqrt(8kBT/(πm)), а среднеквадратичная скорость — sqrt(3kBT/m). Это три разные величины. Множитель v² обращает плотность скорости в ноль при v=0, хотя плотность вектора скорости максимальна при нулевом векторе.

Для непрерывного распределения вероятность точно одного заданного значения скорости равна нулю; ненулевые вероятности относятся к интервалам. Это утверждение не означает, что не существует частиц со сколь угодно малыми скоростями или что детектор конечного разрешения не может зафиксировать нулевой бин. Изменение температуры меняет масштаб максвелловского распределения: характерные скорости пропорциональны sqrt(T/m). Удвоение температуры не удваивает скорость, а более тяжёлые частицы в среднем движутся медленнее при той же температуре.

В каноническом ансамбле при температуре T состояние с энергией E_i имеет вес exp(−E_i/(kBT)). Разделите на функцию распределения Z=Σexp(−E_i/(kBT)), чтобы получить вероятности. Если уровень энергии имеет степень вырождения g_i, вероятность этого уровня равна g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Равная энергия каждого состояния не означает равную вероятность каждого уровня при различном вырождении. Для основного уровня с вырождением 1 и возбуждённого уровня с вырождением 2 при Δ=kBT ln2, суммарный вес возбуждённого уровня равен 2e^(−ln2)=1: оба уровня имеют вероятность 1/2. Классические предположения Максвелла–Больцмана отличаются от квантовых заселений Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.

Канонический ансамбль имеет основное вырождение 1 и возбуждённое вырождение g при разнице энергий Delta.

При g = 4 и $\Delta=k_BT\ln2$, Это вероятность всего возбуждённого уровня. Вероятность каждого из четырёх состояний равна 1/6.

Высота плотности — это не вероятность. Среднее значение скорости, средняя скорость и мода различаются; учитывайте вырождение перед нормировкой вероятностей уровней.

плотность вероятности: Вероятность на единицу непрерывной переменной, интеграл которой даёт вероятность интервала.

функция разложения: Сумма статистических весов, используемых для нормировки вероятностей равновесного состояния.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Измерение проводимости само по себе не говорит, какие носители преобладают: электроны или дырки. Магнитное измерение эффекта Холла даёт тест, чувствительный к знаку.

Предварительные требования: 8, 46.

• Сравнить энергию связи на нуклон и энергию реакции
• Различать лептоны, мезоны и барироны с учётом ограничений сохранения
• Определять знак доминирующего носителя по одноносительной модели эффекта Холла

Энергия связи B — это энергия, необходимая для разделения ядра на отдельные свободные нуклоны, равная соответствующему дефициту массы, умноженному на c². Энергия связи на нуклон B/A является релевантным показателем сравнения для разных массовых чисел; более тяжёлое ядро может иметь большую полную B, но меньшую B/A. Широкий максимум B/A находится в районе железа/никеля. Слияние лёгких ядер и деление очень тяжёлых ядер могут выделять энергию, если продукты имеют большую суммарную энергию связи. Для реакции Q=(начальная масса покоя − конечная масса покоя)c²; положительное Q означает выделенную энергию. Всегда сравнивайте конкретные указанные изотопы и конечные продукты, а не только названия элементов.

Лептоны, такие как электроны, мюоны и нейтрино, не состоят из составных кварков в Стандартной модели. Отрицательный мюон имеет заряд −e и спин 1/2, подобно электрону, но обладает иной массой и принадлежит другому семейству вкусов; он не является мезоном, несмотря на историческое название. Гадроны содержат кварки: обычные мезоны состоят из одного кварка и одного антикварка, а обычные барироны — из трёх кварков. Соответствующие антибарироны содержат три антикварка. Данные элементарные модели классификации не означают, что каждый составной частица является простым барироном или мезоном.

Проверьте заряд, энергию, импульс, барионное число и соответствующие лептонные числа в предполагаемом процессе. У протонов кварки uud в сумме дают заряд +e; у нейтронов udd — ноль. Бета-минус распад n→p+e−+антинейтрино сохраняет электрический заряд и включает антинейтрино для баланса лептонного числа и кинематики. Масса частицы сама по себе не определяет её принадлежность к кваркам, лептонам или адронам. Пороги реакций могут требовать кинетической энергии сверх разницы масс покоя при экзотермических реакциях, если действуют другие ограничения.

В простом проводнике с одним носителем поперечная магнитная сила Лоренца создаёт поле Холла до тех пор, пока поперечная сила на носители не уравновесится. При указанной конвенции тензора/знака коэффициент Холла R_H=1/(nq); отрицательный q даёт отрицательный коэффициент, характерный для электронов, положительный q — положительный коэффициент, характерный для дырок. Величина удельного сопротивления сама по себе не раскрывает этот знак. Перед снятием сырой полярности последовательно задайте направления тока, магнитного поля и напряжения. Полупроводники, в которых участвуют и электроны, и дырки, требуют модели двухносителей с учётом подвижности; простой коэффициент не равен обратной величине полной плотности носителей.

В модели эффекта Холла с одним носителем используйте $R_H=1/(nq)$ с фиксированной конвенцией выводов. Для электронов q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ на кубический метр,

Отрицательный коэффициент указывает на электронподобные носители в данной модели, а не на отрицательную плотность. Сырая полярность напряжения имеет смысл только при объявленных направлениях поля и выводов.

Сравнивать энергию на нуклон, а не только полную энергию. Мюон является лептоном, а знак Холла требует заявленной конвенции измерения и модели носителей.

энергия связи на нуклон: Энергия ядерной связи, делённая на количество нуклонов.

коэффициент Холла: Знаковая пропорциональность, связывающая поперечное поле Холла с плотностью тока и магнитным полем при заданной конвенции.

A pendulum tension changes throughout a swing, but its angular equation can be derived without solving for tension.

Prerequisites: 1, 47.

• Derive Euler–Lagrange motion after imposing a holonomic constraint 完整约束
• Use a cyclic coordinate 循环坐标 to identify conserved canonical momentum
• Linearise a stable equilibrium and check the resulting frequency

A constraint removes an independent coordinate before you form the kinetic energy. For a fixed-length pendulum choose θ from the downward vertical: x=l sinθ and y=−l cosθ. Differentiating both coordinates gives v²=l²θdot², not l² sin²θ θdot². Thus T=ml²θdot²/2 and V=mgl(1−cosθ), with zero potential at the bottom. The fixed length is a holonomic constraint: it is a relation among coordinates and possibly time. A rolling velocity constraint needs its own analysis; do not automatically treat every constraint as a coordinate substitution.

For ideal constraints and the usual conservative system, the stationary-action equation is d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 with L=T−V. The variations vanish at the two time endpoints. A pendulum gives ∂L/∂θdot=ml²θdot and ∂L/∂θ=−mgl sinθ, so ml²θddot+mgl sinθ=0. The momentum derivative acts on every time-dependent factor: for a varying radius, d(mr²θdot)/dt contains 2mr rdot θdot. The variational method does not mean mechanical energy is conserved in a time-dependent system.

For planar central motion, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). The angle θ is cyclic because L has no explicit θ dependence, even though L depends on θdot. Its canonical momentum pθ=mr²θdot is constant. The radial equation is m rddot=mrθdot²−dV/dr. The first term is part of the coordinate acceleration, not a new outward real force in an inertial frame. Conservation of pθ makes angular speed increase as r decreases; constant angular speed is a different, externally driven situation.

Near a stable equilibrium q0, expand V to second order and use a constant local inertia M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Then the small-displacement frequency is sqrt(V″/M). For a pendulum sinθ≈θ in radians, so ω=sqrt(g/l); the approximation requires small amplitude. A negative V″ gives instability, not an oscillation with an imaginary measurable frequency. Check the full nonlinear equation first, then state the approximation and compare units: V″/M must have units of inverse time squared.

For a fixed pendulum length l, use theta from downward vertical: x = l sin theta, y = -l cos theta. Both Cartesian velocities give $T=ml^2\dot\theta^2/2$ and $V=mgl(1-\cos\theta)$. The Euler-Lagrange equation 欧拉—拉格朗日方程 is

Divide by $ml^2$ before linearising: The approximation uses radians. Endpoint variations vanish in the stationary-action derivation.

A cyclic coordinate is absent from L itself; its velocity need not be absent. Do not discard the time derivative of a changing r² factor.

holonomic constraint: A constraint expressible as a relation among coordinates and possibly time.

cyclic coordinate: A coordinate absent explicitly from the Lagrangian, with conserved canonical momentum under the Euler–Lagrange equation.

Человек, стоящий неподвижно на поворачивающейся платформе, испытывает реальную силу, направленную внутрь, хотя его ускорение относительно платформы равно нулю.

Предварительные требования: 26.

• Преобразуйте ускорение с учётом членов перемещающихся и вращающихся систем отсчёта
• Определите направления центробежной, Кориолиса и Эйлеровской сил через векторные произведения
• Разделите кажущиеся силы на реальные взаимодействия и проверьте предельный переход к инерциальной системе

В неинерциальной системе отсчета с ускорением начала A уравнение Ньютона принимает вид m a′=F_real−mA. Для лифта, движущегося с ускорением вверх, в земной системе отсчета N−mg=ma, а для неподвижного пассажира в системе отсчета лифта N−mg−ma=0. Это дает одинаковый результат. Дополнительный член — это мнимая сила, возникающая из-за выбранного ускоряющегося базиса координат; она не является новой силой со стороны другого тела. Равномерное перемещение с A=0 меняет скорость, но не требует введения мнимой силы.

Для вращающегося базиса дифференцирование вектора добавляет член Ω×к этому вектору. Повторное применение дает a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Здесь r и v′ измеряются относительно движущегося начала в его вращающихся осях; все векторы в расчете должны быть выражены в одном и том же базисе в один и тот же момент времени. Перенесите последние три вращательных члена в правую часть уравнения, чтобы получить силу Кориолиса −2mΩ×v′, центробежную силу −mΩ×(Ω×r) и силу Эйлера −mΩdot×r. При постоянной скорости вращения исчезает только член Эйлера, а не член Кориолиса.

Пусть вектор Ω направлен вдоль оси +z (против часовой стрелки при виде сверху), частица находится в точке r вдоль оси +x. Центробежная сила направлена вдоль +x с модулем mΩ²r. Если частица движется наружу со скоростью v′ вдоль +x, то Ω×v′ направлен по +y, следовательно, сила Кориолиса указывает в сторону −y. Изменение направления относительной скорости меняет направление силы Кориолиса на противоположное; если v′=0, сила Кориолиса исчезает. Сила Кориолиса перпендикулярна v′ и не совершает мгновенной работы над этим относительным движением. Центробежная сила направлена от оси вращения, а не обязательно от выбранного начала координат в произвольном трехмерном положении.

Тело, покоящееся на платформе, имеет a′=v′=0. При постоянной скорости вращения и фиксированном начале его реальная сила должна быть равна mΩ×(Ω×r), направленной внутрь, компенсируя внешнюю мнимую силу во вращающемся уравнении. Если вращение изменяется, также необходима касательная реальная сила для компенсации члена Эйлера. Всегда проверяйте предельный переход Ω→0 и A→0: обычное инерционное ньютоновское движение должно восстановиться. Не смешивайте требование реальной центростремительной силы с добавочной внешней реакцией на одно и то же тело; партнеры взаимодействия должны рассматриваться в отдельных диаграммах свободного тела.

Во вращающейся системе отсчета сила Кориолиса зависит от относительной скорости.

Для m = 2 кг, Ω = 2 рад/с вдоль z, r = 1 м вдоль x и v' = 3 м/с вдоль x, Сила Эйлера равна нулю только потому, что Ω постоянна. Это координатные члены, а не дополнительные физические контакты.

Относительная скорость v′ должна использоваться в члене Кориолиса. Использование полной инерциальной скорости приведет к двойному учету вращения.

Сила Кориолиса: Мнимая сила во вращающейся системе отсчета −2mΩ×v′, вызванная относительным движением.

Центробежная сила: Мнимая сила во вращающейся системе отсчета −mΩ×(Ω×r), направленная от оси вращения.

Узкая труба пропускает тот же объемный расход, что и широкая, но ее поведение давления зависит как от скорости, так и от вязких потерь.

Предварительные требования: 10, 47.

• Объединить условие непрерывности несжимаемой жидкости с давлением, высотой и кинетической энергией
• Применять гидростатические и формулы Бернулли только при соблюдении их условий применимости
• Использовать вязкость, масштабирование Пуазейля и число Рейнольдса для различения режимов течения

При установившемся потоке масса, проходящая через последовательные поперечные сечения в единицу времени, одинакова: ρAv является постоянной. Несжимаемая жидкость имеет почти постоянную плотность ρ, поэтому Q=Av — это объёмный расход. Уменьшение радиуса трубы вдвое уменьшает площадь в четыре раза и увеличивает среднюю скорость в четыре раза при том же Q. Давление не определяет Q без модели остальной системы. В неподвижной жидкости dp/dz=−ρg при z, направленном вверх; следовательно, давление увеличивается на ρgh на расстоянии h ниже поверхности. Используйте абсолютное или манометрическое давление последовательно с обеих сторон.

Для установившегося, несжимаемого, безвязкого движения вдоль линии тока без насоса или диссипативных потерь уравнение Бернулли имеет вид p+ρv²/2+ρgz=const. Эти три члена представляют энергию на единицу объёма и имеют размерность давления. При равной высоте большая скорость требует меньшего статического давления при данных допущениях. Более высокий выход также использует энергию давления/кинетическую энергию для приобретения гравитационной потенциальной энергии. Применение уравнения Бернулли вдоль одной линии тока не обязательно означает наличие той же константы на разных линиях тока при вращательном движении. Точка торможения имеет v=0 и преобразует локальную кинетическую энергию в повышение давления в идеальной модели.

Вязкость переносит импульс между соседними слоями жидкости. Для установившегося полностью развитого ламинарного течения ньютоновской несжимаемой жидкости в круговой трубе Q=πR⁴Δp/(8ηL). Здесь Δp — падение давления вдоль трубы, η — динамическая вязкость, а L — длина трубы. Удвоение радиуса при фиксированных Δp, η и L увеличивает Q в шестнадцать раз. Удвоение Q при неизменной геометрии требует удвоения падения давления. Эти вязкие потери давления нельзя прибавлять к уравнению Бернулли без потерь так, как будто ничего не изменилось; необходимо включить диссипативное падение давления/напора или использовать модель вязкости.

Число Рейнольдса Re=ρvD/η сравнивает инерционные и вязкие эффекты, используя характерную скорость v и длину D. Для трубы используйте среднюю скорость и внутренний диаметр, а не радиус. Re безразмерен: произведение плотности на скорость на длину имеет те же единицы измерения, что и динамическая вязкость. Малые значения Re способствуют доминированию вязкости; переход к турбулентности зависит от геометрии и возмущений, поэтому единый порог не является универсальным законом. Масштабирование Пуазейля небезопасно после предположения о турбулентном течении. Перед выбором формулы проверьте непрерывность объёма, знак изменения давления и режим течения.

Установившееся несжимаемое горизонтальное идеальное течение имеет площади 4 и 1 квадратных сантиметров. На первом сечении скорость составляет 1 м/с. Непрерывность и уравнение Бернулли дают

Эти соотношения предполагают отсутствие насоса, вязких потерь или изменения высоты. Реальная узкая труба может нарушать их.

Уравнение неразрывности сохраняет Q постоянным вдоль одной трубы; Пуазейль сравнивает Q между различными системами при заданном перепаде давления. Укажите, что удерживается постоянным, прежде чем сравнивать степени радиуса.

объёмный расход: Объём, проходящий через сечение за единицу времени, Q=Av для средней скорости v.

динамическая вязкость: Коэффициент, связывающий касательное напряжение с градиентом скорости в ньютоновской жидкости.

Вставка диэлектрика в конденсатор изменяет поле по-разному в зависимости от того, остаётся ли подключённым его источник питания.

Предварительные требования: 13, 15.

• Связать свободный и связаный заряд с D, E и поляризацией
• Сравнить изменения диэлектрика при фиксированном заряде и фиксированном напряжении
• Использовать магнитную конститутивную зависимость и граничные условия для свободных токов

Электрическая поляризация P — это электрический дипольный момент на единицу объема, измеряется в Кл/м². Определите D=ε₀E+P так, чтобы ∇·D=ρ_free; полный заряд, включая связанный заряд, по-прежнему появляется в ∇·E=ρ_total/ε₀. Связанный объемный заряд равен ρ_b=−∇·P, а связанный поверхностный заряд σ_b=P·n, где n направлен наружу от материала. Равномерная P не дает связанных зарядов в объеме, но может создавать поверхностные заряды противоположного знака. Диэлектрик не является идеальным металлом: поляризация не обязательно делает его внутренний электрический поле равным нулю.

Для линейного изотропного диэлектрика P=ε₀χ_e E и D=εE, где ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Эти простые скалярные соотношения предполагают линейный отклик и игнорируют анизотропию, сильную дисперсию и нелинейные эффекты. В полностью заполненном большом конденсаторе с параллельными пластинами при пренебрежении краевыми эффектами нормальная составляющая D к пластинам равна плотности свободных поверхностных зарядов. Если σ_free остается постоянным, увеличение ε уменьшает E=σ_free/ε. Связанные заряды противодействуют приложенному полю; их величина не равна автоматически свободному заряду пластин.

Для площади пластин A и расстояния d между ними C=εA/d. Отключение батареи фиксирует свободный заряд Q: V=Q/C уменьшается, а запасенная энергия U=Q²/(2C) уменьшается, когда диэлектрик увеличивает C. Оставление идеального источника напряжения подключенным фиксирует V: Q=CV и запасенная энергия U=CV²/2 возрастают. Источник поставляет энергию, а перемещение диэлектрика может сопровождаться механической работой; сравнивайте указанное количество электрической энергии, а не предполагая, что конденсатор представляет собой изолированную систему. На границе материалов n·(D₂−D₁)=σ_free, тогда как статическое тангенциальное E непрерывно. Нормальная составляющая E обычно изменяется при изменении диэлектрической проницаемости.

Магнитная намагниченность M — это магнитный дипольный момент на единицу объема, измеряется в А/м. В СИ B=μ₀(H+M); для линейного изотропного отклика M=χ_m H и B=μ₀(1+χ_m)H. B и H имеют разные единицы измерения и роли. Длинный однородный соленоид имеет H≈nI, когда краевые и размагничивающие эффекты пренебрежимы; тогда материал меняет B. Свободный поверхностный ток задает n×(H₂−H₁)=K_free, а нормальная составляющая B остается непрерывной. Ферромагнитный гистерезис и насыщение не могут быть представлены одной постоянной χ_m для всего диапазона полей.

Конденсатор отключается перед введением линейного диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью 4. Свободный заряд остается фиксированным; емкость становится в четыре раза больше первоначальной.

Если вместо этого остается подключенным идеальный аккумулятор, V фиксировано: Источник обменивается энергией. Не сравнивайте изолированный заряд и фиксированное напряжение как один и тот же эксперимент.

Используйте свободный заряд в уравнении для D и полный заряд в уравнении для E. Не путайте фиксированный Q с фиксированным V и не приравнивайте численно B к H.

электрическая поляризация: Электрический дипольный момент на единицу объема, P, вносящий вклад в связанные заряды.

магнитная намагниченность: Магнитный дипольный момент на единицу объема, M, входящий в формулу B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Два равных щели могут иметь правильную разность хода для конструктивной интерференции и всё же не давать интенсивности под этим углом.

Предварительные требования: 3, 17.

• Вывести и оценить интенсивность одиночной щели в дальнем поле с использованием суперпозиции амплитуд
• Разделить расстояние между полосами двойной щели от ширины огибающей конечной апертуры
• Определить отсутствующие порядки и указать пределы формул дальнего поля и малых углов

Для равномерно освещённой щели шириной a вклады в дальнем поле по её открытию приходят с фазовым градиентом k sinθ. Сложите их комплексные амплитуды перед возведением в квадрат: нормированный интеграл по x от −a/2 до a/2 равен sinβ/β, где β=πa sinθ/λ. Отношение интенсивности равно (sinβ/β)². При θ=0 возьмите предел sinβ/β→1, вместо того чтобы называть центр неопределённым или тёмным. Нули возникают при a sinθ=mλ с ненулевым целым m. Центральный максимум лежит между первыми нулями и вдвое шире одного соседнего интервала «нуль-нуль» по sinθ. Максимумы боковых пиков не находятся ровно посередине между своими нулями.

При малых углах на удалённом экране L, y≈Lθ и sinθ≈θ дают первые нули y≈±Lλ/a. Таким образом, ширина центрального максимума составляет 2Lλ/a. Используйте метры последовательно: щель миллиметровой ширины и длина волны нанометрового порядка отличаются на шесть порядков. Для более широкого угла используйте θ=asin(mλ/a) и y=L tanθ; тогда выражение для малых углов y станет неточным. Условия дальнего поля требуют почти параллельных лучей от разных частей апертуры, например, когда L значительно больше a²/λ, или эквивалентная конфигурация фокальной плоскости. Близкополевые Fresnel-паттерны нельзя слепо относить к этому закону интенсивности.

Для двух когерентных идентичных равномерно освещённых щелей шириной a и расстояния d между центрами нормированная картина имеет вид (sinβ/β)² cos²α, где α=πd sinθ/λ, а центральная интенсивность служит нормировкой. Множитель cos² порождает интерференционные порядки d sinθ=nλ; множитель одиночной щели даёт более широкую огибающую с нулями. Малое расстояние между соседними интерференционными полосами равно λL/d. Увеличение d сужает расстояние между полосами; увеличение a сужает огибающую. Это отдельные изменения. Формула интерференции узких щелей с одинаковой высотой одна не предсказывает убывание яркости или отсутствующие порядки конечных апертур. Нек coherent источники не поддерживают ту же фазозависимую перекрёстную сумму.

Отсутствующий порядок возникает, когда nλ/d=mλ/a одновременно, что даёт n=m d/a. Если d/a является целым числом r, порядки ±r, ±2r и так далее аннулируются нулями апертуры. Не считайте порядок на границе огибающей видимой яркой полосой. В центральной огибающей номинальные центры интерференционных порядков удовлетворяют условию |n|<d/a; когда r — целое число, таких центров 2r−1. Для щелей конечной ширины точные локальные максимумы слегка смещены из-за изменяющейся огибающей, поэтому положения интерференционных порядков являются приближением к наблюдаемым центрам пиков. Определите, какая величина требуется, прежде чем считать каждый максимум cos² точным максимумом произведения.

Для двух конечных щелей разделите расстояние между интерференционными полосами от огибающей одиночной щели.

Если d = 5a, первый ноль огибающей $a\sin\theta=\lambda$ совпадает с порядком n = 5. Номинальные центры порядков в центральной огибающей находятся в диапазоне n = -4 до +4: всего девять. Это центры интерференции; огибающая может слегка сместить точные максимумы произведения.

Складывайте амплитуды полей перед возведением в квадрат, различайте a и d, а также исключайте темные граничные порядки. Сам по себе интерференционный максимум не гарантирует максимума полной картины.

дифракционная огибающая: Множитель интенсивности, зависящий от апертуры, который модулирует интерференционную картину.

порядок интерференции: порядок, отменяемый при совпадении с нулём интенсивности апертуры.

Отрицательное расстояние до изображения — это геометрический результат, определяющий положение мнимого изображения, а не ошибка вычисления, которую следует заменить его абсолютным значением.

Предварительные требования: 3.

• Определяйте положения тонких параосевых линз и сферических зеркал, используя установленную систему знаков
• Используйте знаковое увеличение для классификации ориентации и действительного или мнимого характера изображения
• Отслеживайте последовательные положения изображений как объекты для следующего элемента без сброса геометрии

Используйте для этого раздела систему знаков «действительное — положительное»: действительный объект испускает расходящиеся падающие лучи в элемент, поэтому s>0; уже сходящийся пучок падающих лучей может представлять мнимый объект, s<0. A real image has s′>0, тогда как мнимое изображение имеет s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0, а рассеивающая линза f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; отрицательное s′ помещает мнимое изображение на входной стороне. Укажите систему знаков перед подстановкой, поскольку другие системы координат со знаками дают уравнения иного вида.

Для собирающей тонкой линзы луч, параллельный оси, выходит через удалённый фокус, а луч, проходящий через идеальную оптическую точку, продолжается без отклонения. Их пересечение определяет действительное изображение; обратные продолжения могут определить мнимое изображение. Параосевое приближение использует лучи, близкие к оси, и пренебрегает толщиной и аберрациями. При s>f>0, s′ положительно, а M отрицательно: изображение действительное и перевёрнутое. При 0<s<f, s′ отрицательно, а M положительно: изображение мнимое, прямое и увеличенное. При s=f выходящие лучи параллельны, и конечная плоскость изображения отсутствует. Рассеивающая линза с действительным объектом даёт прямое уменьшенное мнимое изображение.

Для сферического зеркала в той же системе знаков «действительное — положительное» вогнутое f>0, а выпуклое f<0, при этом f=R/2 в параосевом пределе. Действительное отражённое изображение находится перед зеркалом на стороне падающего света; мнимое изображение — за ним. Таким образом, положительное расстояние до изображения для зеркала относится к другой физической стороне, чем для пропускной линзы. Параллельный луч отражается через вогнутый фокус; луч, направленный к центру кривизны, идёт по тому же пути. Выпуклые отражённые лучи расходятся так, будто исходят из фокуса за зеркалом. Используйте то же уравнение и M=−s′/s со знаковыми значениями, вместо неявного сочетания геометрии зеркала с диаграммой координат линзы.

Для последовательности разделённых линз сначала вычислите фактическую координату изображения от первой линзы. Относительно следующей линзы определите, расходятся ли падающие лучи от точки перед ней (реальный объект) или всё ещё сходятся к точке за ней (мнимый объект); это соответственно реальные и мнимые объекты. Только после этого присвойте ему знаковое расстояние до объекта и решите снова. Полное поперечное увеличение равно произведению отдельных знаковых увеличений для выровненных параосевых элементов. Расстояние между элементами не является автоматически вторым расстоянием до объекта. Геометрический характер действительного/мнимого изображения зависит от сходимости, а не от того, увеличено ли конечное изображение. Эти идеальные результаты не моделируют волновую оптическую разрешающую способность или сферические/хроматические аберрации.

Используйте расстояния «действительное — положительное» и положительное фокусное расстояние для собирающей линзы. При f = 12 см и расстоянии до действительного объекта s = 8 см,

Таким образом, s' = -24 см и $M=-s'/s=+3$. Мнимое изображение прямое, расположено со стороны объекта. Знаковые расстояния определяют физическую сторону; отрицательное расстояние не является арифметической ошибкой.

Сохраняйте знаки до тех пор, пока не будет интерпретирована геометрия; положительное зеркальное изображение лежит на стороне падающих лучей, тогда как положительное изображение пропускной линзы lies на стороне исходящих лучей.

мнимое изображение: Виртуальное изображение, определяемое продолжением лучей назад, а не реальным схождением исходящих лучей.

поперечное увеличение: Знаковое отношение высоты изображения к высоте предмета, равное −s′/s в принятой системе знаков.

Two wall layers in series carry the same steady heat rate 热流率, but their temperature drops need not be equal.

Prerequisites: 4.

• Combine conductive thermal resistances and distinguish heat rate from heat flux
• Balance sensible and latent heat 潜热 with stated isolation and heat-capacity conditions
• Calculate free thermal expansion and constrained thermal stress with their limits

For one-dimensional steady conduction through a uniform slab, Fourier’s law gives heat flux q_x=−κ dT/dx. With constant conductivity κ, area A, length L and hot-to-cold temperature difference ΔT, heat rate is Qdot=κAΔT/L. Define thermal resistance 热阻 R_th=L/(κA), measured in K/W; temperature drop is Qdot R_th. Series layers without internal sources carry the same Qdot and their resistances add. Parallel paths at the same endpoint temperatures have heat rates that add, so inverse resistances add. Heat flux is rate per area, W/m², and need not match between layers of different area. Interface contact resistance and heat leakage must be included if specified.

Heat capacity C=dQ/dT depends on the thermodynamic path and is not the same as specific heat c per mass. For a material interval without a phase transition, Q=∫mc(T)dT, or mcΔT when c is constant. In an isolated calorimeter, sum the energy changes of all objects, including the container when relevant, and set the sum to zero. At a phase transition at its equilibrium temperature, added energy can change phase fraction rather than temperature: Q=mℓ uses latent heat ℓ in J/kg. First supply the sensible heat to reach the transition, then budget latent heat. Do not let a simple weighted-temperature average predict an impossible temperature when melting or freezing is part of the process.

For a freely expanding rod and small temperature change, ΔL≈αL₀ΔT with linear expansion coefficient α. For an isotropic solid with small strain, each dimension acquires factor 1+αΔT, so ΔA/A≈2αΔT and ΔV/V≈3αΔT. A hole expands with the surrounding material as if its missing region had expanded too. These relations assume a nearly constant coefficient and no mechanical constraint; anisotropic crystals need directional coefficients. If an elastic rod is prevented from changing length, its mechanical strain cancels thermal strain. With tensile stress positive, σ≈−YαΔT during heating, where Y is Young’s modulus. This small-strain estimate requires elastic response without yielding or buckling.

Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Two slabs in series carry the same steady heat rate. Let resistances be 0.08 and 0.24 K/W. Boundary temperatures are 60 and 20 degrees Celsius.

The interface is 50 degrees Celsius when slab 1 touches the hot side. Heat rate has watt units; flux divides it by area.

Keep W separate from W/m², include the calorimeter or latent energy when needed, and do not use free-expansion length together with constrained-stress assumptions.

thermal resistance: Temperature difference per steady heat-transfer rate, measured in K/W.

latent heat: Energy transferred during a phase change at its transition temperature; specific latent heat is per mass.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

Фермионный уровень может содержать несколько частиц при наличии нескольких различных состояний; правило запрета применяется к каждому полному состоянию отдельно.

Предварительные требования: 20, 35, 38.

• Вычислить среднюю заселённость на одно полное квантовое состояние для фермионов и бозонов
• Подсчитать допустимые заселения тождественных частиц и определить классический разредженный предел
• Сравнить теплоёмкость классической квадратичной моды с реакцией квантового осциллятора

Для невзаимодействующих частиц в тепловом и обменном равновесии используйте химический потенциал μ и x=(ε−μ)/(kBT). Средняя заселённость одного полного состояния равна n_F=1/(e^x+1) для фермионов и n_B=1/(e^x−1) для бозонов. Заселение фермиона этого состояния равно нулю или единице; его среднее значение находится между ними. Заселение бозона может превышать единицу. Уровень вырождения g имеет полную среднюю заселённость, равную g, умноженной на заселение одного состояния, если все состояния уровня имеют одинаковую энергию. Считайте спин частью полного состояния. Знаменатель формулы Бозе требует ε>μ для обычного конечного выражения, а предел основного состояния рассматривается отдельно. Для равновесных фотонов μ=0, поскольку число фотонов не сохраняется; не принимайте μ=0 для любого газа материальных частиц.

Подсчитывайте паттерны заселений, а не маркируйте тождественные частицы. Два тождественных фермиона, распределённых среди четырёх различных полных состояний, имеют choose(4,2)=6 допустимых паттернов. Два тождественных бозона в тех же состояниях имеют choose(4+2−1,2)=10 паттернов, так как оба могут находиться в одном состоянии. Два помеченных различимых частицы имели бы 4²=16 назначений. Это различные модели подсчёта, а не три взаимозаменяемых ответа на один и тот же запрос. Если в задаче дано вырождение по спину, сначала определите, считается ли указанное число числом полных состояний или только орбитальными уровнями. Запрет Паули на два тождественных полных состояния не запрещает фермионам с противоположными спинами занимать одну пространственную орбиталь.

Когда x велико и положительно, заселение мало, и оба знаменателя определяются e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), что соответствует разредженному пределу Максвелла–Больцмана. При x=ln4 средние значения составляют 1/5 для фермионов, 1/3 для бозонов и 1/4 в классическом приближении; разница всё ещё существенна. Само по себе большое общее число частиц не оправдывает использование классической статистики: заселение контролируется плотностью, температурой и доступным числом состояний. У фермионов при низкой температуре состояния ниже μ заполняются почти полностью, а выше — почти пустуют. При ε=μ средняя заселённость фермионного состояния составляет половину; подстановка этого значения в обычную формулу Бозе привела бы к расходящемуся знаменателю и требует отдельного предельного анализа.

Классическая теорема о равнораспределении присваивает kBT/2 средней энергии каждому независимому квадратичному члену в равновесном гамильтониане. Одноатомный идеальный газ имеет три поступательных члена, дающих U=3NkBT/2 и C_V=3NkB/2. Один классический одномерный гармонический осциллятор имеет кинетические и потенциальные члены, дающие среднюю энергию kBT и C=kB. Для квантового осциллятора с фиксированным шагом ε=$\hbar$ω тепловая энергия над не зависящей от температуры нулевой точкой равна ε/(e^x−1), где теперь x=ε/(kBT), а C/kB=x²e^x/(e^x−1)². При высокой температуре он приближается к классическому значению; при низкой температуре возбуждение замораживается, и C→0. Энергия нулевых колебаний ε/2 сдвигает U, но не C. Вклад молекулярного вращения/колебания также требует проверки энергетических масштабов перед присвоением классических квадратичных членов.

Число заселения относится к одному полному одночастичному состоянию. Для $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

Классическое приближение разбавленных газов даёт $e^{-x}=1/4$; здесь оно не является точным. Уровень g-кратности имеет среднюю полную заселённость $g\bar n$, поэтому фермионный уровень может содержать более одной частицы, при этом каждое полное состояние по-прежнему подчиняется принципу запрета Паули.

Исключайте двух фермионов из одного полного состояния, а не из всего вырожденного энергетического уровня. Указывайте, какое значение x используется; заселения химического потенциала и формулы фиксированного возбуждения осциллятора — это разные модели.

средняя заселённость: Среднее число частиц в одном полном квантовом состоянии или заданной группе состояний в ансамбле.

равенство долей: Классическое правило равновесия, приписывающее kBT/2 каждому независимому квадратичному члену гамильтониана.

A zero first-order energy shift 一阶能量修正 can coexist with a changed state and a nonzero higher-order shift.

Prerequisites: 5, 24.

• Calculate nondegenerate first-order energy shifts as normalised expectation values
• Use symmetry and matrix elements to assess weak-coupling limits
• Diagonalise the perturbation within an exactly degenerate subspace 简并子空间

Let H=H₀+λW, where λ is a small dimensionless parameter and the eigenstates of H₀ are known and normalised. For a nondegenerate level n, the first-order energy correction is λ⟨n|W|n⟩. In position space this is λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx for a multiplicative potential, with integration over the allowed domain. A potential value at one point is not an expectation value; the state’s probability density weights the whole domain. For an infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Reflection about its centre makes ⟨x⟩=L/2, so a weak added potential γx has shift γL/2 for every nondegenerate well level at first order. γ has units of energy per length.

For a perturbation odd about the centre, such as γ(x−L/2), the probability density of an unperturbed well eigenstate is even, so its diagonal expectation vanishes. A centred quadratic perturbation η(x−L/2)² instead gives shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)], which is positive for η>0 and depends on n. Parity makes the first-order integral zero only for the specified state and operator symmetry. Off-diagonal matrix elements can still change the wavefunction. Do not turn a symmetry cancellation into a claim that every energy correction vanishes or that the original state remains exact.

For a nondegenerate state, the leading admixture of another unperturbed state m is proportional to λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). The useful smallness condition therefore compares coupling matrix elements with the relevant level separations, not just with an arbitrary absolute energy zero. To second order, the energy correction contains Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). For the lowest nondegenerate state, all these denominators are negative, so the second-order correction is nonpositive in this model. Near a degeneracy, a small denominator defeats the nondegenerate expansion; use a coupled subspace instead of dividing by zero.

If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

A degenerate subspace requires matrix diagonalisation before first-order shifts. Suppose the perturbation restricted to two states is $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Shifts are epsilon and 3 epsilon. Normalised states are $(1,-1)/\sqrt2$ and $(1,1)/\sqrt2$. Reading only the diagonal entries would miss the splitting. Couplings to other levels must remain weak relative to their energy gaps.

Use normalised state weights, keep perturbation units, and diagonalise a degenerate block. First-order cancellation and exact invariance are different claims.

first-order energy shift: Leading weak-perturbation correction given by the unperturbed state’s expectation value.

degenerate perturbation theory 简并微扰理论: Method that first diagonalises the perturbation within an unperturbed degenerate subspace.

Two electrons can share one spatial orbital if their complete spatial-plus-spin state has the required antisymmetry.

Prerequisites: 5, 36.

• Construct normalised symmetric and antisymmetric 反对称 two-orbital spatial states
• Combine spatial and spin symmetry to produce allowed two-electron states
• Count complete-state occupations and interpret exchange-induced correlations

For identical particles, exchanging every coordinate and spin label changes a fermionic total wavefunction by a minus sign and leaves a bosonic one unchanged. Mathematical slots 1 and 2 label arguments, not permanently distinguishable particles. For two distinct orthonormal orbitals a and b, spatial combinations are Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonality makes these combinations normalised and gives exchange eigenvalues ±1. If the two orbitals are identical, the antisymmetric combination is identically zero and the displayed symmetric formula is not correctly normalised; the double-occupation spatial state is simply a(1)a(2). Recheck normalization whenever orbitals or their overlaps change.

Two spin-1/2 particles have one spin singlet 自旋单态 (↑↓−↓↑)/√2 with total spin S=0; it is antisymmetric under exchange. The three triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 and ↓↓ have S=1 and are symmetric. Electrons require an antisymmetric total state, so a symmetric spatial state pairs with the singlet, while an antisymmetric spatial state pairs with a triplet. Two electrons in the same spatial orbital can form the singlet, but cannot form a triplet there in this simple two-electron state. Pauli exclusion prevents occupation of the same complete single-particle state, including spin. Opposite-spin electrons in one orbital are two different complete states; describing exclusion as one electron per orbital discards this distinction.

For two spatial orbitals a,b and two spin states each, there are four complete single-particle states. Two identical electrons have choose(4,2)=6 occupation patterns: two double-occupation singlets, one different-orbital singlet, and three different-orbital triplets. For three spatial orbitals, there are six complete states and choose(6,2)=15 patterns. Counting ordered assignments overcounts identical particles. Spinless bosons in two orbitals instead have three occupations: both in a, one in each, both in b. These counts assume no additional energy restriction and the stated accessible single-particle states; restricting total energy or spin projection changes the allowed subset.

An antisymmetric spatial state satisfies Ψ_−(x,x)=0, so its joint position density vanishes on the coincidence line. A symmetric spatial state need not vanish there. The difference arises from interference between exchanged amplitudes, even for noninteracting particles; it is not a separately imposed classical repulsive force. For a well of length L, choose a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). At x₁=L/4 and x₂=3L/4, the antisymmetric spatial amplitude is −2/L and its density is 4/L²; the symmetric amplitude is zero. These are joint probability densities per two lengths, not dimensionless probabilities at exact points. Physical spin compatibility still decides which total electronic state uses each spatial combination.

For orthonormal different orbitals a and b, symmetric and antisymmetric spatial states are

A two-electron total state must be antisymmetric under simultaneous exchange of position and spin. Thus symmetric space pairs with the spin singlet; antisymmetric space pairs with triplet spin. If both electrons occupy a, the spatial product is symmetric and only singlet spin is allowed. The different-orbital normalisation formula cannot simply be reused for a = b.

Exchange all spatial and spin arguments. Do not confuse antisymmetric space with antisymmetric total state, or use the distinct-orbital √2 factor for two identical orbitals.

spin singlet: Antisymmetric two-spin-1/2 state with total spin S=0.

Slater determinant 斯莱特行列式: Antisymmetric fermionic construction from complete single-particle states; duplicate states make it vanish.

Волновая функция связанного состояния может распространяться за пределы конечной ямы, хотя энергия частицы ниже внешнего потенциала.

Предварительные требования: 5, 24, 37.

• Соотнесите затухающие состояния конечной ямы и выведите условия квантования, зависящие от четности
• Интерпретируйте безразмерные корни связанных состояний и различайте локализацию и рассеяние
• Используйте водородоподобные квантовые числа, момент импульса и радиальные меры вероятности

Задать симметричный потенциальный ям V=−V₀ для |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 и ту же массу на всём промежутке. Связанная энергия находится между −V₀ и нулём. Внутри, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ даёт осциллирующие решения; снаружи, κ=√(−2mE)/$\hbar$ даёт затухающие хвосты. Отбросить растущие экспоненты для получения нормируемого состояния. Симметрия отражения допускает чётные cos(kx) или нечётные sin(kx) состояния внутри. При конечных границах без дельта-взаимодействий как ψ, так и ψ′ непрерывны. Чётное сопряжение даёт k tan(ka)=κ; нечётное — −k cot(ka)=κ. Конечная яма не требует обращения ψ в ноль на краях, как это делает бесконечная стена.

Ввести z=ka и ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Тогда κa=√(ρ²−z²) и 0<z<ρ. Решить z tan z=√(ρ²−z²) для чётного состояния или −z cot z=√(ρ²−z²) для нечётного, на интервалах с соответствующим знаком и вдали от полюсов тангенса. Энергия определяется как E/V₀=z²/ρ²−1. Для ρ=1 основной корень лежит в 0<z<1, и чётное уравнение там эквивалентно z=cos z. Бисекция или сходимость метода поиска корня дают z≈0.739085 и E/V₀≈−0.453753. Поскольку ρ<π/2, ветвь нечётных связанных состояний отсутствует. В одномерном случае притягивающая квадратичная яма имеет чётное связанное основное состояние независимо от её глубины; хвост при E=0 не является квадратично интегрируемым.

Для чётного связанного состояния записать ψ=A cos(kx) внутри и ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] снаружи. Непрерывность задаёт относительную амплитуду хвоста; проинтегрировать |ψ|² по внутренней области и хвостам, чтобы определить A. Вероятность вне ямы отлична от нуля и зависит от её глубины, ширины и выбранного состояния. Связанные состояния имеют дискретные энергии и нормируемые затухающие асимптоты. Рассеивающее состояние с E>0 имеет распространяющиеся внешние волны и нормируется или интерпретируется согласно континуумной/поточной конвенции. Затухающий хвост не является доказательством нарушения сохранения энергии, а сырая амплитуда хвоста не есть вероятность вне ямы до тех пор, пока она не будет проинтегрирована и нормирована.

Для однокатионного кулоновского иона с зарядом ядра Ze использовать нерелятивистскую модель центрального потенциала и приближение тяжёлого ядра, если не указана приведённая масса. E_n≈−13.6 Z²/n² эВ; разрешённые орбитальные числа: n≥1, l=0,…,n−1 и m_l=−l,…,l. L² имеет собственное значение l(l+1)$\hbar$² и L_z=m_l$\hbar$; основное 1s-орбиталь имеет l=0, несмотря на историческое правило круговых орбит Бохра. Пространственное вырождение при фиксированном n равно Σ_l(2l+1)=n² до учёта спина и тонкой структуры. Если ψ=R_nl(r)Y_lm с нормированной угловой частью, радиальная вероятность в dr равна r²|R|²dr, а не просто |R|²dr. Для водорода 1s радиальная плотность составляет 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: она имеет максимум при r=a₀ и среднее значение 3a₀/2, тогда как трёхмерная точечная плотность максимальна в начале координат. Различайте эти меры перед определением наиболее вероятного радиуса.

Конечная яма имеет V = -V0 для $|x|<a$ и ноль снаружи. Связанная энергия строго лежит между -V0 и нулём. Определить

Чётная четность даёт косинус внутри и затухающие хвосты. Сопряжение значения и производной при a даёт Нечётная четность вместо этого даёт $-k\cot(ka)=\kappa$. Решать только в допустимых интервалах четности; корень в полюсе тангенса не является связанным состоянием.

Используйте объявленный нулевой потенциал, подгоните также ψ′, а не только ψ, и включите меру радиальной оболочки. Связанный хвост и бегущая волна континуума находятся в разных энергетических режимах.

связанное состояние: Нормируемое стационарное состояние с ограниченной вероятностью и дискретной энергией в указанной модели.

радиальная плотность вероятности: Вероятность на единицу радиального расстояния, включая меру сферической оболочки после углового интегрирования.

Одно и то же магнитное поле требует различных квантовых меток, когда его энергетическая шкала пересекает расщепление спин-орбитального взаимодействия.

Предварительные требования: 7, 37.

• Вычислить сдвиги орбитального и спинового магнитных моментов в соответствующем режиме связи
• Определить сдвиги энергии фотонов, вызванные разрешёнными переходами между верхним и нижним уровнями
• Сопоставить аннуляцию чётности со спадением вырождения в электрическом поле

Электрон обладает отрицательным магнитным моментом: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ и μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. При ориентации поля B вдоль положительной оси z взаимодействие −μ·B даёт H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ эВ/Тл. В неспаренном базисе с орбитальным проекционным числом m_l и спиновым проекционным числом m_s=±1/2 сдвиг равен μ_B B(m_l+2m_s). Используйте это правило для неспаренного базиса, когда магнитное взаимодействие велико по сравнению со спино-орбитальным расщеплением, но мало по сравнению с энергетическими разрывами орбитальных уровней, чтобы можно было пренебречь квадратичными диамагнитными эффектами и перестройкой орбиталей. «Большое» и «малое» — это сравнения энергий, а не универсальные пороги по теслам. В противоположном режиме слабого поля m_l и m_s не являются независимыми числами сохранения для собственного состояния LS-связи.

Когда доминирует LS-связь над слабым магнитным возмущением, J=L+S, а m_J маркирует мультиплет. Сдвиг первого порядка равен μ_B B g_J m_J, где g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] при приближении g_s=2. Здесь L, S, J — безразмерные квантовые числа. Для L=1, S=1/2, J=3/2 получаем g_J=4/3 и сдвиги −2, −2/3, +2/3, +2 в единицах μ_B B. При J=1/2 имеем g_J=2/3 и сдвиги ±μ_B B/3. Не подставляйте J=0 в сингулярную формулу; состояние с J=0 не имеет сдвига векторной проекции первого порядка. Промежуточные поля требуют использования связанного гамильтониана, а не смешения формул слабого поля и неспаренного базиса.

Энергия фотона равна разности верхней и нижней атомных энергий. Следовательно, её изменение, вызванное полем, равно ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Подсчёт разрешённых переходов производят с учётом указанных правил отбора, а также паттернов двух уровней. Несколько переходов могут совпадать по частоте; количество расщеплённых состояний не обязательно равно числу спектральных линий. В модели с пренебрежением спином (орбитальная модель) у верхнего триплета с L=1 сдвиги равны m_l μ_B B при m_l=−1,0, +1, а у нижнего уровня с L=0 сдвиг равен нулю. Электродипольный переход Δm_l=0, ±1 допускает три сдвига фотона: −μ_B B, 0, +μ_B B. Эта нормальная триплетная модель описывает не все реальные атомы или мультиплеты тонкой структуры. Поляризация и направление наблюдения могут менять набор регистрируемых компонент.

В однородном электрическом поле F вдоль оси z возмущение электрона равно +eFz при указанной конвенции электростатического потенциала. Собственное состояние с невырожденной чётностью имеет ⟨z⟩=0, поэтому его сдвиг Stark первого порядка обращается в ноль, хотя может сохраниться квадратичный сдвиг. Точно вырожденные состояния с противоположной чётностью, напротив, позволяют наличие внедиагонального дипольного матричного элемента. В исходной модели двух состояний предположим, что дипольная матрица имеет вид [[0,d],[d,0]], где d — вещественная величина в единицах заряд × длина. Возмущение, умноженное на F, имеет собственные значения ±dF и суперпозиции противоположных знаков двух состояний. Изменение фазы базиса меняет знак внедиагонального элемента, но не величину расщепления 2|dF|. Реальные атомы, близкие к вырождению, требуют сравнения с тонкой структурой и другими малыми расщеплениями перед принятием приближения точного вырождения; эта приведённая матрица не является универсальным коэффициентом для водорода.

В слабых магнитных полях при LS-связи эффект Зеемана определяется через J, а не через неспаренные ml и ms.

Для L = 1, S = 1/2 и J = 3/2, $g_J=4/3$. Выберите режим поля перед подстановкой квантовых чисел. Сдвиги фотона вычисляются как разность сдвигов уровней.

Объявите режим связи, сохраните знак отрицательного электронного момента и вычтите сдвиги нижних уровней. Нулевое диагональное значение дипольного момента не исключает вырожденного смешивания или квадратичных сдвигов.

Фактор Ланде: Коэффициент проекции, связывающий сдвиг в слабом магнитном поле при LS-связи с произведением g_J m_J.

Расщепление Штарка: Разделение атомных энергетических уровней, вызванное электрическим полем, где ведущий порядок определяется симметрией и вырождением.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

Пучок фотонов не имеет определённой дальности действия, тогда как тяжёлые заряженные частицы имеют; расчёты экранирования ошибочны, если эти два типа частиц перепутать.

Предварительные требования: 7, 17, 21.

• Различайте торможение и дальность заряженных частиц с экспоненциальным ослаблением фотонов
• Вычисляйте ослаблённую интенсивность и зарегистрированные отсчёты с указанными коэффициентами
• Объясните вынужденное излучение, инверсию заселённости и условия оптического резонанса в резонаторе

Тяжёлые заряженные частицы теряют энергию непрерывно в результате множества мелких столкновений, поэтому имеют приблизительную дальность: при модели постоянной потери энергии частица с начальной энергией E0 и скоростью потерь dE/dx останавливается после прохождения расстояния E0/(dE/dx). Электроны обладают большей разбросом и испытывают радиационные потери. Фотоны же взаимодействуют дискретно, поэтому узкий пучок ослабляется экспоненциально как I=I0 e^(−μx) без определённого максимального глубинного предела; слой половинного ослабления составляет ln2/μ.

Применяйте экспоненту только к указанной геометрии узкого пучка: μ=0.2 /см даёт слой половинного ослабления 3.47 см и отношение I/I0=e^(−2)≈0.135 после пройденных 10 см. Умножьте на коэффициент эффективности детектора для получения зарегистрированных отсчётов: при μx=ln4 и ε=0.25 зарегистрированная доля составит 0.25×1/4=1/16. Накопление рассеянных фотонов приводит к тому, что широкое экранирование пропускает больше излучения, чем предсказывает экспонента для узкого пучка; укажите геометрию.

Вынужденное излучение порождает фотон, совпадающий со стимулирующим фотоном по частоте, направлению и фазе, обеспечивая когерентное усиление. Оно конкурирует с поглощением; чистое усиление требует инверсии заселённости N2/g2>N1/g1 (N2>N1 при равных степенях вырождения). Равновесие с положительной температурой характеризуется соотношением N2/g2<N1/g1 благодаря фактору Больцмана, поэтому двухуровневая система в равновесии не может обеспечивать непрерывную генерацию; на практике лазеры используют накачку третьего уровня или метастабильного состояния.

Линейный резонатор длиной L поддерживает стоячие волны с условием L=mλ/2, т.е. частотами ν_m=mc/(2L) с шагом c/(2L): для L=30 см шаг составляет 500 МГц. Усиление должно превышать суммарные потери за полный проход для возникновения колебаний. Интерферометры, такие как интерферометр Майкельсона, используют ту же когерентность: число интерференционных полос следует за изменениями оптического пути, как в измерении с газовой ячейкой.

Узкий пучок имеет ослабление $I=I_0e^{-\mu x}$ и слой половинного ослабления $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Три слоя половинного ослабления пропускают долю 1/8. Данная модель не учитывает накопление рассеянного излучения в детекторе. Для линейной вакуумной лазерной резонаторной полости соседние продольные моды разделены на $c/(2L)$. Чистая вынужденная усиление требует $N_2/g_2>N_1/g_1$; более простая модель $N_2>N_1$ предполагает равные степени вырождения.

Присвоение фотонам определенного пробега или заряженным частицам единственного экспоненциального закона, а также игнорирование того, что заселенности двухуровневой системы в равновесии не могут быть инвертированы. Проверьте, какая модель взаимодействия требуется для данного вида пучка.

половинный слой: Толщина материала, уменьшающая интенсивность экспоненциально ослабленного пучка вдвое, равна ln2/μ.

инверсия населённости: Неравновесное состояние с большей заселённостью верхнего лазерного уровня по сравнению с нижним, обеспечивающее чистую вынужденную эмиссию.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Writing the Laplacian of a radial function as f″ drops a term; the operator belongs to the coordinates, not the symbol.

Prerequisites: Algebra, differentiation and vector components.

• Use the divergence 散度 and Laplacian in the coordinate system selected by the symmetry
• Solve a simple separated boundary-value mode problem
• Check convergence, units and stability of an original numerical update

Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.

Separation of variables 分离变量法 turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

A spherical radial field has divergence

For $A_r=Cr$, it gives 3C, not C. Fixed string ends require $X(0)=X(L)=0$, hence $X_n=\sin(n\pi x/L)$ with positive integer n. Euler for $\dot y=-\lambda y$ gives $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. For positive h, bounded absolute stability permits $h\leq2/\lambda$; decay to zero requires the strict inequality $0<h<2/\lambda$. At the upper endpoint the numerical solution alternates without decay. Stability does not establish accuracy.

Applying the Cartesian Laplacian to a radial function, summing modes that violate the boundary conditions, or calling a bounded-looking run converged without refining the step. Match operator, boundaries and stability condition 稳定性条件 to the actual problem.

separation of variables: Solving a partial differential equation by writing the unknown as a product of single-variable factors.

stability condition: The step-size restriction that keeps a numerical recurrence from amplifying errors.