CM.6 · Fluid continuity, pressure energy and viscous flow

Узкая труба пропускает тот же объемный расход, что и широкая, но ее поведение давления зависит как от скорости, так и от вязких потерь.

Предварительные требования: 10, 47.

• Объединить условие непрерывности несжимаемой жидкости с давлением, высотой и кинетической энергией
• Применять гидростатические и формулы Бернулли только при соблюдении их условий применимости
• Использовать вязкость, масштабирование Пуазейля и число Рейнольдса для различения режимов течения

При установившемся потоке масса, проходящая через последовательные поперечные сечения в единицу времени, одинакова: ρAv является постоянной. Несжимаемая жидкость имеет почти постоянную плотность ρ, поэтому Q=Av — это объёмный расход. Уменьшение радиуса трубы вдвое уменьшает площадь в четыре раза и увеличивает среднюю скорость в четыре раза при том же Q. Давление не определяет Q без модели остальной системы. В неподвижной жидкости dp/dz=−ρg при z, направленном вверх; следовательно, давление увеличивается на ρgh на расстоянии h ниже поверхности. Используйте абсолютное или манометрическое давление последовательно с обеих сторон.

Для установившегося, несжимаемого, безвязкого движения вдоль линии тока без насоса или диссипативных потерь уравнение Бернулли имеет вид p+ρv²/2+ρgz=const. Эти три члена представляют энергию на единицу объёма и имеют размерность давления. При равной высоте большая скорость требует меньшего статического давления при данных допущениях. Более высокий выход также использует энергию давления/кинетическую энергию для приобретения гравитационной потенциальной энергии. Применение уравнения Бернулли вдоль одной линии тока не обязательно означает наличие той же константы на разных линиях тока при вращательном движении. Точка торможения имеет v=0 и преобразует локальную кинетическую энергию в повышение давления в идеальной модели.

Вязкость переносит импульс между соседними слоями жидкости. Для установившегося полностью развитого ламинарного течения ньютоновской несжимаемой жидкости в круговой трубе Q=πR⁴Δp/(8ηL). Здесь Δp — падение давления вдоль трубы, η — динамическая вязкость, а L — длина трубы. Удвоение радиуса при фиксированных Δp, η и L увеличивает Q в шестнадцать раз. Удвоение Q при неизменной геометрии требует удвоения падения давления. Эти вязкие потери давления нельзя прибавлять к уравнению Бернулли без потерь так, как будто ничего не изменилось; необходимо включить диссипативное падение давления/напора или использовать модель вязкости.

Число Рейнольдса Re=ρvD/η сравнивает инерционные и вязкие эффекты, используя характерную скорость v и длину D. Для трубы используйте среднюю скорость и внутренний диаметр, а не радиус. Re безразмерен: произведение плотности на скорость на длину имеет те же единицы измерения, что и динамическая вязкость. Малые значения Re способствуют доминированию вязкости; переход к турбулентности зависит от геометрии и возмущений, поэтому единый порог не является универсальным законом. Масштабирование Пуазейля небезопасно после предположения о турбулентном течении. Перед выбором формулы проверьте непрерывность объёма, знак изменения давления и режим течения.

Установившееся несжимаемое горизонтальное идеальное течение имеет площади 4 и 1 квадратных сантиметров. На первом сечении скорость составляет 1 м/с. Непрерывность и уравнение Бернулли дают

Уравнение неразрывности сохраняет Q постоянным вдоль одной трубы; Пуазейль сравнивает Q между различными системами при заданном перепаде давления. Укажите, что удерживается постоянным, прежде чем сравнивать степени радиуса.

объёмный расход: Объём, проходящий через сечение за единицу времени, Q=Av для средней скорости v.

динамическая вязкость: Коэффициент, связывающий касательное напряжение с градиентом скорости в ньютоновской жидкости.