CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

Человек, стоящий неподвижно на поворачивающейся платформе, испытывает реальную силу, направленную внутрь, хотя его ускорение относительно платформы равно нулю.

Предварительные требования: 26.

• Преобразуйте ускорение с учётом членов перемещающихся и вращающихся систем отсчёта
• Определите направления центробежной, Кориолиса и Эйлеровской сил через векторные произведения
• Разделите кажущиеся силы на реальные взаимодействия и проверьте предельный переход к инерциальной системе

В неинерциальной системе отсчета с ускорением начала A уравнение Ньютона принимает вид m a′=F_real−mA. Для лифта, движущегося с ускорением вверх, в земной системе отсчета N−mg=ma, а для неподвижного пассажира в системе отсчета лифта N−mg−ma=0. Это дает одинаковый результат. Дополнительный член — это мнимая сила, возникающая из-за выбранного ускоряющегося базиса координат; она не является новой силой со стороны другого тела. Равномерное перемещение с A=0 меняет скорость, но не требует введения мнимой силы.

Для вращающегося базиса дифференцирование вектора добавляет член Ω×к этому вектору. Повторное применение дает a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Здесь r и v′ измеряются относительно движущегося начала в его вращающихся осях; все векторы в расчете должны быть выражены в одном и том же базисе в один и тот же момент времени. Перенесите последние три вращательных члена в правую часть уравнения, чтобы получить силу Кориолиса −2mΩ×v′, центробежную силу −mΩ×(Ω×r) и силу Эйлера −mΩdot×r. При постоянной скорости вращения исчезает только член Эйлера, а не член Кориолиса.

Пусть вектор Ω направлен вдоль оси +z (против часовой стрелки при виде сверху), частица находится в точке r вдоль оси +x. Центробежная сила направлена вдоль +x с модулем mΩ²r. Если частица движется наружу со скоростью v′ вдоль +x, то Ω×v′ направлен по +y, следовательно, сила Кориолиса указывает в сторону −y. Изменение направления относительной скорости меняет направление силы Кориолиса на противоположное; если v′=0, сила Кориолиса исчезает. Сила Кориолиса перпендикулярна v′ и не совершает мгновенной работы над этим относительным движением. Центробежная сила направлена от оси вращения, а не обязательно от выбранного начала координат в произвольном трехмерном положении.

Тело, покоящееся на платформе, имеет a′=v′=0. При постоянной скорости вращения и фиксированном начале его реальная сила должна быть равна mΩ×(Ω×r), направленной внутрь, компенсируя внешнюю мнимую силу во вращающемся уравнении. Если вращение изменяется, также необходима касательная реальная сила для компенсации члена Эйлера. Всегда проверяйте предельный переход Ω→0 и A→0: обычное инерционное ньютоновское движение должно восстановиться. Не смешивайте требование реальной центростремительной силы с добавочной внешней реакцией на одно и то же тело; партнеры взаимодействия должны рассматриваться в отдельных диаграммах свободного тела.

Во вращающейся системе отсчета сила Кориолиса зависит от относительной скорости.

Для m = 2 кг, Ω = 2 рад/с вдоль z, r = 1 м вдоль x и v' = 3 м/с вдоль x, Сила Эйлера равна нулю только потому, что Ω постоянна. Это координатные члены, а не дополнительные физические контакты.

Относительная скорость v′ должна использоваться в члене Кориолиса. Использование полной инерциальной скорости приведет к двойному учету вращения.

Сила Кориолиса: Мнимая сила во вращающейся системе отсчета −2mΩ×v′, вызванная относительным движением.

Центробежная сила: Мнимая сила во вращающейся системе отсчета −mΩ×(Ω×r), направленная от оси вращения.