CM · Classical mechanics

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Тема 1

1.1

Классическая механика

Планета движется с ускорением даже при постоянной скорости: скорость включает направление.

Предварительные требования: 47.

Применять ньютоновские, лагранжевы и гамильтоновы описания
Анализировать вращение, центральные силы и колебания
Использовать законы сохранения вместе с условиями их применения

English	Русский
Lagrangian/læˈɡræŋɡɪən/	лагранжиан
angular momentum/ˈæŋɡjʊlə məʊˈmentəm/	момент импульса

1.2

Выбрать систему и модель

Второй закон Ньютона — векторное утверждение. Выберите систему координат и определите связи до разложения на компоненты.

1.3

Использовать управляющее соотношение

Закон сохранения энергии применим, когда работа неконсервативных сил учтена; закон сохранения импульса требует нулевого суммарного внешнего импульса.

1.4

Применить условия

Для малых колебаний линеаризуйте задачу вокруг устойчивого равновесия. Восстанавливающая сила, пропорциональная смещению, обеспечивает гармонические колебания.

1.5

Проверьте вывод

Уравнения Лагранжа используют L=T−V и обобщённые координаты. Этот формализм для студентов бакалавриата отличается от школьного метода замены сил.

1.6

Разобранный метод

Выберите инерциальную систему отсчёта и координату x, отсчитываемую от положения равновесия пружины. Для консервативной пружины лагранжев подход позволяет избежать решения уравнений связей.

$$L=\tfrac12m\dot x^2-\tfrac12kx^2.$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0, \qquad m\ddot x+kx=0.$$

При m = 2.0 кг и k = 18 Н/м,

$$\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{(18\,\mathrm{N/m})/(2.0\,\mathrm{kg})}=3.0\,\mathrm{rad/s}.$$

$$T=2\pi/\omega=2\pi/(3.0\,\mathrm{rad/s})=2.09\,\mathrm{s}.$$

Положительная жёсткость обеспечивает устойчивое движение. Единицы измерения k/m — обратные секунды в квадрате.