QM · Quantum mechanics and atomic physics

Частица в ящике не может иметь нулевую энергию основного состояния. Её локализация изменяет допустимый набор квантовых состояний.

Предварительные требования: 24, 37, 38, 39.

• Использовать волновые функции, операторы и вероятности измерений
• Решать стандартные модели связанных состояний и рассуждения о туннелировании
• Применять принципы момента импульса, спина и атомной спектроскопии

Волновая функция состояния должна удовлетворять граничным условиям модели и иметь полную вероятность, равную единице: проинтегрируйте |ψ(x)|² по допустимой области. Для ортонормированных состояний φ_j суперпозиция ψ=Σc_jφ_j имеет квадрат нормы Σ|c_j|², поскольку перекрестные члены при интегрировании дают ноль. Таким образом, в равновесной суперпозиции N ортонормированных состояний модуль коэффициента равен 1/sqrt(N). Вероятность обнаружения определенного уровня энергии составляет |c_j|², а не c_j. Относительные фазы могут влиять на вероятности положения даже при неизменных энергетических вероятностях.

Наблюдаемая величина представляется эрмитовым оператором. Его собственные значения вещественны, а нормированное состояние дает среднее значение ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Среднее значение — это усреднение по многократным приготовлениям системы, а не обязательно результат одного измерения. Если A удовлетворяет полиномиальному тождеству, примените его к собственному состоянию: для A⁴=I вещественное собственное значение должно быть +1 или −1. Сложный корень четвертой степени исключен свойством эрмитовости, хотя он и является решением полинома.

Для бесконечного потенциального ямы 0<x<L, условие ψ(0)=ψ(L)=0 допускает синусоидальные моды sin(nπx/L), где n=1,2,… . Их энергии равны E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), поэтому основное состояние не равно нулю, а удвоение L делит каждую энергию на четыре. Эквивалентное выражение через h имеет вид n²h²/(8mL²); никогда не подставляйте h вместо $\hbar$ без его множителя π2. Конечный барьер вместо этого допускает экспоненциальные хвосты, а бегущая волна в классически разрешенной области имеет осциллирующую, а не экспоненциально убывающую пространственную зависимость.

Операторы коммутируют, когда [A,B]=AB−BA=0; совместимые наблюдаемые могут иметь общий базис собственных векторов. Поскольку кинетическая энергия p²/(2m) является функцией импульса p, она коммутирует с p. Потенциал, зависящий от координаты, как правило, приводит к тому, что гамильтониан H=p²/(2m)+V(x) не коммутирует с p. Момент импульса подчиняется соотношению [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z и циклическим перестановкам, тогда как J² коммутирует с каждым из компонентов. Атомные переходы связаны с обменом положительной энергией фотона, равной разности уровней; правила отбора, связанные с моментом импульса и механизмом, ограничивают возможные переходы.

Бесконечная потенциальная яма простирается от 0 до L. Исчезновение волновой функции на обоих концах дает

Подготовьте $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Ортогональность обеспечивает единичную норму. Измерения энергии дают E1 или 4E1 с равной вероятностью: Это среднее значение не является допустимым результатом отдельного измерения. Относительная фаза изменяется со временем, поэтому суперпозиция различных энергий не является стационарным состоянием.

Стационарное состояние может иметь ненулевую энергию, даже если его плотность вероятности не зависит от времени.

нормировка: Обеспечение того, чтобы полная вероятность была равна единице.

оператор: Математическое действие, представляющее наблюдаемую величину.