QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Волновая функция связанного состояния может распространяться за пределы конечной ямы, хотя энергия частицы ниже внешнего потенциала.

Предварительные требования: 5, 24, 37.

• Соотнесите затухающие состояния конечной ямы и выведите условия квантования, зависящие от четности
• Интерпретируйте безразмерные корни связанных состояний и различайте локализацию и рассеяние
• Используйте водородоподобные квантовые числа, момент импульса и радиальные меры вероятности

Задать симметричный потенциальный ям V=−V₀ для |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 и ту же массу на всём промежутке. Связанная энергия находится между −V₀ и нулём. Внутри, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ даёт осциллирующие решения; снаружи, κ=√(−2mE)/$\hbar$ даёт затухающие хвосты. Отбросить растущие экспоненты для получения нормируемого состояния. Симметрия отражения допускает чётные cos(kx) или нечётные sin(kx) состояния внутри. При конечных границах без дельта-взаимодействий как ψ, так и ψ′ непрерывны. Чётное сопряжение даёт k tan(ka)=κ; нечётное — −k cot(ka)=κ. Конечная яма не требует обращения ψ в ноль на краях, как это делает бесконечная стена.

Ввести z=ka и ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Тогда κa=√(ρ²−z²) и 0<z<ρ. Решить z tan z=√(ρ²−z²) для чётного состояния или −z cot z=√(ρ²−z²) для нечётного, на интервалах с соответствующим знаком и вдали от полюсов тангенса. Энергия определяется как E/V₀=z²/ρ²−1. Для ρ=1 основной корень лежит в 0<z<1, и чётное уравнение там эквивалентно z=cos z. Бисекция или сходимость метода поиска корня дают z≈0.739085 и E/V₀≈−0.453753. Поскольку ρ<π/2, ветвь нечётных связанных состояний отсутствует. В одномерном случае притягивающая квадратичная яма имеет чётное связанное основное состояние независимо от её глубины; хвост при E=0 не является квадратично интегрируемым.

Для чётного связанного состояния записать ψ=A cos(kx) внутри и ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] снаружи. Непрерывность задаёт относительную амплитуду хвоста; проинтегрировать |ψ|² по внутренней области и хвостам, чтобы определить A. Вероятность вне ямы отлична от нуля и зависит от её глубины, ширины и выбранного состояния. Связанные состояния имеют дискретные энергии и нормируемые затухающие асимптоты. Рассеивающее состояние с E>0 имеет распространяющиеся внешние волны и нормируется или интерпретируется согласно континуумной/поточной конвенции. Затухающий хвост не является доказательством нарушения сохранения энергии, а сырая амплитуда хвоста не есть вероятность вне ямы до тех пор, пока она не будет проинтегрирована и нормирована.

Для однокатионного кулоновского иона с зарядом ядра Ze использовать нерелятивистскую модель центрального потенциала и приближение тяжёлого ядра, если не указана приведённая масса. E_n≈−13.6 Z²/n² эВ; разрешённые орбитальные числа: n≥1, l=0,…,n−1 и m_l=−l,…,l. L² имеет собственное значение l(l+1)$\hbar$² и L_z=m_l$\hbar$; основное 1s-орбиталь имеет l=0, несмотря на историческое правило круговых орбит Бохра. Пространственное вырождение при фиксированном n равно Σ_l(2l+1)=n² до учёта спина и тонкой структуры. Если ψ=R_nl(r)Y_lm с нормированной угловой частью, радиальная вероятность в dr равна r²|R|²dr, а не просто |R|²dr. Для водорода 1s радиальная плотность составляет 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: она имеет максимум при r=a₀ и среднее значение 3a₀/2, тогда как трёхмерная точечная плотность максимальна в начале координат. Различайте эти меры перед определением наиболее вероятного радиуса.

Конечная яма имеет V = -V0 для $|x|<a$ и ноль снаружи. Связанная энергия строго лежит между -V0 и нулём. Определить

Чётная четность даёт косинус внутри и затухающие хвосты. Сопряжение значения и производной при a даёт Нечётная четность вместо этого даёт $-k\cot(ka)=\kappa$. Решать только в допустимых интервалах четности; корень в полюсе тангенса не является связанным состоянием.

Используйте объявленный нулевой потенциал, подгоните также ψ′, а не только ψ, и включите меру радиальной оболочки. Связанный хвост и бегущая волна континуума находятся в разных энергетических режимах.

связанное состояние: Нормируемое стационарное состояние с ограниченной вероятностью и дискретной энергией в указанной модели.

радиальная плотность вероятности: Вероятность на единицу радиального расстояния, включая меру сферической оболочки после углового интегрирования.