Связанные состояния в потенциальной яме конечной глубины и водородоподобные квантовые числа
Введено| English | Значение |
|---|---|
| bound state/baʊnd steɪt/ | связанное состояние |
| radial probability density/ˈreɪdɪəl ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | радиальная плотность вероятности |
Решение перед ответом
- Связанная волновая функция может распространяться за пределами конечной потенциальной ямы, даже если энергия частицы ниже внешнего потенциала.
- Ваша цель: сопоставить асимптоты состояний в конечной яме и вывести условия квантования, зависящие от четности.
Сопоставление асимптот связанных состояний
- Объявим симметричную яму V=−V₀ для |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 и той же массы повсюду. Связанная энергия находится между −V₀ и нулем. Внутри k=√[2m(E+V₀)]/ℏ дает осциллирующие решения; снаружи κ=√(−2mE)/ℏ дает затухающие хвосты. Отбросьте растущие экспоненты, чтобы получить нормируемое состояние.
- Отражательная симметрия допускает чётные cos(kx) или нечётные sin(kx) состояния внутри ямы. На конечных границах без дельта-взаимодействий непрерывны как ψ, так и ψ′. Чётное匹配 дает k tan(ka)=κ; нечётное matching дает −k cot(ka)=κ. Конечная яма не требует обращения ψ в ноль на своих краях, как это делает бесконечная стенка.
For a finite square well with equal mass on both sides and no delta interaction, boundary matching requires:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both wavefunction and first derivative are continuous at a finite step under these assumptions.
Решите безразмерный корень
- Введите z=ka и ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Тогда κa=√(ρ²−z²) и 0<z<ρ. Решите z tan z=√(ρ²−z²) для четного состояния или −z cot z=√(ρ²−z²) для нечетного, на интервалах с соответствующим знаком и вдали от полюсов тангенса. Энергия следует как E/V₀=z²/ρ²−1.
- Для ρ=1, основной корень лежит в 0<z<1, и чётное уравнение там эквивалентно z=cos z. Метод половинного деления или сходящийся поисковик корня дают z≈0.739085 и E/V₀≈−0.453753. Поскольку ρ<π/2, ветвь нечётных связанных состояний отсутствует. В одномерном случае притягивающая квадратичная яма имеет чётное связанное основное состояние, какой бы мелкой она ни была; хвост порога E=0 не является квадратично интегрируемым.
For a hydrogenic orbital n=4, which pair (l,m_l) is allowed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
l can be 0 through 3, and |m_l| cannot exceed l.
Нормировка внутренней области и хвостов
- Для чётного связанного состояния запишем ψ=A cos(kx) внутри и ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] снаружи. Непрерывность задаёт относительную амплитуду хвоста; проинтегрируем |ψ|² по внутренней области и хвостам, чтобы определить A. Вероятность нахождения частицы вне ямы отлична от нуля и зависит от её глубины, ширины и выбранного состояния.
- Связанные состояния имеют дискретные энергии и нормируемые затухающие асимптоты. Рассеянное состояние с E>0 имеет распространяющиеся внешние волны и нормируется или интерпретируется с использованием конвенции континуума/потока. Затухающий хвост не является доказательством нарушения сохранения энергии, а сырая амплитуда хвоста — не вероятность снаружи, пока она не будет проинтегрирована и нормирована.
Для ρ=1, z≈0.739085 даёт κa≈0.673612 и E≈−0.453753V₀; чётное основное состояние «просачивается» за пределы ±a, но затухает на бесконечности. Для одноэлектронного иона Z=2 при n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 эВ. Разрешённые значения l равны 0 и 1, что даёт четыре пространственных состояния до учёта спина. В водородном 1s орбитале радиальная плотность достигает максимума при a₀, поскольку фактор оболочек r² компенсирует убывание точечной плотности; интегрирование радиальной плотности даёт ⟨r⟩=3a₀/2.
For n=4 in the nonrelativistic Coulomb model, spatial degeneracy before spin is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Σ_l=0 to 3 (2l+1)=1+3+5+7=16.
Выбор меры вероятности водородоподобного атома
- Для одноэлектронного кулоновского иона с зарядом ядра Ze используем нерелятивистскую модель центрального потенциала и приближение тяжелого ядра, если не указана приведённая масса. E_n≈−13.6 Z²/n² эВ; разрешённые орбитальные числа: n≥1, l=0,…,n−1 и m_l=−l,…,l. L² имеет собственное значение l(l+1)ℏ² и L_z=m_lℏ; основное 1s-орбиталь имеет l=0, несмотря на историческое правило круговых орбит Бора.
- Пространственная вырожденность при фиксированном n равна Σ_l(2l+1)=n² до учёта спина и тонкой структуры. Если ψ=R_nl(r)Y_lm, где угловая часть нормирована, радиальная вероятность в dr равна r²|R|²dr, а не просто |R|²dr. Для водородного 1s радиальная плотность равна 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: она достигает максимума при r=a₀ и имеет среднее значение 3a₀/2, тогда как трёхмерная точечная плотность максимальна в начале координат. Различайте эти меры перед определением наиболее вероятного радиуса.
Используйте объявленный нулевой потенциал, подгоните также ψ′, а не только ψ, и включите меру радиальной оболочки. Связанный хвост и бегущая волна континуума находятся в разных энергетических режимах.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Сопоставить затухающие конечные потенциальные ямы и вывести условия квантования, зависящие от четности
A finite-well bound state can have nonzero probability outside the well while decaying at infinity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Its external exponential tails are nonzero near the edges but integrable for κ>0.
Сохраняйте различия
- связанное состояние — Нормируемое стационарное состояние с локализованной вероятностью и дискретной энергией в заданной модели.
- радиальная плотность вероятности — Вероятность на единицу радиального расстояния, включающая меру сферической оболочки после углового интегрирования.
- Сопоставить затухающие конечные потенциальные ямы и вывести условия квантования в зависимости от четности.
- Интерпретировать безразмерные корни связанных состояний и различать локализацию и рассеяние.
- Использовать водородоподобные квантовые числа, момент импульса и радиальные меры вероятности.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.