CM.2 · Rotation, buoyancy and terminal-speed balances

Переворачивание плавающего бруска может изменить объем погруженной части древесины, хотя общий вес остается неизменным.

Предварительные требования: 10.

• Использовать момент сил относительно точки опоры и момент инерции согласованно
• Разделять кинетическую энергию качения с учетом условия отсутствия проскальзывания
• Балансировать силу Архимеда и сопротивление для составных тел

Момент силы относительно неподвижной точки опоры равен r×F; его величина определяется перпендикулярным плечом. Для однородного стержня длиной L, закрепленного одним концом, сила тяжести действует в центре на расстоянии L/2, а момент инерции составляет ML²/3. Если угол θ отсчитывается от вертикали, модуль гравитационного момента равен Mg(L/2)sinθ, поэтому модуль углового ускорения составляет 3g sinθ/(2L). Определите положительное направление вращения перед присвоением знака. Использование момента инерции центра масс ML²/12 без параллельной теоремы дает неверное ускорение.

Тело, катящееся без проскальзывания, удовлетворяет условию v=Rω. Запишите полную кинетическую энергию как ½Mv²+½Iω². При I=βMR², доля вращательной энергии составляет β/(1+β); для сплошного диска β=1/2, а доля равна 1/3. Опрокинутая окружность имеет β=1 и долю 1/2. Сила трения покоя может обеспечивать необходимый момент для качения без диссипации энергии в точке контакта, мгновенно неподвижной относительно неподвижной поверхности. Скользящее тело автоматически не удовлетворяет условию отсутствия проскальзывания.

Для плавающего составного тела сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, суммированному по всем погруженным частям. Пусть деревянный брусок имеет объем V, а тяжелый камень — объем Vs. Если камень находится над водой, вклад вносит только погруженная часть дерева: ρводы g fV равно общему весу. Если камень прикреплен снизу и полностью погружен, его вытесненный объем уменьшает требуемую долю погружения дерева до f−Vs/V. Камень не перестает иметь вес; теперь вода обеспечивает часть его поддержки. Проверьте, физически ли возможны предполагаемая ориентация и плавучесть.

Предельная скорость означает нулевое ускорение, а не нулевую скорость или нулевую силу. При квадратичном сопротивлении C v² и нисходящем весе Mg пренебрежение плавучестью дает vt=sqrt(Mg/C). Два идентичных шара имеют одинаковый коэффициент сопротивления C; удвоение массы увеличивает предельную скорость в sqrt(2) раза. Если важна плавучесть, замените Mg на (M−ρжидкости V)g. Линейная модель сопротивления дает иное масштабирование по массе. Указывайте заданный закон сопротивления и сравнивайте балансы сил, а не переносите формулу между моделями.

Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности. Условие отсутствия проскальзывания: v = R omega.

Для сплошного диска beta = 1/2, поэтому доля вращательной энергии составляет Для однородного стержня, закреплённого одним концом, используйте $I=ML^2/3$, а не момент инерции центра масс. Относительно этой точки опоры $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, при угле theta, отсчитываемом от нижней вертикали.

Используйте момент инерции относительно выбранной точки опоры. При плавании включите вытеснённый объём камня, а не только его вес. Предельная скорость требует указанного закона сопротивления.

момент инерции: Произведение массы на квадрат перпендикулярного расстояния от заданной оси вращения.

предельная скорость: Постоянная скорость, при которой противодействующие силы уравновешиваются.