TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

Фермионный уровень может содержать несколько частиц при наличии нескольких различных состояний; правило запрета применяется к каждому полному состоянию отдельно.

Предварительные требования: 20, 35, 38.

• Вычислить среднюю заселённость на одно полное квантовое состояние для фермионов и бозонов
• Подсчитать допустимые заселения тождественных частиц и определить классический разредженный предел
• Сравнить теплоёмкость классической квадратичной моды с реакцией квантового осциллятора

Для невзаимодействующих частиц в тепловом и обменном равновесии используйте химический потенциал μ и x=(ε−μ)/(kBT). Средняя заселённость одного полного состояния равна n_F=1/(e^x+1) для фермионов и n_B=1/(e^x−1) для бозонов. Заселение фермиона этого состояния равно нулю или единице; его среднее значение находится между ними. Заселение бозона может превышать единицу. Уровень вырождения g имеет полную среднюю заселённость, равную g, умноженной на заселение одного состояния, если все состояния уровня имеют одинаковую энергию. Считайте спин частью полного состояния. Знаменатель формулы Бозе требует ε>μ для обычного конечного выражения, а предел основного состояния рассматривается отдельно. Для равновесных фотонов μ=0, поскольку число фотонов не сохраняется; не принимайте μ=0 для любого газа материальных частиц.

Подсчитывайте паттерны заселений, а не маркируйте тождественные частицы. Два тождественных фермиона, распределённых среди четырёх различных полных состояний, имеют choose(4,2)=6 допустимых паттернов. Два тождественных бозона в тех же состояниях имеют choose(4+2−1,2)=10 паттернов, так как оба могут находиться в одном состоянии. Два помеченных различимых частицы имели бы 4²=16 назначений. Это различные модели подсчёта, а не три взаимозаменяемых ответа на один и тот же запрос. Если в задаче дано вырождение по спину, сначала определите, считается ли указанное число числом полных состояний или только орбитальными уровнями. Запрет Паули на два тождественных полных состояния не запрещает фермионам с противоположными спинами занимать одну пространственную орбиталь.

Когда x велико и положительно, заселение мало, и оба знаменателя определяются e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), что соответствует разредженному пределу Максвелла–Больцмана. При x=ln4 средние значения составляют 1/5 для фермионов, 1/3 для бозонов и 1/4 в классическом приближении; разница всё ещё существенна. Само по себе большое общее число частиц не оправдывает использование классической статистики: заселение контролируется плотностью, температурой и доступным числом состояний. У фермионов при низкой температуре состояния ниже μ заполняются почти полностью, а выше — почти пустуют. При ε=μ средняя заселённость фермионного состояния составляет половину; подстановка этого значения в обычную формулу Бозе привела бы к расходящемуся знаменателю и требует отдельного предельного анализа.

Классическая теорема о равнораспределении присваивает kBT/2 средней энергии каждому независимому квадратичному члену в равновесном гамильтониане. Одноатомный идеальный газ имеет три поступательных члена, дающих U=3NkBT/2 и C_V=3NkB/2. Один классический одномерный гармонический осциллятор имеет кинетические и потенциальные члены, дающие среднюю энергию kBT и C=kB. Для квантового осциллятора с фиксированным шагом ε=$\hbar$ω тепловая энергия над не зависящей от температуры нулевой точкой равна ε/(e^x−1), где теперь x=ε/(kBT), а C/kB=x²e^x/(e^x−1)². При высокой температуре он приближается к классическому значению; при низкой температуре возбуждение замораживается, и C→0. Энергия нулевых колебаний ε/2 сдвигает U, но не C. Вклад молекулярного вращения/колебания также требует проверки энергетических масштабов перед присвоением классических квадратичных членов.

Число заселения относится к одному полному одночастичному состоянию. Для $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

Классическое приближение разбавленных газов даёт $e^{-x}=1/4$; здесь оно не является точным. Уровень g-кратности имеет среднюю полную заселённость $g\bar n$, поэтому фермионный уровень может содержать более одной частицы, при этом каждое полное состояние по-прежнему подчиняется принципу запрета Паули.

Исключайте двух фермионов из одного полного состояния, а не из всего вырожденного энергетического уровня. Указывайте, какое значение x используется; заселения химического потенциала и формулы фиксированного возбуждения осциллятора — это разные модели.

средняя заселённость: Среднее число частиц в одном полном квантовом состоянии или заданной группе состояний в ансамбле.

равенство долей: Классическое правило равновесия, приписывающее kBT/2 каждому независимому квадратичному члену гамильтониана.