Квантовые заселения и пределы эквипартиции
Введено| English | Значение |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | среднее число заполнения |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | равнораспределение энергии |
Решение перед ответом
- Фермионовый уровень может содержать несколько частиц, если он содержит несколько различных состояний; правило запрета применяется к полному состоянию.
- Ваша цель: вычислить среднюю заселенность на полное квантовое состояние для фермионов и бозонов.
Назначение заселения полным состояниям
- Для невзаимодействующих частиц в тепловом и обмене частицами равновесии используйте химический потенциал μ и x=(ε−μ)/(kBT). Средняя заселенность одного полного состояния равна n_F=1/(e^x+1) для фермионов и n_B=1/(e^x−1) для бозонов. Заселение фермиона того состояния равно нулю или единице; его среднее лежит между ними. Заселение бозонов может превышать единицу.
- Уровень вырождения g имеет среднее значение, равное g умноженному на заселенность одного состояния, когда эти состояния имеют одинаковую энергию. Счет спина должен учитываться как часть полного состояния. Знаменатель Бозе требует ε>μ для обычного конечного выражения, при этом предел основного состояния рассматривается отдельно. Для равновесных фотонов μ=0, поскольку число фотонов не сохраняется; не принимайте μ=0 для каждого газа материальных частиц.
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
Подсчитайте неразличимые конфигурации
- Подсчитывайте паттерны заселения, а не маркируйте одинаковые частицы. Два одинаковых фермиона, распределенные среди четырех различных полных состояний, имеют choose(4,2)=6 допустимых паттернов. Два одинаковых бозона в этих состояниях имеют choose(4+2−1,2)=10 паттернов, так как оба могут занимать одно состояние. Два помеченных различимых частицы имели бы 4²=16 назначений.
- Это разные модели подсчета, а не три взаимозаменяемых ответа на один и тот же запрос. Если в задаче указано спиновое вырождение, сначала решите, считается ли указанное число полными состояниями или только орбитальными уровнями. Запрет Паули на два одинаковых полных состояния не запрещает фермионам с противоположными спинами находиться в одном пространственном орбитале.
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
Проверьте приближение разбавленности
- Когда x велико и положительно, заселение мало, и оба знаменателя доминируются e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), это предел Максвелла–Больцмана для разбавленного газа. При x=ln4 средние значения составляют 1/5 для фермионов, 1/3 для бозонов и 1/4 в классическом приближении; разница все еще значительна.
- Само по себе большое общее число частиц не оправдывает использование классической статистики: плотность, температура и доступные состояния контролируют заселение. Для фермионов при низкой температуре состояния ниже μ становятся почти заполненными, а те, что выше — почти пустыми. При ε=μ среднее значение заселения фермионного состояния равно одной половине; подстановка этого значения в обычную формулу Бозе даст вместо этого расходящийсяся знаменатель, что требует отдельной обработки предельного случая.
При x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, одно состояние имеет n_F=0.2 или n_B=1/3. Пятиуровневый вырожденный уровень поэтому имеет среднее 1 фермионов или 5/3 бозонов; общая заселенность фермионного уровня может превышать единицу при других значениях x, так как существует пять различных состояний. Квантовый осциллятор при ε/(kBT)=ln2 имеет среднюю энергию возбуждения ε и C/kB=2(ln2)²=0.960906, близко к, но отличную от классического значения единица.
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
Проверьте квантовые против классических мод
- Классическое эквираспределение присваивает kBT/2 средней энергии каждому независимому квадратичному члену в уравновешенном гамильтониане. Одноатомный идеальный газ имеет три поступательных члена, дающих U=3NkBT/2 и C_V=3NkB/2. Один классический одномерный гармонический осциллятор имеет кинетические и потенциальные члены, дающие среднее kBT и C=kB.
- Для квантового осциллятора с фиксированным шагом ε=ℏω тепловая энергия над его не зависящей от температуры нулевой точкой составляет ε/(e^x−1), где теперь x=ε/(kBT), и C/kB=x²e^x/(e^x−1)². При высокой температуре он приближается к классическому значению; при низкой температуре возбуждение «замерзает» и C→0. Энергия нулевой точки ε/2 сдвигает U, но не C. Молекулярные ротационные/колебательные вклады также требуют проверки своих энергетических масштабов перед присвоением классических квадратичных членов.
Исключайте двух фермионов из одного полного состояния, а не из всего вырожденного энергетического уровня. Указывайте, какое значение x используется; заселения химического потенциала и формулы фиксированного возбуждения осциллятора — это разные модели.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Вычислить среднюю заселенность на полное квантовое состояние для фермионов и бозонов
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
Сохраняйте различия
- средняя заселенность — Среднее по ансамблю число частиц в одном полном квантовом состоянии или заданной группе состояний.
- эквираспределение — Классическое правило равновесия, присваивающее kBT/2 каждому независимому квадратичному члену гамильтониана.
- Вычислите среднюю заселенность на полное квантовое состояние для фермионов и бозонов.
- Подсчитайте допустимые заселения для одинаковых частиц и определите классический предел разбавленности.
- Сравните теплоемкость классических квадратичных мод с реакцией квантового осциллятора.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.