Слабые возмущения и вырожденные подпространства
Введено| English | Значение |
|---|---|
| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | исправление энергии первого порядка |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | теория возмущений для вырожденных уровней |
Решение перед ответом
- Нулевое первое порядковое смещение энергии может сосуществовать со изменением состояния и ненулевым высшим порядковым смещением.
- Ваша цель: вычислить незарожденные первые порядковые смещения энергии как нормализованные ожидаемые значения.
Взвешивание возмущения по вероятности
- Пусть H=H₀+λW, где λ — малый безразмерный параметр, а собственные состояния H₀ известны и нормированы. Для невырожденного уровня n первая поправка к энергии равна λ⟨n|W|n⟩. В координатном представлении это λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx для мультипликативного потенциала, при интегрировании по допустимой области.
- Значение потенциала в одной точке не является средним значением; плотность вероятности состояния взвешивает всю область. Для бесконечной ямы 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Отражение относительно центра дает ⟨x⟩=L/2, поэтому слабое добавленное потенциал γx дает сдвиг γL/2 для каждого невырожденного уровня ямы в первом порядке. γ имеет размерность энергии на длину.
In 0<x<L, a weak perturbation γ(x−L/2) acts on an unperturbed infinite-well eigenstate. Its first-order energy shift is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The density is symmetric about L/2 while the perturbation is odd, so the integral cancels.
Осторожно использовать четность
- Для возмущения, нечетного относительно центра, такого как γ(x−L/2), плотность вероятности собственного состояния невозмущенной ямы четна, поэтому ее диагональное среднее значение обращается в ноль. Вместо этого центрированное квадратичное возмущение η(x−L/2)² дает сдвиг ηL²[1/12−1/(2π²n²)], который положителен для η>0 и зависит от n.
- Четность обнуляет первый порядок интеграла только для указанного состояния и симметрии оператора. Недиагональные матричные элементы все еще могут изменять волновую функцию. Не превращайте симметричную компенсацию в утверждение, что каждая энергетическая поправка исчезает или что исходное состояние остается точным.
A two-state degenerate block has perturbation ε[[0,1],[1,0]], ε>0. First-order shifts are:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The matrix eigenvalues are ±ε. Its vanishing diagonal does not mean vanishing splitting.
Сравните связь с разрывами уровней
- Для невырожденного состояния ведущее примесь другого невозмущенного состояния m пропорциональна λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Поэтому полезное условие малости сравнивает матричные элементы связи с соответствующими разрывами уровней, а не просто с произвольным абсолютным нулем энергии.
- Во втором порядке поправка к энергии содержит Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Для самого нижнего невырожденного состояния все эти знаменатели отрицательны, поэтому вторая поправка неположительна в этой модели. Вблизи вырождения малый знаменатель разрушает невырожденное разложение; используйте связанное подпространство вместо деления на ноль.
В 2 nm бесконечной яме слабое возмущение γx с γ=0.05 эВ/нм дает ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 эВ. Отдельно, η=0.03 эВ/нм², умножающее (x−L/2)², дает сдвиг основного состояния 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 эВ. Это результаты первого порядка, условные на слабую связь относительно разрывов. Вырожденная пара с ε[[2,1],[1,2]] и ε=0.004 эВ расщепляется на сдвиги 0.004 и 0.012 эВ; симметричное состояние получает больший сдвиг.
For a 4 nm well and weak γx with γ=0.02 eV/nm, first-order shift is ____ eV.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
γ⟨x⟩=0.02·4/2=0.04 eV.
Разрешить вырожденное подпространство
- Если уровень H₀ точно вырожден, выберите ортонормированный базис внутри этого подпространства и составьте гермитову матрицу возмущения там. Его собственные значения являются первыми поправками к энергии, а собственные векторы определяют комбинации, диагонализирующие ведущее расщепление.
- Для двумерного подпространства с возмущением ε[[2,1],[1,2]], нормированные симметричная и антисимметричная комбинации имеют сдвиги 3ε и ε. Чтение только двух диагональных элементов неправильно предскажет два сдвига 2ε. Общий скалярный множитель единичной матрицы сдвигает оба состояния одинаково и не расщепляет их вырождение; связи вне подпространства могут иметь значение более высокого порядка.
Используйте нормированные веса состояний, сохраняйте размерность возмущения и диагонализируйте вырожденный блок. Компенсация первого порядка и точная инвариантность — это разные утверждения.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Рассчитать сдвиги первой порядка энергии для вырожденных состояний как нормализованные средние значения
A zero diagonal first-order expectation guarantees all higher-order energy shifts are zero.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Off-diagonal couplings can contribute at second order even when the diagonal expectation cancels.
Сохраняйте различия
- первая поправка к энергии — Ведущая поправка слабого возмущения, заданная средним значением невозмущенного состояния.
- теория вырожденных возмущений — Метод, который сначала диагонализирует возмущение внутри невозмущенного вырожденного подпространства.
- Рассчитывайте первые поправки к энергии невырожденных состояний как нормированные средние значения.
- Используйте симметрию и матричные элементы для оценки пределов слабой связи.
- Диагонализируйте возмущение внутри точно вырожденного подпространства.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.