Обменная симметрия, спиновые пары и принцип Паули
Введено| English | Значение |
|---|---|
| spin singlet/spɪn ˈsɪŋɡlɪt/ | спиновый синглет |
| Slater determinant/ˈsleɪtə dɪˈtɜːmɪnənt/ | определитель Сlater |
Решение перед ответом
- Два электрона могут занимать одну пространственную орбиталь, если их полное пространственно-спиновое состояние обладает требуемой антисимметрией.
- Ваша цель: Построить нормированные симметричные и антисимметричные двухорбитальные пространственные состояния.
Обмен полными метками частиц
- Для тождественных частиц обмен каждой координатной и спиновой меткой меняет знак фермионной полной волновой функции и не изменяет бозонную. Математические слоты 1 и 2 обозначают аргументы, а не постоянно различимые частицы. Для двух различных ортонормированных орбиталей a и b пространственные комбинации имеют вид Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2.
- Ортогональность делает эти комбинации нормированными и дает собственные значения обмена ±1. Если две орбитали идентичны, антисимметричная комбинация тождественно равна нулю, а приведенная выше формула для симметричного состояния неправильно нормирована; пространственное состояние двойного заполнения представляет собой просто a(1)a(2). Перепроверяйте нормировку каждый раз, когда меняются орбитали или их перекрывание.
Two electrons share the same spatial orbital. Which spin state is allowed for their antisymmetric total state?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The same-orbital spatial product is symmetric; the spin factor must be antisymmetric.
Сопоставление пространственной и спиновой симметрии
- Два спина 1/2 имеют один спин-синглет (↑↓−↓↑)/√2 с полным спином S=0; он антисимметричен при обмене. Три триплета ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 и ↓↓ имеют S=1 и симметричны. Электроны требуют антисимметричного полного состояния, поэтому симметричное пространственное состояние сочетается с синглетом, а антисимметричное пространственное состояние — с триплетом.
- Два электрона в одной пространственной орбитали могут образовать синглет, но не могут образовать там триплет в рамках этого простого двухэлектронного состояния. Принцип запрета Паули запрещает заполнение одного и того же полного одночастичного состояния, включая спин. Электроны с противоположными спинами в одной орбитали представляют два разных полных состояния; описание запрета как «один электрон на орбиталь» игнорирует это различие.
Two spinless identical bosons can use two spatial orbitals without an energy restriction. Occupation patterns number:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Allowed patterns are (2,0), (1,1) and (0,2); particle labels do not create separate versions of (1,1).
Подсчет полных состояний
- Для двух пространственных орбиталей a,b и двух спиновых состояний для каждой существует четыре полных одночастичных состояния. У двух тождественных электронов количество способов занять эти состояния равно choose(4,2)=6: два синглета с двойным заполнением, один синглет с разными орбиталями и три триплета с разными орбиталями. Для трех пространственных орбиталей существует шесть полных состояний и choose(6,2)=15 паттернов.
- Подсчет упорядоченных назначений приводит к избыточному учету тождественных частиц. Бозоны без спина в двух орбиталях вместо этого имеют три заселения: оба в a, по одному в каждой, оба в b. Эти подсчеты предполагают отсутствие дополнительных энергетических ограничений и указанные доступные одночастичные состояния; ограничение полной энергии или проекции спина изменяет допустимый подмножество.
При двух ортонормированных орбиталях a,b состояние двух электронов Ψ_+χ_singlet в целом антисимметрично, поскольку (+1)(−1)=−1. Состояние Ψ_−χ_triplet также допустимо. Если оба электрона используют a, то пространственное произведение a(1)a(2) симметрично, поэтому допустим только спин-синглетный множитель. В яме на позициях L/4 и 3L/4, Ψ_−=−2/L дает плотность 4/L², тогда как Ψ_+=0; каждое нормировано по всей области двух координат, а не интерпретируется как вероятность для одной точной пары.
Two electrons access three spatial orbitals, each with two spin states. Complete-state occupation patterns number ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Six complete states give choose(6,2)=15.
Интерпретация совместной плотности
- Антисимметричное пространственное состояние удовлетворяет условию Ψ_−(x,x)=0, поэтому его совместная координатная плотность обращается в ноль на линии совпадения. Симметричное пространственное состояние не обязательно обращается в ноль там. Разница обусловлена интерференцией обменянных амплитуд, даже для невзаимодействующих частиц; это не отдельно навязанная классическая отталкивающая сила.
- Для ямы длиной L выберите a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). При x₁=L/4 и x₂=3L/4, антисимметричная пространственная амплитуда равна −2/L, а ее плотность составляет 4/L²; симметричная амплитуда равна нулю. Это совместные вероятностные плотности на единицу длины, а не безразмерные вероятности в точках. Физическая совместимость спина по-прежнему определяет, какое полное электронное состояние использует каждую пространственную комбинацию.
Обменяйте все пространственные и спиновые аргументы. Не путайте антисимметричное пространство с антисимметричным полным состоянием и не используйте фактор √2 для различных орбиталей при наличии двух идентичных орбиталей.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Построить нормированные симметричные и антисимметричные пространственные состояния двух орбиталей
An antisymmetric two-orbital spatial state must have zero amplitude when the two spatial arguments coincide.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x₁=x₂ the two products are equal and their difference vanishes.
Сохраняйте различия
- спиновый синглет — Антисимметричное состояние двух частиц со спином 1/2 с полным спином S=0.
- Определитель Сlater — Антисимметричная фермионная конструкция из полных одночастичных состояний; дублирование состояний приводит к его обращению в ноль.
- Построить нормированные симметричные и антисимметричные двухорбитальные пространственные состояния.
- Объединить пространственную и спиновую симметрии для получения разрешённых двухэлектронных состояний.
- Подсчитать заселённость полных состояний и интерпретировать корреляции, вызванные обменом.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.