TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

Газ может иметь нулевую среднюю скорость, в то время как его частицы имеют значительную среднюю величину скорости. Противоположные направления компенсируются в векторном среднем; скорость не имеет знака.

Предварительные требования: 4, 35.

• Нормализовать непрерывные плотности скоростей и интерпретировать их единицы измерения
• Различать векторные средние, средние по модулю скорости и наиболее вероятные скорости
• Использовать веса Больцмана с учётом вырождения и функцию распределения

Для непрерывной плотности вероятности f(v) значение f(v)dv приближённо равно вероятности в узком интервале, а ∫от0до∞ f(v)dv=1. Плотность имеет размерность, обратную скорости, и сама по себе не является вероятностью. Если P(v)dv обозначает число частиц в этом интервале, то площадь под графиком равна полному числу частиц N, а f=P/N. Трапеция, растущая на ширине v0, плоская на ширине 2v0, затем убывающая на ширине v0, имеет площадь 3av0 при высоте a. Нормализуйте по площади перед вычислением среднего значения или интерпретацией высоты на графике.

В изотропном газе в состоянии термодинамического равновесия без макроскопического потока каждое распределение компоненты скорости симметрично, поэтому ⟨v_vector⟩=0. Скорость v=|v_vector| неотрицательна и имеет положительное среднее значение. Для классического идеального газа максвелловская плотность скорости пропорциональна v²exp[−mv²/(2kBT)]. Её мода равна sqrt(2kBT/m), среднее значение — sqrt(8kBT/(πm)), а среднеквадратичная скорость — sqrt(3kBT/m). Это три разные величины. Множитель v² обращает плотность скорости в ноль при v=0, хотя плотность вектора скорости максимальна при нулевом векторе.

Для непрерывного распределения вероятность точно одного заданного значения скорости равна нулю; ненулевые вероятности относятся к интервалам. Это утверждение не означает, что не существует частиц со сколь угодно малыми скоростями или что детектор конечного разрешения не может зафиксировать нулевой бин. Изменение температуры меняет масштаб максвелловского распределения: характерные скорости пропорциональны sqrt(T/m). Удвоение температуры не удваивает скорость, а более тяжёлые частицы в среднем движутся медленнее при той же температуре.

В каноническом ансамбле при температуре T состояние с энергией E_i имеет вес exp(−E_i/(kBT)). Разделите на функцию распределения Z=Σexp(−E_i/(kBT)), чтобы получить вероятности. Если уровень энергии имеет степень вырождения g_i, вероятность этого уровня равна g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Равная энергия каждого состояния не означает равную вероятность каждого уровня при различном вырождении. Для основного уровня с вырождением 1 и возбуждённого уровня с вырождением 2 при Δ=kBT ln2, суммарный вес возбуждённого уровня равен 2e^(−ln2)=1: оба уровня имеют вероятность 1/2. Классические предположения Максвелла–Больцмана отличаются от квантовых заселений Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака.

Канонический ансамбль имеет основное вырождение 1 и возбуждённое вырождение g при разнице энергий Delta.

При g = 4 и $\Delta=k_BT\ln2$, Это вероятность всего возбуждённого уровня. Вероятность каждого из четырёх состояний равна 1/6.

Высота плотности — это не вероятность. Среднее значение скорости, средняя скорость и мода различаются; учитывайте вырождение перед нормировкой вероятностей уровней.

плотность вероятности: Вероятность на единицу непрерывной переменной, интеграл которой даёт вероятность интервала.

функция разложения: Сумма статистических весов, используемых для нормировки вероятностей равновесного состояния.