Распределения скоростей и статистические ансамбли
Введено| English | Значение |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | плотность вероятности |
| partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | статистическая сумма |
Решение перед ответом
- Газ может иметь нулевую среднюю скорость, в то время как его частицы обладают значительной средней скоростью. Векторное среднееcancelируется благодаря противоположным направлениям; скорость скалярна и не имеет знака.
- Ваша цель: нормализовать плотности непрерывных скоростей и интерпретировать их размерность.
Прочитайте соотношение
- Для непрерывной плотности вероятности скорости f(v), f(v)dv приближенно представляет вероятность в узком интервале и ∫from0to∞ f(v)dv=1. Плотность имеет единицы, обратные скорости, и сама по себе не является вероятностью. Если P(v)dv подсчитывает частицы в этом интервале, его площадь равна числу частиц N, а f=P/N. Трапеция, возрастающая на ширине v0, оставшаяся горизонтальной на ширине 2v0, затем убывающая на ширине v0, имеет площадь 3av0 для высоты a. Нормируйте по площади перед вычислением среднего значения или интерпретацией высоты на графике.
- Различайте векторные средние, средние скорости и наиболее вероятные скорости.
For an isotropic equilibrium ideal gas without bulk flow, which is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Velocity directions cancel, while speed is nonnegative and its equilibrium mean is positive.
Используйте определяющее правило
- В изотропном равновесном газе без макроскопического течения каждое распределение компонент скорости симметрично, поэтому ⟨v_vector⟩=0. Скорость v=|v_vector| неотрицательна и имеет положительное среднее значение. Для классического идеального газа плотность скоростей Максвелла пропорциональна v²exp[−mv²/(2kBT)]. Ее мода равна sqrt(2kBT/m), среднее значение равно sqrt(8kBT/(πm)), а среднеквадратичная скорость равна sqrt(3kBT/m). Это три различные величины. Множитель v² делает плотность скоростей равной нулю при v=0, хотя плотность вектора скорости максимальна в нулевом векторе.
- Используйте веса Больцмана с вырождением и функцию partitions.
Ground degeneracy 1, excited degeneracy 3, gap kBT ln3. The excited-level probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Excited total weight 3e^(−ln3)=1 equals ground weight 1; Z=2.
Проверьте условия
- Для непрерывного распределения вероятность точного одного заданного значения скорости равна нулю; ненулевые вероятности относятся к интервалам. Это утверждение не означает отсутствие частиц с произвольно малыми скоростями или невозможность регистрации нуля детектором конечного разрешения. Температура изменяет масштаб распределения Максвелла: характерные скорости пропорциональны sqrt(T/m). Удвоение температуры не удваивает скорость, а более тяжёлые частицы в среднем движутся медленнее при той же температуре.
- Используйте веса Больцмана с вырождением и функцию partitions.
Трапециевидная плотность числа частиц имеет N=90 частиц, v0=2 м/с и ширину плато 2v0. Его площадь равна 3av0, что дает a=15 частиц на единицу скорости. Для ансамбля с двумя уровнями с вырождениями 1 и 2 и щелью kBT ln2, Z=2, а вероятность возбужденного уровня равна 1/2. Вероятность каждого отдельного возбужденного состояния равна 1/4.
A count-density trapezoid has area 3av0, N=60 and v0=4 m/s. Its height a is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a=N/(3v0)=60/12=5 particles per unit speed.
Применяйте формат задания
- В каноническом ансамбле при температуре T состояние с энергией E_i имеет вес exp(−E_i/(kBT)). Разделите на функцию суммирования состояний Z=Σexp(−E_i/(kBT)), чтобы получить вероятности. Если уровень энергии имеет вырождение g_i, его вероятность уровня равна g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Равенство энергии на состояние не означает равенства вероятности на уровень при различном вырождении. Для основного уровня с вырождением 1 и возбужденного уровня с вырождением 2 при Δ=kBT ln2, общий вес возбужденного уровня составляет 2e^(−ln2)=1: каждый из двух уровней имеет вероятность 1/2. Предположения классической статистики Максвелла–Больцмана отличаются от квантовых заселений Bose–Einstein и Fermi–Dirac.
- Используйте веса Больцмана с вырождением и функцию partitions.
Высота плотности — это не вероятность. Среднее значение скорости, средняя скорость и мода различаются; учитывайте вырождение перед нормировкой вероятностей уровней.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Нормировать плотности непрерывных скоростей и интерпретировать их единицы измерения
A continuous speed distribution assigns nonzero probability to exactly one specified speed.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only an interval has nonzero probability; a single point has zero measure.
Сохраняйте различия
- плотность вероятности — Вероятность на единицу непрерывной переменной, интеграл которой даёт вероятность интервала.
- функция нормирования — Сумма статистических весов, используемая для нормировки равновесных вероятностей состояний.
- Нормируйте непрерывные плотности скоростей и интерпретируйте их размерности.
- Различайте векторные средние, средние скорости и наиболее вероятные скорости.
- Используйте веса Больцмана с вырождением и функцию partitions.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.