GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

Um planeta acelera mesmo quando sua velocidade escalar é constante: velocidade inclui direção.

Pré-requisitos: 47.

• Aplicar descrições newtonianas, lagrangianas e hamiltonianas
• Analisar rotação, forças centrais e oscilações
• Use leis de conservação com suas condições

A segunda lei de Newton é uma declaração vetorial. Escolha coordenadas e identifique restrições antes das componentes.

A conservação de energia aplica-se quando se considera o trabalho das forças não conservativas; a conservação do momento linear exige impulso externo líquido nulo.

Para pequenas oscilações, linearize em torno de um equilíbrio estável. Um termo restaurador proporcional ao deslocamento resulta em movimento harmônico.

As equações de Lagrange usam L=T−V e coordenadas generalizadas. Essa formalização universitária difere da substituição de forças no nível escolar.

Escolha um referencial inercial e uma coordenada x medida a partir do equilíbrio da mola. Para uma mola conservativa, o Lagrangiano evita resolver forças de restrição.

Com m = 2.0 kg e k = 18 N/m, Rigidez positiva garante movimento estável. As unidades de k/m são segundos quadrados inversos.

A conservação da energia cinética não se mantém em todas as colisões, mesmo quando o momento é conservado.

Lagrangiano: Energia cinética menos energia potencial para o sistema mecânico padrão.

momento angular: O momento do momento linear em relação a um ponto de referência.

Potencial elétrico nulo em um ponto não implica campo elétrico nulo nesse local.

Pré-requisitos: 13, 14, 15, 29, 30.

• Use potenciais eletrostáticos, campos e a lei de Gauss
• Analise circuitos, magnetismo e indução
• Aplique as equações de Maxwell e relações de ondas eletromagnéticas

O campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. Um valor e uma variação espacial são quantidades distintas.

Use a lei de Gauss com simetria. Um fluxo total conhecido isoladamente não determina o campo em cada ponto da superfície.

As leis de Kirchhoff acompanham carga e energia em circuitos. A fem induzida segue a variação do fluxo magnético com sinal da lei de Lenz.

As equações de Maxwell relacionam campos elétricos e magnéticos. No vácuo, uma onda tem E/B=c e transporta energia.

Uma casca esférica tem raio R e carga Q uniforme. Escolha o potencial zero no infinito. A simetria esférica permite que a lei de Gauss determine o campo externo.

No interior, a carga envolvida é zero e a simetria dá E = 0. A continuidade implica O potencial é não nulo e constante no interior. Um gradiente nulo, e não um valor nulo, determina um campo nulo. O campo radial salta na superfície carregada.

Não use a lei de Gauss para afirmar um campo uniforme sobre uma superfície arbitrária não simétrica.

fluxo: A integral de superfície da componente normal de um campo.

potencial: Energia potencial por unidade de carga.

Duas ondas individualmente brilhantes podem se cancelar em um ponto se suas fases se opuserem.

Pré-requisitos: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analisar superposição e interferência de ondas
• Utilizar difração, polarização e formação de imagens ópticas
• Relacionar fase, frequência e dispersão

Adicionar amplitudes das ondas e calcular a intensidade. A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude para o mesmo meio.

Uma diferença de trajeto resulta em diferença de fase 2πΔ/λ. Fontes coerentes exigem fase relativa estável.

Para uma fenda única, os mínimos satisfazem a sin θ=mλ para inteiros não nulos m. Uma fenda dupla possui condição de interferência diferente.

A óptica geométrica exige uma convenção de sinais definida. Efeitos ondulatórios são relevantes quando as aberturas são comparáveis ao comprimento de onda.

Ondas coerentes possuem diferença de fase estável. Some as amplitudes antes de elevá-las ao quadrado.

Para intensidades individuais iguais I0 e diferença de trajeto de um quarto de comprimento de onda, Este caso não é nem máximo nem mínimo. Fase relativa aleatória elimina o termo cruzado em uma média temporal longa; coerência estável é uma condição física, não uma convenção de desenho.

O máximo central da fenda única não é obtido ao definir m=0 na condição dos mínimos.

coerência: Relação de fase estável entre ondas.

difração: Espalhamento de ondas e interferência causados por uma abertura ou obstáculo.

Dois motores podem obedecer à conservação de energia, mas apenas um respeita o limite de entropia na eficiência.

Pré-requisitos: 19, 20, 34, 35, 36.

• Aplicar a primeira e a segunda leis com uma convenção de sinais
• Relacionar conjuntos, fatores de Boltzmann e entropia
• Analisar gases ideais, máquinas térmicas e estatística quântica

Estabelecer a convenção de sinais da primeira lei: ΔU=Q−W quando W é trabalho realizado pelo sistema.

Para uma máquina reversível entre reservatórios, a eficiência é limitada por 1−Tc/Th usando temperaturas absolutas.

Os pesos de Boltzmann são exp(−E/kT). As probabilidades exigem divisão pela função de partição.

Distinguir as premissas de Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein e Fermi–Dirac. Férmons não podem compartilhar um estado único idêntico.

Usar o trabalho W feito pelo gás como positivo. A primeira lei é

Para expansão isotérmica reversível de um gás ideal, U depende apenas de T, logo Para n = 0.50 mol, T = 300 K e volume dobrado, O gás expande e recebe calor. O reservatório perde a mesma entropia neste limite reversível.

Razões de temperatura em Celsius não podem ser usadas na fórmula de eficiência de Carnot.

entropia: Quantidade de estado ligada à multiplicidade e transferência de calor reversível.

função de partição: Soma dos pesos estatísticos usada para normalizar probabilidades.

Uma partícula em uma caixa não pode ter energia cinética de estado fundamental zero. Seu confinamento altera quais estados são permitidos.

Pré-requisitos: 24, 37, 38, 39.

• Usar funções de onda, operadores e probabilidades de medição
• Resolver modelos padrão de estados ligados e raciocínio de tunelamento
• Aplicar momentos angulares, spin e princípios espectrais atômicos

A função de onda de um estado deve satisfazer as condições de contorno do modelo e ter probabilidade total igual a um: integre |ψ(x)|² sobre o domínio permitido. Para estados ortonormais φ_j, uma superposição ψ=Σc_jφ_j tem norma ao quadrado Σ|c_j|² porque os termos cruzados integram-se a zero. Assim, uma superposição igual de N estados ortonormais tem magnitude de coeficiente 1/sqrt(N). A probabilidade de encontrar uma componente de energia específica é |c_j|², não c_j. Fases relativas podem afetar probabilidades de posição mesmo quando as probabilidades de energia permanecem inalteradas.

Um observável é representado por um operador hermitiano. Seus autovalores são reais, e um estado normalizado fornece valor esperado ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. O valor esperado é uma média sobre repetições de preparação, não necessariamente o resultado de uma única medição. Se A satisfaz uma identidade polinomial, aplique-a a um autovetor: para A⁴=I, um autovalor real deve ser +1 ou −1. Uma raiz quarta complexa é excluída pela hermiticidade mesmo que resolva o polinômio.

Para um poço infinito 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permite modos senoidais sin(nπx/L), com n=1,2,… . Suas energias são E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), então o estado fundamental não é zero e dobrar L divide cada energia por quatro. A expressão equivalente em h é n²h²/(8mL²); nunca substitua h por $\hbar$ sem seu fator 2π. Uma barreira finita permite caudas exponenciais, e uma onda viajante em uma região classicamente permitida tem dependência espacial oscilatória em vez de decaimento exponencial.

Operadores comutam quando [A,B]=AB−BA=0; observáveis compatíveis podem ter uma base comum de autovetores. Como a energia cinética p²/(2m) é função de p, ela comuta com p. Um potencial dependente da posição geralmente faz H=p²/(2m)+V(x) não comutar com p. O momento angular obedece [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z e permutações cíclicas, enquanto J² comuta com cada componente. Transições atômicas trocam energia fotônica positiva igual à diferença de nível; momentos angulares e regras de seleção específicas do mecanismo restringem quais transições ocorrem.

Um poço infinito se estende de 0 até L. A função de onda nula em ambas as extremidades resulta em

Prepare $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. A ortogonalidade torna sua norma igual a um. Medições de energia resultam em E1 ou 4E1 com probabilidade igual: Essa média não é um resultado de energia único permitido. A fase relativa muda no tempo, portanto uma superposição de energias diferentes não é um estado estacionário.

Um estado estacionário pode ter energia diferente de zero, mesmo que sua densidade de probabilidade seja independente do tempo.

normalização: Tornar a probabilidade total igual a um.

operador: Uma ação matemática que representa um observável.

Um instrumento preciso pode fornecer resultados consistentemente errados quando sua calibração está deslocada.

Pré-requisitos: 21, 22, 42, 43, 44.

• Aplicar relações relativísticas de energia e espaço-tempo
• Propagar incerteza de medição e analisar dados experimentais
• Reconhecer conceitos nucleares, de partículas, de matéria condensada e astrofísicos

A relatividade especial usa γ=1/sqrt(1−v²/c²). Energia de repouso é mc² e energia total é γmc².

Para incertezas pequenas independentes, combine contribuições em quadratura; incertezas correlacionadas requerem termos de covariância.

Dispersão aleatória afeta a precisão; viés de calibração afeta a acurácia. Um gráfico logarítmico pode revelar uma lei de potência.

Questões de física nuclear, partículas, matéria condensada e astrofísica exigem vocabulário e modelos de nível superior. A física escolar sozinha não constitui preparação completa.

O tempo próprio é medido entre eventos em uma mesma posição em um referencial. Para a velocidade de uma partícula 0.60c,

Se sua vida média própria for 4.0 microssegundos, A vida média é uma média de uma distribuição; não prediz o momento exato do decaimento individual.

Adicionar incertezas percentuais linearmente fornece um limite de pior caso, não a incerteza padrão estatística independente.

precisão: Proximidade entre medições repetidas umas das outras.

covariância: Medida da variação conjunta usada para incertezas correlacionadas.

Nem toda diferença de energia produz uma linha forte de dipolo elétrico.

Pré-requisitos: 23, 40, 41.

• Relacionar energias atômicas às linhas espectrais
• Aplicar números quânticos de momento angular
• Distinguir transições permitidas e proibidas de dipolo elétrico

Para íons hidrogenoides de um único elétron, as energias ligadas escalam como −13.6 Z²/n² eV no modelo não relativista mais simples. A emissão requer uma transição descendente e energia positiva do fóton.

O momento angular orbital tem l=0,…,n−1 e m_l=−l,…,l. O spin do elétron adiciona s=1/2; o momento angular total combina contribuições orbitais e de spin.

As regras de seleção de dipolo elétrico incluem Δl=±1 e Δm=0,±1. Essas regras referem-se a um mecanismo específico de transição; proibido não significa impossível por todos os mecanismos.

Estrutura fina, efeitos de spin-órbita e divisão Zeeman refinam a imagem simples do átomo de hidrogênio. Em átomos multieletrônicos, blindagem e interações eletrônicas invalidam a substituição direta das energias do hidrogênio.

Para um íon de um elétron não relativístico, desprezando a estrutura fina,

Para Z = 2, uma emissão de n = 3 para n = 2 resulta em energia fotônica positiva: Uma diferença de energia isolada não garante uma transição de dipolo elétrico; os estados orbitais participantes devem satisfazer as regras de seleção.

Não torne a energia do estado final menos a energia do estado inicial negativa para um fóton emitido.

regra de seleção: Restrição às transições para um mecanismo de interação especificado.

splitting de Zeeman: Divisão dos níveis de energia atômica por campo magnético.

A condutividade de um semicondutor depende dos estados disponíveis e dos portadores, não apenas do número de elétrons no material.

Pré-requisitos: 25, 45, 46.

• Usar descrições de banda e portadores
• Aplicar conceitos de decaimento radioativo e energia de ligação
• Verificar leis de conservação em reações de partículas

Bandas cheias não podem conduzir corrente ordinária sem estados acessíveis próximos. Metais possuem bandas parcialmente preenchidas ou sobrepostas; semicondutores têm uma pequena lacuna de banda. A dopagem com doadores e aceptores altera as populações de portadores.

A ocupação de Fermi–Dirac é 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. À temperatura zero, torna-se um degrau na energia de Fermi; o alargamento térmico não deixa todos os estados meio ocupados.

As populações radioativas obedecem N=N0e^(−λt), atividade λN e meia-vida ln2/λ. A energia de ligação provém de um déficit de massa multiplicado por c²; compare a energia de ligação por nucleon ao discutir estabilidade.

Processos nucleares e de partículas devem conservar carga, energia, momento e os números quânticos aplicáveis. O decaimento beta inclui um neutrino ou antineutrino; uma história de dois corpos apenas com elétrons não pode explicar seu espectro de energia contínuo.

A energia de ligação é a energia positiva necessária para separar um núcleo em núcleons livres. Para uma reação, use as massas de repouso totais iniciais e finais, com uma convenção de massa consistente.

Uma diminuição de massa de 0.0040 unidades de massa atômica resulta Q positivo significa liberação de energia. Carga, número nucleônico, energia e momento ainda devem se equilibrar; Q sozinho não estabelece uma taxa de reação.

Atividade e população sobrevivente decaem ambas, mas suas unidades diferem: a atividade é transições por segundo.

gap de banda: Intervalo de energia sem estados eletrônicos permitidos no modelo de bandas.

vida média: Tempo para que uma população radioativa reduza à metade.

Métodos energéticos conectam um oscilador de mola e uma órbita, mas suas coordenadas e suposições físicas diferem.

Pré-requisitos: 26, 41.

• Construa um hamiltoniano simples
• Use as equações canônicas
• Aplique o escalonamento gravitacional e radiativo

O momento canônico é p=∂L/∂qdot. A transformação de Legendre H=p qdot−L fornece um hamiltoniano quando as velocidades podem ser expressas em termos de coordenadas e momentos.

As equações de Hamilton são qdot=∂H/∂p e pdot=−∂H/∂q. Para um oscilador ordinário H=p²/(2m)+kq²/2, estas reproduzem a equação de Newton.

Para uma órbita gravitacional circular v²=GM/r e período²=4π²r³/(GM). As suposições incluem uma massa central dominante e uma aproximação circular; órbitas elípticas usam o semi-eixo maior na lei de Kepler. Para um satélite circular de massa m, o módulo do momento angular é mrv=m sqrt(GMr), então satélites idênticos têm L proporcional a sqrt(r). Uma razão de raios 9 resulta em uma razão de momento angular 3, enquanto a razão de períodos é 27. Essa distinção segue da mesma relação de força centrípeta; não use o escalonamento de períodos para momento angular.

Luminosidade e fluxo recebido seguem F=L/(4πd²) para radiação isotrópica. Um corpo negro tem L=4πR²σT⁴; seu pico espectral desloca-se inversamente com a temperatura. Distinga luminosidade intrínseca do brilho observado.

Para um lagrangiano regular $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, o momento canônico é

Substitua a velocidade na transformação de Legendre: A combinação disso resulta em $\ddot q=-(k/m)q$. A inversão do momento em velocidade é exigido; não pode ser assumido para todo Lagrangiano restrito ou singular.

O Hamiltoniano equivale à energia mecânica total apenas sob as suposições relevantes do sistema; não infira isso universalmente apenas pelo seu nome.

momento canônico: Derivada do Lagrangiano em relação a uma velocidade generalizada.

luminosidade: Potência total emitida, distinta do fluxo no observador.

Two carts approach from different directions. After they stick, their momentum can be conserved while their kinetic energy falls.

Prerequisites: 1.

• Compute vector momentum and energy loss in sticking collisions
• Compare fixed-force springs and use work–energy conditions
• Derive small-oscillation periods and oscillator energies

Choose an isolated system during the short collision. With negligible external impulse 外力冲量, conserve total momentum separately in every Cartesian direction. If masses m1 and m2 stick, their common velocity is (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Find the magnitude only after adding vectors. Initial kinetic energy is the sum of each ½m|v|²; final kinetic energy uses the total mass and the common speed. Their difference becomes internal energy or deformation, not missing momentum. A perfectly inelastic collision means sticking, not final rest.

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

For an undamped harmonic oscillator, total energy is ½m v²+½kx²=½kA². At equilibrium all its energy is kinetic; at a turning point 转折点 its speed is zero and all its energy is potential. Angular frequency is not ordinary frequency: ω=2πf. If the same oscillator has equilibrium speed vmax, A=vmax/ω. Distinguish the instant at which speed is measured from the release displacement, and keep SI units when a millijoule answer is requested.

Two carts stick with negligible external impulse. Add momentum vectors 动量矢量, then divide by total mass. Known: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

The 6 J difference becomes internal energy. Kinetic energy is not conserved in sticking.

Do not add incoming speed magnitudes as momenta, or conserve kinetic energy in a sticking collision. Fixed-force and fixed-extension spring comparisons have opposite answers.

external impulse: Time integral of the net force from outside the chosen system.

turning point: An extreme oscillator position where its instantaneous speed is zero.

Virar um bloco flutuante de cabeça para baixo pode alterar a fração submersa mesmo com o peso total inalterado.

Pré-requisitos: 10.

• Use torque de pivô e momento de inércia rotacional consistentemente
• Particione a energia cinética de rolamento pela condição de sem deslizamento
• Equilibre empuxo e arrasto para corpos compostos

O torque em torno de um pivô fixo é r×F; sua magnitude usa a braço perpendicular. Para uma barra uniforme de comprimento L pivotada em uma extremidade, a gravidade atua no centro L/2 e o momento de inércia é ML²/3. Se o ângulo θ for medido em relação à vertical, a magnitude do torque gravitacional é Mg(L/2)sinθ, logo a magnitude da aceleração angular é 3g sinθ/(2L). Defina a direção positiva de rotação antes de atribuir um sinal. Usar o momento de inércia do centro de massa ML²/12 sem a correção do eixo paralelo resulta em aceleração incorreta.

Um objeto que rola sem deslizar satisfaz v=Rω. Escreva a energia cinética total como ½Mv²+½Iω². Com I=βMR², a fração rotacional é β/(1+β); para um disco sólido β=1/2 e a fração é 1/3. Um aro tem β=1 e fração 1/2. O atrito estático pode fornecer o torque necessário para rolar sem dissipar energia num ponto de contato estacionário sobre uma superfície fixa. Um objeto deslizante não satisfaz automaticamente a relação sem deslizamento.

Para um composto flutuante, o empuxo iguala o peso do fluido deslocado, somado sobre cada parte submersa. Seja um bloco de madeira volume V e uma pedra densa volume Vs. Se a pedra estiver acima da água, apenas a madeira submersa contribui: ρágua g fV iguala o peso total. Se a pedra estiver presa abaixo e totalmente submersa, seu volume deslocado reduz a fração submersa necessária da madeira para f−Vs/V. A pedra não deixa de ter peso; a água agora fornece parte de seu suporte. Verifique se a orientação e flutuação assumidas são fisicamente possíveis.

Velocidade terminal significa aceleração nula, não velocidade nula nem força nula. Com arrasto quadrático C v² e peso descendente Mg, desprezando o empuxo, vt=sqrt(Mg/C). Duas bolas idênticas compartilham o coeficiente de arrasto C; dobrar a massa multiplica a velocidade terminal por sqrt(2). Se o empuxo for relevante, substitua Mg por (M−ρfluido V)g. Um modelo de arrasto linear dá uma escala de massa diferente. Enuncie a lei de arrasto especificada e compare os equilíbrios de força, em vez de transferir uma fórmula entre modelos.

Um corpo rola sem deslizar sobre uma superfície fixa. A restrição de sem deslizamento é v = R omega.

Para um disco sólido, beta = 1/2, então a parcela rotacional é Para uma barra uniforme pivotada em uma extremidade, use $I=ML^2/3$, não seu momento de inércia do centro de massa. Em relação a esse pivô $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, para theta medido em relação à vertical descendente.

Use a inércia em torno do pivô escolhido. Na flutuação, inclua tanto o volume deslocado pela pedra quanto seu peso. Velocidade terminal exige uma lei de arrasto especificada.

momento de inércia: Distância perpendicular ao quadrado ponderada pela massa em relação a um eixo de rotação especificado.

velocidade terminal: Velocidade constante na qual as forças opostas se equilibram.

Uma carga liberada de uma aeronave mantém a velocidade horizontal da aeronave. Relativamente à aeronave, seu movimento inicial é, portanto, puramente vertical descendente.

Pré-requisitos: 1, 11.

• Resolver equações de corpo acoplado usando uma restrição de aceleração
• Transformar velocidades entre referenciais inerciais
• Verificar limites de força e energia para movimento com restrições

Para uma massa m1 sobre uma mesa horizontal sem atrito conectada por uma polia ideal sem massa a uma massa pendente m2, escolha o movimento da mesa e o movimento descendente da massa pendente como positivos. Uma corda esticada e inextensível fornece uma única magnitude de aceleração. Escreva T=m1a e m2g−T=m2a. Somando as equações elimina a tensão interna, resultando em a=m2g/(m1+m2) e T=m1m2g/(m1+m2). Assim, T<m2g quando ambas as massas são positivas. Igualar a tensão ao peso da massa pendente assume implicitamente aceleração nula.

A suposição de tensão comum exige uma corda ideal sem massa e uma polia com atrito e inércia desprezíveis. Uma polia com inércia rotacional pode ter tensões diferentes, com (T2−T1)R=Iα e a=Rα se a corda não escorregar. Desenhe cada corpo separadamente: uma força interna ao sistema combinado permanece externa para um dos corpos escolhidos. Forças de restrição podem se cancelar na equação do sistema, mas ainda são necessárias para o movimento individual.

Para dois referenciais inerciais com velocidade relativa constante V, a transformação galileana de velocidade é v_relativa=v_chão−V. Uma carga liberada por uma aeronave em nível tem inicialmente a velocidade horizontal da aeronave. Com resistência do ar desprezível, a velocidade horizontal em relação ao chão permanece constante e a velocidade vertical torna-se −gt se para cima for positivo. Relativamente à aeronave, a velocidade horizontal é zero e a velocidade descendente é gt. Posição é uma questão diferente: o deslocamento vertical é −½gt². Não confunda velocidade em relação ao solo com velocidade relativa.

Verifique os casos limite após resolver. Quando m1 se aproxima de zero, a aceleração acoplada ideal aproxima-se de g e a tensão aproxima-se de zero; quando m1 cresce muito, a aceleração aproxima-se de zero e a tensão aproxima-se de m2g por baixo. Uma derivação energética resulta em m2g s=½(m1+m2)v² para lançamento do repouso e polia ideal, concordando com v²=2as. Essa concordância verifica as equações; não permite conservação de energia se houver atrito ou outro trabalho não considerado.

Uma massa de mesa m1 e uma massa pendente m2 compartilham uma aceleração através de uma corda ideal esticada. Escolha o movimento da mesa para a direita e o movimento descendente da massa pendente como positivos.

T é menor que o peso da massa pendente 20 N. É necessária uma força líquida descendente não nula para gerar aceleração.

Uma polia ideal sem massa iguala as tensões, não a tensão ao peso. Subtraia as velocidades dos quadros componente a componente antes de calcular a magnitude da velocidade.

restrição: Condição que liga posições ou movimentos permitidos de corpos conectados.

velocidade relativa: Velocidade de um objeto medida em outro referencial em movimento.

A charged conductor can have zero field inside its material while its potential remains nonzero.

Prerequisites: 2, 47.

• Add Coulomb forces as vectors using the actual geometry
• Compute flux from symmetry or solid angle 立体角 with a stated orientation
• Find conductor fields and potentials using induced surface charges

For a point charge Q at position r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Superpose vectors, not field magnitudes. For two positive charges attracting an electron, forces in the same direction add; opposite directions subtract; perpendicular components combine by Pythagoras. Define the observation point and the direction of each force first. Potential is the scalar sum V=ΣQ/(4πε0r) with zero at infinity. A zero potential does not generally mean a zero field, since E=−∇V.

Gauss’s law is the closed-surface integral ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. It determines a local field simply only when symmetry makes the normal field uniform or makes other flux contributions zero. A charge near an infinite plane sends half its total flux through that plane in magnitude: the plane subtends solid angle 2π out of 4π. The result is independent of distance and lateral position, but its sign depends on the chosen plane normal and charge sign. An open plane does not enclose a charge; using closed-surface wording for it is incorrect.

In electrostatic equilibrium 静电平衡, the electric field inside conducting material is zero and the conductor has constant potential. Place a charge Q at the centre of a conducting spherical shell with inner radius a, outer radius b and shell net charge q. A Gaussian surface inside the material requires inner-surface charge −Q, so the outer surface has q+Q. Spherical symmetry makes the external field that of total Q+q at the centre. The material’s potential, zero at infinity, is (Q+q)/(4πε0b), independent of the material observation radius.

In the cavity of that centred-charge shell, the field is Q/(4πε0r²) radially for 0<r<a. Potential includes both the point-charge contribution and constant shell contributions; continuity holds across each surface even though the normal field jumps at a surface charge. Keep cavity, conductor material and exterior separate. An off-centre charge still induces total inner charge −Q, but its cavity field is no longer the simple centred radial field. Zero interior conductor field follows equilibrium, not an assumption that every surface charge distribution is uniform.

A centred point charge Q lies in a conducting spherical shell of net charge q. Electrostatic equilibrium makes the field zero inside the metal. A Gaussian surface in the metal encloses zero net charge, so $Q_{inner}=-Q$. Charge conservation gives $Q_{outer}=q+Q$. With outer radius b and zero potential at infinity,

Here Q = +2 nC and q = -1 nC. The cavity is not conducting material; its field need not vanish.

Do not confuse the open-plane half-flux result with enclosed charge. A conductor’s zero field fixes a constant potential, not necessarily zero potential.

solid angle: Angular area subtended by a surface, measured in steradians.

induced surface charge 感应表面电荷: Charge rearranged on a conductor to satisfy electrostatic equilibrium.

Um resistor em um ramo paralelo vê a tensão do ramo, que pode diferir da tensão da bateria porque outro resistor está em série.

Pré-requisitos: 2, 30.

• Resolva redes de resistores e distinga quantidades RMS de pico em CA
• Aplicar acoplamento de fluxo, direção de Lenz e campo de loop de corrente
• Usar razões carga/massa e equilibrar forças em campos cruzados

Em circuitos resistivos ideais estacionários, resistências em série somam-se e condutâncias em paralelo somam-se. Reduza a rede preservando quais nós compartilham o mesmo potencial. Com uma fonte de 24 V, um resistor em série de 2 Ω e ramos em paralelo de 3 Ω e 6 Ω, a equivalente em paralelo é 2 Ω. A corrente total é 6 A, a tensão no ramo é 12 V e as correntes nos ramos são 4 A e 2 A. A corrente por cada componente não é necessariamente a corrente total; verifique as somas da lei de Kirchhoff para corrente e tensão após a redução.

Para corrente senoidal I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). Um circuito RLC em série tem magnitude de impedância sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) e potência média dissipada Irms²R=Vrms Irms cosφ. Indutores/capacitores ideais trocam energia armazenada com dissipação média nula. Se a corrente rms já for fornecida, não insira outro fator 1/2. Um diodo retificador ideal conduz na direção direta e bloqueia na reversa: um diodo em série orientado adequadamente limita a metade negativa da tensão senoidal no resistor; ele não cria um retificador de onda completa sozinho.

O fluxo magnético é ∫B·dA, ou BA cosθ para um campo uniforme com θ medido a partir da normal da área. A f.e.m. de Faraday é −N dΦ/dt. Para campo perpendicular variável e geometria de laço fixa, sua magnitude média é NA|ΔB|/Δt. Determine o sinal ou direção da corrente usando a oposição à variação do fluxo, não à própria direção do campo. O campo magnético no centro de uma espira circular é μ0I/(2R), obtido de Biot–Savart: cada elemento contribui na mesma direção axial. Uma bobina compacta de N voltas multiplica esse resultado por N.

Para uma carga não relativística com velocidade perpendicular a B uniforme, a força magnética |q|vB fornece a força centrípeta mv²/r. Assim, r=mv/(|q|B) e a frequência angular ciclotrônica é |q|B/m, independente da velocidade nesta aproximação. O sinal da carga define a direção de rotação. Um deutério tem aproximadamente duas vezes a massa do próton e a mesma carga, enquanto uma partícula alfa tem quatro vezes sua massa e duas vezes sua carga; suas frequências são cada uma metade do valor do próton. Em campos E e B cruzados, o movimento sem desvio requer forças elétricas e magnéticas opostas e v=E/B. Verifique as direções vetoriais antes de usar essa magnitude.

Uma fonte ideal de 24 V alimenta 2 ohms em série com ramos em paralelo de 3 e 6 ohms. Identifique os nós antes de reduzir a rede.

O outro ramo carrega 4 A; as correntes dos ramos somam a corrente da fonte.

Não aplique a tensão da bateria a cada ramo nem reduza novamente a potência de corrente rms pela metade. O ângulo de fluxo usa a normal à área; um seletor também precisa de direções de força opostas.

valor eficaz: Raiz quadrada da média dos valores ao quadrado, usado para corrente ou tensão CA efetiva.

acoplamento de fluxo: Soma do fluxo magnético através das voltas de uma bobina.

Um capacitor carregado pode alterar seu campo elétrico através de uma lacuna mesmo sem corrente de condução atravessá-la.

Pré-requisitos: 13, 29, 47.

• Usar corrente de deslocamento e relações de velocidade de onda no material
• Determinar direções do campo-onda e fluxo de energia irradiado
• Aplicar condições de contorno de Maxwell sem confundir componentes de campo

A lei de Ampère-Maxwell no vácuo é ∮B·dl=μ0(I_condução+ε0 dΦE/dt). O termo adicional de corrente de deslocamento depende da taxa temporal do fluxo elétrico através da superfície escolhida. Garante resultados consistentes para um laço cuja superfície abrangente cruza um fio de capacitor ou passa entre as placas. Corrente de deslocamento não é fluxo magnético nem uma integral sobre fluxo elétrico anterior. Para um campo de placa uniforme, a contribuição da lacuna é ε0A dE/dt; os sinais seguem a superfície orientada.

Em um dielétrico homogêneo, linear e sem perdas com permeabilidade μ e permissividade ε, as equações de Maxwell fornecem velocidade de onda v=1/sqrt(με) e índice de refração n=c/v=sqrt(μrεr). Para material não magnético μr≈1, logo v=c/sqrt(εr). Use as constantes materiais dependentes da frequência quando a dispersão for relevante; uma constante dielétrica estática pode não descrever todas as frequências ópticas. Ondas no vácuo têm E/B=c; neste meio simples, a relação é E/B=v.

Para uma onda plana propagando-se ao longo do vetor unitário n, B=(n×E)/v. Ambos os campos são perpendiculares à propagação e entre si. Fase kz−ωt propaga-se para +z, enquanto kz+ωt propaga-se para −z. Se E estiver ao longo de x+y e a propagação for +z, B estará ao longo de −x+y, pois z×x=y e z×y=−x. O vetor de Poynting S=E×H (E×B/μ neste meio) aponta na direção do transporte de energia. Na zona de radiação de uma carga acelerada, o fluxo de energia é para fora da fonte, não necessariamente na direção instantânea do movimento da carga.

A equação da divergência de Maxwell ∇·B=0 fornece a continuidade da componente normal de B através de uma interface: uma pilha fina não possui carga magnética em seu interior. A descontinuidade tangencial de H está relacionada à corrente superficial; ela não precisa ser nula. Sob um modelo ideal supercondutor de estado Meissner com B interno nulo, a componente normal externa na fronteira deve ser, portanto, zero, deixando qualquer B externo nonzero tangente à superfície. Essa conclusão é condicional ao modelo de interior nulo declarado; ela não decorre de assumir que todo campo externo seja zero. Para eletrostática, D normal pode, em vez disso, saltar devido a carga livre superficial.

Uma onda plana viaja ao longo de z positivo em um dielétrico linear, sem perdas e não magnético. Com permissividade relativa 9,

Se E apontar ao longo de x positivo, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ apontará ao longo de y positivo. Para E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ aponta na direção da propagação. Verifique se as constantes materiais se aplicam à frequência da onda.

A corrente de deslocamento usa fluxo elétrico variável. O B interno nulo fixa o componente normal externo, não todos os componentes externos. Distinga a propagação de ondas do movimento de partículas.

corrente de deslocamento: Contribuição do derivado temporal do fluxo elétrico na lei de Ampère-Maxwell.

vetor de Poynting: Fluxo de energia eletromagnética por unidade de área e tempo.

Um motorista ouve um eco de uma parede estacionária com altura alterada: o som de ida e de volta adquire cada um um fator Doppler.

Pré-requisitos: 3.

• Aplique fatores Doppler da fonte e do observador no referencial do meio
• Derive as frequências permitidas do tubo a partir das condições de contorno de deslocamento
• Distinça entre mudanças de frequência, comprimento de onda e fronteiras

Para som em um meio estacionário, separe o movimento da fonte do movimento do observador. Uma fonte aproximando-se à velocidade u_s comprime o espaçamento dos frentes de onda e produz a frequência recebida f c/(c−u_s) em um observador estacionário. Um observador aproximando-se de uma fonte estacionária à velocidade u_o encontra mais frentes de onda por segundo e mede f(c+u_o)/c. As velocidades são medidas em relação ao meio; as fórmulas acústicas da fonte e do observador não são simétricas sob troca de papéis. Movimento de afastamento inverte o sinal apropriado. Essas expressões assumem movimento subsônico ao longo da linha de propagação.

Para uma sirene movendo-se em direção a uma parede refletora estacionária com velocidade u, a parede recebe primeiro f_wall=f c/(c−u). A reflexão de uma parede estacionaria preserva a frequência no referencial do meio. O motorista em movimento então se aproxima dos frentes de onda retornantes e recebe f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). Em u/c pequeno, o desvio fracional é aproximadamente 2u/c, mas a expressão exata tem numerador e denominador diferentes. Uma superfície refletora móvel precisa de seu próprio passo Doppler; não reutilize o resultado da parede estacionária cegamente.

Em uma extremidade aberta ideal, o deslocamento do ar é um antinó e a variação de pressão é um nó. Em uma extremidade rígida fechada, o deslocamento é um nó e a pressão é um antinó. Para ambas as extremidades abertas, o comprimento L contém n meios-comprimentos de onda, resultando em f_n=nc/(2L), n=1,2,… . Para uma extremidade fechada, contém um número ímpar de quartos-de-comprimento de onda, resultando em f_n=(2n−1)c/(4L). Tubos reais podem exigir correções nas extremidades; o modelo ideal GRE usa o comprimento declarado sem inventar um ajuste.

Fechar uma extremidade de um tubo anteriormente aberto reduz à metade sua frequência fundamental e deixa apenas múltiplos ímpares dessa nova fundamental. Suas frequências antigas eram múltiplos inteiros de c/(2L), que são múltiplos pares de c/(4L), portanto nenhuma é uma frequência permitida no novo espectro ideal de um tubo com uma extremidade fechada. Isso difere de simplesmente excluir harmônicos pares mantendo a antiga fundamental. Quando o meio não muda, a velocidade da onda permanece inalterada; a frequência e o comprimento de onda mudam juntos para satisfazer a nova geometria das fronteiras.

Uma sirene se aproxima de uma parede estacionária em ar calmo. Trate as viagens de ida e volta separadamente. A parede recebe primeiro $f_w=fc/(c-u)$; a reflexão mantém essa frequência no referencial do meio. O ouvinte móvel então recebe $f_e=f_w(c+u)/c$.

Este efeito Doppler usa velocidades relativas ao meio. Não é a fórmula de ondas luminosas.

Um eco precisa de ambos os fatores Doppler. Fechar um tubo altera o fundamental; os harmônicos ímpares são contados a partir do novo fundamental, não do antigo.

antinó de deslocamento: Posição de onda estacionária onde a amplitude do deslocamento do ar é máxima.

fator Doppler: Multiplicador de frequência produzido por movimento específico de fonte ou observador.

Uma célula gasosa em um braço de um interferômetro de Michelson é atravessada duas vezes. Contar apenas uma passagem reduz à metade a variação de índice de refração inferida.

Pré-requisitos: 3, 33.

• Calcular amplificação de telescópio e poder de resolução de grade
• Relacionar contagens de franjas de Michelson a mudanças de caminho óptico de dupla passagem
• Traçar normais superficiais antes de aplicar leis de Snell e reflexão

Para um telescópio astronômico ideal ajustado para visão relaxada no infinito, a objetiva forma sua imagem no plano focal e a ocular colima a luz emergente. A separação das lentes é f_objetiva+f_ocular; a magnitude da amplificação angular é f_objetiva/f_ocular. O telescópio usual de duas lentes convergentes produz uma imagem invertida, representada por uma amplificação angular negativa sob uma convenção consistente. Uma distância final de imagem finita altera a separação das lentes; não use o ajuste de infinito sem verificar a condição.

O poder de resolução R=λ/Δλ descreve a menor separação de comprimentos de onda distinguível próximo a λ. Para uma grade de difração ideal na ordem m com N frestas iluminadas, R=mN. Este é um critério de resolução, não simplesmente a fórmula de posição angular d sinθ=mλ. Aumentar o número de frestas iluminadas afia os picos principais; aumentar o espaçamento entre frestas principalmente altera suas localizações angulares. Uma medição de λ=600 nm e Δλ=3 nm resulta em R=200, independente de converter ambos os comprimentos para metros porque sua razão usa unidades correspondentes.

A interferência de Michelson depende da diferença de caminho óptico entre os braços. Se um braço contém uma célula gasosa de comprimento geométrico L e o índice muda de n para 1 durante a evacuação, uma dupla passagem altera o caminho em 2L(n−1). Se N franjas passam, a magnitude desta mudança é Nλ, logo n−1=Nλ/(2L). Para um espelho móvel em vez disso, o deslocamento Δx causa mudança de caminho 2Δx. As franjas contam ciclos de fase; uma franja é um comprimento de onda de caminho óptico, não um comprimento de onda de movimento do espelho.

A lei de Snell n1 sinθ1=n2 sinθ2 usa ângulos a partir da normal superficial local. A reflexão tem ângulos de entrada e saída iguais a partir dessa mesma normal. Em um bloco retangular, as normais de faces adjacentes são perpendiculares: um ângulo de incidência medido a partir de uma normal é complementar ao ângulo desse mesmo raio a partir da outra. Desenhe o raio e as normais antes da substituição. Para incidência de índice n para o ar, a reflexão interna total ocorre apenas quando sinθ>1/n; a igualdade é o caso crítico de rasante. Um raio parcialmente refratado declarado deve satisfazer a condição de transmissão.

Um interferômetro de Michelson envia luz duas vezes por uma célula de gás de comprimento L. A evacuação altera o caminho em $2L(n-1)$. N franjas correspondem a uma alteração de caminho $N\lambda$.

Assim, n = 1.00030. Mover um espelho também é de passagem dupla; uma franja não equivale a um comprimento de onda de movimento do espelho.

Use o caminho óptico, não apenas a distância geométrica. Os ângulos de refração são medidos a partir da normal da superfície real, e a soma dos focais do telescópio assume uma imagem final no infinito.

poder de resolução: Comprimento de onda dividido pela menor separação de comprimentos de onda resolúveis.

comprimento de caminho óptico: Caminho geométrico ponderado pelo índice de refração ao longo do raio.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

A refrigerator 制冷机 can move more heat than the work supplied to it. That ratio is a coefficient of performance 性能系数, not an efficiency that must be below one.

Prerequisites: 4.

• Apply first-law work and heat signs to gas processes
• Compare reversible entropy balances and P–V cycle areas
• Distinguish engine efficiency from refrigerator coefficient of performance

Use ΔU=Q−W, where Q is heat entering the system and W is work done by it. Quasistatic boundary work is ∫P dV, positive during expansion. For a fixed amount of ideal gas, internal energy depends only on temperature. At constant volume W=0, so ΔU=Q; for an isothermal ideal-gas process ΔU=0, so Q=W. Adiabatic means Q=0, not constant temperature. Over a cycle, the state returns and ΔU=0, so net Q equals net W even though individual legs have different heat transfers.

For reversible isothermal expansion of an ideal gas, PV is constant. With constant heat capacities, a reversible adiabatic path obeys PV^γ=constant, with γ=Cp/Cv>1; through the same initial state its pressure falls faster as volume increases. An isobaric path is horizontal on a P–V plot. A clockwise closed cycle has positive ∮P dV; reversing direction changes the sign. For a rectangular loop the magnitude is ΔPΔV, and a triangular loop has half the corresponding bounding-rectangle area. Use Pa and m³ for joules, not an unconverted litre value.

For reversible heat transfer, dS=δQ_rev/T; entropy is a state function while heat is path dependent. A reversible system-plus-environment process has zero total entropy change, but the system’s entropy alone can increase or decrease. Irreversible spontaneous processes produce nonnegative total entropy. A reversible isothermal expansion increases the gas entropy by nR ln(V2/V1); the reservoir loses the same amount. Reversibility does not require constant system temperature, zero work or zero internal-energy change.

A reversible engine between TH and TC has efficiency W/QH=1−TC/TH. A reversible refrigerator instead has COP=QC/W=TC/(TH−TC), and a heat pump has QH/W=TH/(TH−TC). Use absolute kelvin temperatures. On a reversible T–S diagram, heat magnitude along an isotherm is T times the entropy change; the Carnot rectangle’s area is the work magnitude. Refrigeration moves heat from cold to hot by consuming work, reversing the engine cycle. COP can exceed one without violating conservation because the moved heat is not supplied solely by the work.

A reversible refrigerator transfers entropy Delta S from Tc to Th.

COP above one is possible because heat is moved, rather than all produced from work.

Zero total entropy production 熵产生 does not mean zero system entropy change. A refrigerator uses TC/(TH−TC), not the engine efficiency formula.

entropy production: Nonnegative total entropy generated by irreversibility.

coefficient of performance: Useful heat transferred divided by work input for a refrigerator or heat pump.

A gas can have zero mean velocity while its particles have substantial average speed. Opposite directions cancel in a vector mean; speed has no sign.

Prerequisites: 4, 35.

• Normalise continuous speed densities and interpret their units
• Distinguish vector means, speed means and most probable speeds
• Use Boltzmann weights with degeneracy and a partition function 配分函数

For a continuous speed probability density 概率密度 f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.

In an isotropic equilibrium gas without bulk flow, each velocity-component distribution is symmetric, so ⟨v_vector⟩=0. Speed v=|v_vector| is nonnegative and has positive mean. For a classical ideal gas, the Maxwell speed density is proportional to v²exp[−mv²/(2kBT)]. Its mode is sqrt(2kBT/m), its mean is sqrt(8kBT/(πm)) and its rms speed is sqrt(3kBT/m). These are three different quantities. The v² factor makes speed density zero at v=0, even though the velocity-vector density is largest at the zero vector.

For a continuous distribution, the probability of exactly one specified speed is zero; nonzero probabilities refer to intervals. This statement does not imply there are no particles with arbitrarily small speeds, or that a finite-resolution detector cannot record a zero bin. Temperature changes the scale of the Maxwell distribution: characteristic speeds are proportional to sqrt(T/m). Doubling temperature does not double the speed, and heavier particles are slower on average at the same temperature.

In a canonical ensemble 正则系综 at temperature T, a state of energy E_i has weight exp(−E_i/(kBT)). Divide by partition function Z=Σexp(−E_i/(kBT)) to obtain probabilities. If an energy level has degeneracy g_i, its level probability is g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Equal energy per state does not imply equal probability per level when degeneracies differ. For a ground level of degeneracy 1 and an excited level of degeneracy 2 at Δ=kBT ln2, the excited total weight is 2e^(−ln2)=1: the two levels each have probability 1/2. Classical Maxwell–Boltzmann assumptions differ from Bose–Einstein and Fermi–Dirac quantum occupations.

A canonical ensemble has ground degeneracy 1 and excited degeneracy g at gap Delta.

With g = 4 and $\Delta=k_BT\ln2$, This is probability for the entire excited level. Each of its four states has probability 1/6.

A density height is not a probability. Mean velocity, mean speed and mode differ; include degeneracy before normalising level probabilities.

probability density: Probability per unit of a continuous variable, whose integral gives interval probability.

partition function: Sum of statistical weights used to normalise equilibrium state probabilities.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

Uma partícula instável rápida pode percorrer mais distância no laboratório do que seu tempo de vida no repouso multiplicado pela velocidade sugeriria.

Pré-requisitos: 6, 42.

• Relacione a vida própria ao tempo e distância do laboratório
• Use energia-momento invariante e energia cinética relativística
• Inferir velocidade de recessão longitudinal a partir da razão de comprimentos de onda

Para velocidade relativa v, defina β=v/c e γ=1/sqrt(1−β²). O tempo próprio é medido ao longo da linha do mundo da partícula por um relógio em repouso com ela. Se seu tempo médio de vida próprio for τ0, seu tempo médio de vida no laboratório será γτ0 e a distância média percorrida será vγτ0 a velocidade constante. O decaimento é estatístico: o tempo médio não é uma garantia de tempo de decaimento para cada partícula. Em β=0.8, γ=5/3. Calcule eventos espacotemporais consistentemente em um único referencial; tempo próprio e tempo coordenado são quantidades diferentes.

Energia total é E=γmc², momento p=γmv e invariante E²−p²c²=m²c⁴. Quando E e pc são expressos nas mesmas unidades de energia, encontre mc²=sqrt(E²−(pc)²), não E−pc. A raiz quadrada não negativa é necessária para massa em repouso positiva. Para E=13 GeV e pc=12 GeV, a energia de repouso é 5 GeV e a massa é 5 GeV/c². Uma partícula sem massa tem E=pc, mas não precisa ter energia ou momento nulos. Essas relações referem-se ao quatro-momento de partículas isoladas, não à mv clássica em velocidade relativística.

O trabalho para acelerar uma partícula do repouso é igual à energia cinética K=E−mc²=(γ−1)mc². Em β=0.6, γ=1.25 e K=0.25mc², enquanto a cinética clássica ½mv² resulta em 0.18mc². A energia cinética clássica é a expansão de baixa velocidade e torna-se imprecisa perto de c. O trabalho de aceleração finita aumenta γ, impedindo que uma partícula massiva atinja ou exceda c. Mantenha energia total, energia de repouso e energia cinética distintas ao interpretar as unidades das respostas.

Para recessão longitudinal pura na relatividade especial, a razão de comprimentos de onda r=λ_observado/λ_emitido=sqrt((1+β)/(1−β)). Reorganizando, obtém-se β=(r²−1)/(r²+1). Uma razão r=2 resulta em β=3/5, não c vezes (r−1) baseado em aproximação de baixa velocidade. O desvio para o azul usa r<1 e um parâmetro de recessão negativo sob esta convenção. A fórmula assume que o deslocamento é inteiramente cinemático; expansão cosmológica ou desvio gravitacional para o vermelho exigem modelos diferentes. Declare o modelo estipulado pela questão antes de interpretar uma razão espectral.

Energia total e momento determinam a energia de repouso invariante.

Para E = 17 GeV e pc = 15 GeV, A massa de repouso é 8 GeV/c². Não subtraia o momento diretamente da energia.

Não use o tempo próprio como tempo do laboratório, subtraia pc de E para encontrar a massa de repouso ou aplique a aproximação Doppler clássica para uma grande razão de comprimentos de onda.

tempo próprio: Tempo registrado por um relógio movendo-se com o objeto ao longo de sua linha do mundo.

energia de repouso: Energia mc² associada à massa de repouso de um objeto.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Medir apenas a condutividade não revela se elétrons ou buracos dominam o transporte. Uma medida magnética de Hall fornece um teste sensível ao sinal.

Pré-requisitos: 8, 46.

• Comparar energia de ligação por nucleon e energia de reação
• Diferenciar léptons, mésons e bárions com restrições de conservação
• Inferir o sinal do portador dominante a partir do modelo de Hall de um único portador

A energia de ligação B é a energia necessária para separar um núcleo em seus nucleons livres constituintes, igual ao correspondente déficit de massa vezes c². A energia de ligação por nucleon B/A é a comparação relevante entre diferentes números de massa; um núcleo mais pesado pode ter maior B total, mas menor B/A. O máximo amplo de B/A está próximo da região do ferro/níquel. A fusão de núcleos leves e a fissão de núcleos muito pesados podem liberar energia quando os produtos têm maior energia de ligação total. Para uma reação, Q=(massa de repouso inicial−massa de repouso final)c²; Q positivo significa energia liberada. Sempre compare os isótopos especificados e produtos finais reais, não apenas seus nomes de elemento.

Léptons como elétrons, múons e neutrinos não são compostos por quarks constituintes no Modelo Padrão. Um múon negativo tem carga −e e spin 1/2, como um elétron, mas possui massa diferente e pertence a uma família de sabor distinta; não é um méson apesar de seu nome histórico. Hádrons contêm quarks: mésons ordinários têm um quark e um antiquark, e bárions ordinários têm três quarks. Bárions antipartículas correspondentes têm três antiquarks. Esses modelos elementares de classificação não implicam que toda partícula composta seja simplesmente um bárion ou méson.

Verifique carga, energia, momento, número bariônico e números leptônicos relevantes em um processo proposto. Os quarks uud de um próton somam +e; o nêutron udd soma zero. A desintegração beta-negativa n→p+e−+antineutrino conserva carga elétrica e inclui o antineutrino para equilibrar o número leptônico e a cinemática. A massa de uma partícula sozinha não a classifica como quark, lépton ou hádon. Os limiares de reação podem exigir energia cinética além da diferença exotérmica de massa de repouso quando outras restrições se aplicam.

Em um condutor simples de um único portador, a força de Lorentz magnética transversal constrói um campo elétrico de Hall até que a força transversal dos portadores se equilibre. Com uma convenção de tensor/sinal declarada, o coeficiente de Hall é R_H=1/(nq); q negativo resulta em coeficiente negativo tipo elétron, q positivo resulta em coeficiente positivo tipo buraco. A magnitude da resistividade sozinha não revela esse sinal. Estabeleça as direções de corrente, campo magnético e voltagem consistentemente antes de ler a polaridade bruta. Semicondutores com contribuições de elétrons e buracos exigem um modelo de dois portadores ponderado pela mobilidade; o coeficiente simples não precisa ser igual ao inverso da densidade total de portadores.

No modelo de efeito Hall de um único portador, use $R_H=1/(nq)$ com uma convenção fixa de terminais. Para elétrons, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ por metro cúbico,

Coeficiente negativo indica portadores tipo elétron neste modelo, não densidade negativa. Polaridade de tensão bruta só tem significado com direções de campo e fio declaradas.

Comparar a ligação por nucleon, não apenas a ligação total. Um múon é um lépton, e o sinal Hall requer a convenção de medição declarada e o modelo de portador.

energia de ligação por nucleon: Energia de ligação nuclear dividida pela contagem de nucleons.

coeficiente de Hall: Proporcionalidade assinada que relaciona o campo transversal de Hall à densidade de corrente e ao campo magnético sob uma convenção estabelecida.

A pendulum tension changes throughout a swing, but its angular equation can be derived without solving for tension.

Prerequisites: 1, 47.

• Derive Euler–Lagrange motion after imposing a holonomic constraint 完整约束
• Use a cyclic coordinate 循环坐标 to identify conserved canonical momentum
• Linearise a stable equilibrium and check the resulting frequency

A constraint removes an independent coordinate before you form the kinetic energy. For a fixed-length pendulum choose θ from the downward vertical: x=l sinθ and y=−l cosθ. Differentiating both coordinates gives v²=l²θdot², not l² sin²θ θdot². Thus T=ml²θdot²/2 and V=mgl(1−cosθ), with zero potential at the bottom. The fixed length is a holonomic constraint: it is a relation among coordinates and possibly time. A rolling velocity constraint needs its own analysis; do not automatically treat every constraint as a coordinate substitution.

For ideal constraints and the usual conservative system, the stationary-action equation is d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 with L=T−V. The variations vanish at the two time endpoints. A pendulum gives ∂L/∂θdot=ml²θdot and ∂L/∂θ=−mgl sinθ, so ml²θddot+mgl sinθ=0. The momentum derivative acts on every time-dependent factor: for a varying radius, d(mr²θdot)/dt contains 2mr rdot θdot. The variational method does not mean mechanical energy is conserved in a time-dependent system.

For planar central motion, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). The angle θ is cyclic because L has no explicit θ dependence, even though L depends on θdot. Its canonical momentum pθ=mr²θdot is constant. The radial equation is m rddot=mrθdot²−dV/dr. The first term is part of the coordinate acceleration, not a new outward real force in an inertial frame. Conservation of pθ makes angular speed increase as r decreases; constant angular speed is a different, externally driven situation.

Near a stable equilibrium q0, expand V to second order and use a constant local inertia M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Then the small-displacement frequency is sqrt(V″/M). For a pendulum sinθ≈θ in radians, so ω=sqrt(g/l); the approximation requires small amplitude. A negative V″ gives instability, not an oscillation with an imaginary measurable frequency. Check the full nonlinear equation first, then state the approximation and compare units: V″/M must have units of inverse time squared.

For a fixed pendulum length l, use theta from downward vertical: x = l sin theta, y = -l cos theta. Both Cartesian velocities give $T=ml^2\dot\theta^2/2$ and $V=mgl(1-\cos\theta)$. The Euler-Lagrange equation 欧拉—拉格朗日方程 is

Divide by $ml^2$ before linearising: The approximation uses radians. Endpoint variations vanish in the stationary-action derivation.

A cyclic coordinate is absent from L itself; its velocity need not be absent. Do not discard the time derivative of a changing r² factor.

holonomic constraint: A constraint expressible as a relation among coordinates and possibly time.

cyclic coordinate: A coordinate absent explicitly from the Lagrangian, with conserved canonical momentum under the Euler–Lagrange equation.

A person standing still on a turning platform needs a real inward force, although their platform-relative acceleration is zero.

Prerequisites: 26.

• Transform acceleration with translating and rotating frame 旋转参考系 terms
• Determine centrifugal, Coriolis and Euler directions from cross products
• Separate apparent forces from real interactions and test inertial limits

In a translating frame with origin acceleration A, Newton’s equation becomes m a′=F_real−mA. An upward-accelerating elevator therefore has N−mg=ma in the ground frame, or N−mg−ma=0 for its stationary passenger in the elevator frame. These are the same prediction. The additional term is an apparent force caused by the chosen accelerating coordinates; it is not a new contact with another body. Uniform translation with A=0 changes velocity but needs no apparent force.

For a rotating basis, differentiating a vector adds Ω×that vector. Applying this twice gives a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Here r and v′ are measured relative to the moving origin in its rotating axes; all vectors in a calculation must be expressed in the same basis at the same instant. Move the last three rotational terms to the force side to obtain Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), and Euler −mΩdot×r. A constant rotation removes the Euler term, not the Coriolis term.

Take Ω along +z, an anticlockwise platform viewed from above, and a particle at r along +x. Centrifugal force 离心力 is along +x with magnitude mΩ²r. If the particle moves outward with v′ along +x, then Ω×v′ is +y, so Coriolis force 科里奥利力 points −y. Reversing the relative velocity reverses Coriolis; keeping v′=0 makes it vanish. Coriolis is perpendicular to v′ and does no instantaneous work on that relative motion. Centrifugal force is outward from the rotation axis, not necessarily outward from the chosen origin in an arbitrary three-dimensional position.

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

In a rotating frame, Coriolis force uses the relative velocity.

For m = 2 kg, Omega = 2 rad/s along z, r = 1 m along x and v' = 3 m/s along x, Euler force is zero only because Omega is constant. These are coordinate terms, not extra physical contacts.

The relative velocity v′ belongs in the Coriolis term. Using the full inertial velocity counts rotation twice.

Coriolis force: The apparent rotating-frame force −2mΩ×v′ caused by relative motion.

centrifugal force: The apparent rotating-frame force −mΩ×(Ω×r), directed away from the rotation axis.

A narrow pipe carries the same steady flow rate as a wide pipe, but its pressure behaviour depends on both speed and viscous losses.

Prerequisites: 10, 47.

• Combine incompressible continuity with pressure, height and kinetic energy
• Apply hydrostatic and Bernoulli relations only under their stated conditions
• Use viscosity, Poiseuille scaling and Reynolds number to distinguish flow regimes

For steady flow, the mass passing successive cross-sections per unit time is equal: ρAv is constant. An incompressible liquid has nearly constant ρ, so Q=Av is the volume flow rate 体积流量. Halving pipe radius quarters area and multiplies mean speed by four for the same Q. Pressure does not determine Q without a model of the rest of the system. In a stationary liquid, dp/dz=−ρg with z upward; therefore pressure increases by ρgh a distance h below a surface. Use absolute or gauge pressure consistently on both sides.

For steady, incompressible, inviscid motion along a streamline with no pump or dissipative loss, Bernoulli gives p+ρv²/2+ρgz=constant. These three terms are energy per volume and have pressure units. At equal height, larger speed requires smaller static pressure under these assumptions. A higher outlet also uses pressure/kinetic energy to gain gravitational energy. Bernoulli along one streamline need not imply the same constant on different streamlines in rotational flow. A stagnation point has v=0 and converts local speed energy to a pressure rise in the ideal model.

Viscosity transports momentum between neighbouring fluid layers. For steady fully developed laminar flow of a Newtonian incompressible liquid in a circular tube, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Here Δp is the pressure drop along the tube, η dynamic viscosity 动力黏度 and L tube length. Doubling radius at fixed Δp, η and L multiplies Q by sixteen. Doubling Q at fixed geometry needs twice the pressure drop. This viscous pressure loss cannot be added to a loss-free Bernoulli equation as though nothing changes; include a dissipative pressure/head loss or use the viscous model.

The Reynolds number Re=ρvD/η compares inertial and viscous effects using characteristic speed v and length D. For a pipe use mean speed and internal diameter, not radius. Re is dimensionless: density times speed times length has the same units as dynamic viscosity. Small Re favours viscous dominance; transition to turbulence depends on geometry and disturbances, so a single threshold is not a universal law. Poiseuille scaling is not safe after assuming a turbulent flow. Check volume continuity, sign of pressure change and the regime before selecting a formula.

A steady incompressible horizontal ideal flow has areas 4 and 1 square centimetres. At the first section speed is 1 m/s. Continuity and Bernoulli give

These relations assume no pump, viscosity loss or height change. A real narrow tube may violate them.

Continuity keeps Q constant across one steady pipe; Poiseuille compares Q between different systems at a specified pressure drop. State what is held fixed before comparing radius powers.

volume flow rate: Volume crossing a section per unit time, Q=Av for mean speed v.

dynamic viscosity: The coefficient relating shear stress to velocity gradient in a Newtonian fluid.

Putting a dielectric into a capacitor changes the field differently depending on whether its battery remains connected.

Prerequisites: 13, 15.

• Relate free and bound charge to D, E and polarisation
• Compare fixed-charge and fixed-voltage dielectric changes
• Use magnetic constitutive response and free-current boundary conditions

Electric polarisation 电极化强度 P is electric dipole moment per unit volume, measured in C/m². Define D=ε₀E+P so that ∇·D=ρ_free; the total charge, including bound charge, still appears in ∇·E=ρ_total/ε₀. Bound volume charge is ρ_b=−∇·P and bound surface charge is σ_b=P·n, where n points outward from the material. Uniform P therefore gives no bound charge in the bulk but can give surface charges of opposite sign. A dielectric is not an ideal metal: polarisation need not make its internal electric field zero.

For a linear isotropic dielectric, P=ε₀χ_e E and D=εE with ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. These simple scalar relations assume the response is linear and ignore anisotropy, strong dispersion and nonlinear effects. In a fully filled, large parallel-plate capacitor with negligible edge effects, D normal to the plates equals the free surface-charge density. If σ_free stays fixed, increasing ε reduces E=σ_free/ε. The bound charges oppose the applied field; their magnitude is not automatically equal to the free plate charge.

For plate area A and spacing d, C=εA/d. Disconnecting the battery fixes free charge Q: V=Q/C falls and stored energy U=Q²/(2C) falls when a dielectric increases C. Leaving an ideal voltage source connected fixes V: Q=CV and stored energy U=CV²/2 both rise. The source supplies energy and moving the dielectric can involve mechanical work; compare the stated electrical energy quantity rather than assuming the capacitor alone is an isolated system. At a material interface n·(D₂−D₁)=σ_free, whereas static tangential E is continuous. Normal E generally changes when permittivity changes.

Magnetisation M is magnetic dipole moment per unit volume, measured in A/m. In SI, B=μ₀(H+M); for a linear isotropic response M=χ_m H and B=μ₀(1+χ_m)H. B and H have different units and roles. A long uniform solenoid has H≈nI when end and demagnetising effects are negligible; material response then changes B. Free surface current sets n×(H₂−H₁)=K_free, and normal B remains continuous. Ferromagnetic hysteresis and saturation cannot be represented by one constant χ_m over every field.

A capacitor is disconnected before inserting a linear dielectric with relative permittivity 4. Free charge stays fixed; capacitance 电容 becomes four times its original value.

If an ideal battery stays connected instead, V is fixed: The source exchanges energy. Do not compare isolated charge and fixed voltage as the same experiment.

Use free charge in the D equation and total charge in the E equation. Do not confuse fixed Q with fixed V, or identify B numerically with H.

electric polarisation: Electric dipole moment per unit volume, P, contributing bound charge.

magnetisation: Magnetic dipole moment per unit volume, M, entering B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

A negative image distance is a geometric result that locates a virtual image 虚像, not a failed calculation to replace by its absolute value.

Prerequisites: 3.

• Locate paraxial thin-lens and spherical-mirror images with a declared sign convention
• Use signed magnification to classify orientation and real or virtual character
• Track successive image locations as the next element’s object without resetting geometry

Use the real-is-positive convention for this unit: a real object sends diverging incident rays into the element, so s>0; an already converging incident beam can represent a virtual object, s<0. A real image has s′>0, while a virtual image has s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 and a diverging lens f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; a negative s′ puts its virtual image on the input side. State the convention before substitution, as other signed-coordinate conventions give different-looking equations.

For a converging thin lens, a ray parallel to the axis exits through the far focal point, and a ray through the ideal optical centre continues undeviated. Their intersection identifies a real image; backwards extensions can locate a virtual image. The paraxial approximation uses rays close to the axis and neglects thickness and aberrations. With s>f>0, s′ is positive and M is negative: the image is real and inverted. With 0<s<f, s′ is negative and M is positive: the image is virtual, upright and enlarged. At s=f, emerging rays are parallel and no finite image plane exists. A diverging lens with a real object produces an upright reduced virtual image.

For a spherical mirror in the same real-is-positive convention, concave f>0 and convex f<0, with f=R/2 in the paraxial limit. A real reflected image is in front of the mirror on the incoming-light side; a virtual image is behind it. Thus a positive image distance has a different physical side for a mirror than for a transmitting lens. A parallel ray reflects through the concave focus; a ray aimed through the centre of curvature retraces its path. Convex reflected rays diverge as if from the focus behind the mirror. Use the same equation and M=−s′/s with signed values, rather than silently combining mirror geometry with a lens coordinate diagram.

For a sequence of separated lenses, first calculate the actual image coordinate from the first lens. Relative to the next lens, decide whether the incoming rays diverge from a point before it or are still converging toward a point beyond it; these are real and virtual objects respectively. Only then assign its signed object distance and solve again. Total transverse magnification is the product of the individual signed magnifications for aligned paraxial elements. Element separation is not automatically the second object distance. Geometric real/virtual character depends on convergence, not on whether the final image is magnified. These ideal results do not model wave-optical resolution or spherical/chromatic aberration.

Use real-is-positive distances and positive focal length for a converging lens. With f = 12 cm and real object distance s = 8 cm,

Thus s' = -24 cm and $M=-s'/s=+3$. The virtual image is upright, on the object's side. Signed distances identify the physical side; a negative distance is not an arithmetic failure.

Keep signs until the geometry is interpreted; a positive mirror image lies on the incident side, while a positive transmitting-lens image lies on the outgoing side.

virtual image: An apparent image located by backwards ray extensions rather than actual outgoing-ray convergence.

transverse magnification: Signed image-height to object-height ratio, −s′/s in the declared convention.

Two wall layers in series carry the same steady heat rate 热流率, but their temperature drops need not be equal.

Prerequisites: 4.

• Combine conductive thermal resistances and distinguish heat rate from heat flux
• Balance sensible and latent heat 潜热 with stated isolation and heat-capacity conditions
• Calculate free thermal expansion and constrained thermal stress with their limits

For one-dimensional steady conduction through a uniform slab, Fourier’s law gives heat flux q_x=−κ dT/dx. With constant conductivity κ, area A, length L and hot-to-cold temperature difference ΔT, heat rate is Qdot=κAΔT/L. Define thermal resistance 热阻 R_th=L/(κA), measured in K/W; temperature drop is Qdot R_th. Series layers without internal sources carry the same Qdot and their resistances add. Parallel paths at the same endpoint temperatures have heat rates that add, so inverse resistances add. Heat flux is rate per area, W/m², and need not match between layers of different area. Interface contact resistance and heat leakage must be included if specified.

Heat capacity C=dQ/dT depends on the thermodynamic path and is not the same as specific heat c per mass. For a material interval without a phase transition, Q=∫mc(T)dT, or mcΔT when c is constant. In an isolated calorimeter, sum the energy changes of all objects, including the container when relevant, and set the sum to zero. At a phase transition at its equilibrium temperature, added energy can change phase fraction rather than temperature: Q=mℓ uses latent heat ℓ in J/kg. First supply the sensible heat to reach the transition, then budget latent heat. Do not let a simple weighted-temperature average predict an impossible temperature when melting or freezing is part of the process.

For a freely expanding rod and small temperature change, ΔL≈αL₀ΔT with linear expansion coefficient α. For an isotropic solid with small strain, each dimension acquires factor 1+αΔT, so ΔA/A≈2αΔT and ΔV/V≈3αΔT. A hole expands with the surrounding material as if its missing region had expanded too. These relations assume a nearly constant coefficient and no mechanical constraint; anisotropic crystals need directional coefficients. If an elastic rod is prevented from changing length, its mechanical strain cancels thermal strain. With tensile stress positive, σ≈−YαΔT during heating, where Y is Young’s modulus. This small-strain estimate requires elastic response without yielding or buckling.

Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Two slabs in series carry the same steady heat rate. Let resistances be 0.08 and 0.24 K/W. Boundary temperatures are 60 and 20 degrees Celsius.

The interface is 50 degrees Celsius when slab 1 touches the hot side. Heat rate has watt units; flux divides it by area.

Keep W separate from W/m², include the calorimeter or latent energy when needed, and do not use free-expansion length together with constrained-stress assumptions.

thermal resistance: Temperature difference per steady heat-transfer rate, measured in K/W.

latent heat: Energy transferred during a phase change at its transition temperature; specific latent heat is per mass.

Uma lacuna de energia térmica pode manter a capacidade térmica pequena tanto em baixas quanto em altas temperaturas, mesmo enquanto a probabilidade de estados excitados continua aumentando.

Pré-requisitos: 20.

• Obter energia média canônica e energia livre de um espectro de energia fixo
• Relacionar a variância de energia à capacidade térmica a volume constante com condições de espectro fixo
• Avaliar a entropia e os limites de baixa/alta temperatura para um modelo original de níveis finitos

Para um sistema trocando energia com um reservatório a T enquanto N e V permanecem fixos, seja β=1/(kBT). Some Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) sobre os níveis de energia com suas degenerações. A probabilidade do nível é g_i exp(−βE_i)/Z; a energia média U é a soma ponderada pela probabilidade. Diferenciar um espectro independente da temperatura resulta em U=−∂lnZ/∂β. Mantenha a lacuna de energia e as degenerações fixas durante a derivada. Escrever Δ=kBT ln3 para descrever uma avaliação de temperatura não deve ser interpretado como se Δ mudasse com T. Para N subsistemas independentes distinguíveis idênticos de dois níveis, Z_total=z^N e U_total=N u. Partículas indistinguíveis e interações exigem sua própria contagem de estados, e não esta suposição de produto.

A energia livre de Helmholtz é F=−kBT lnZ. A entropia canônica segue de S=kB(lnZ+βU), equivalente a −kBΣ p_j ln p_j sobre microestados individuais. A capacidade térmica a volume constante é C_V=(∂U/∂T)_V,N. Essas grandezas possuem unidades diferentes e descrevem derivadas distintas. Adicionar um deslocamento constante de energia ε a todos os estados multiplica Z por exp(−βε), aumenta U e F em ε, e deixa as probabilidades, a entropia e a capacidade térmica inalteradas quando ε é independente de T. Portanto, uma energia média escolhida negativa não é evidência de capacidade térmica negativa. Use a mesma referência de energia nas probabilidades e nas expressões termodinâmicas.

A segunda derivada de β de lnZ fornece a variância Var(E)=⟨E²⟩−U². Para o mesmo modelo canônico de espectro fixo, C_V=Var(E)/(kBT²), logo C_V/kB=β²Var(E). A variância não negativa implica C_V não negativo dentro dessas condições. O denominador inclui kB, não kB², quando a capacidade térmica retém suas unidades ordinárias J/K. Esta fórmula de flutuação refere-se à distribuição de energia canônica; não afirma que cada partícula tenha exatamente a energia média. Para subsistemas independentes, as variâncias somam, assim como as médias. As flutuações relativas de energia geralmente diminuem como 1/√N quando a média e a variância por subsistema permanecem finitas e não nulas.

Para um estado fundamental único em E=0 e um estado excitado fixo em E=Δ>0, defina x=Δ/(kBT). Então z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc e C/kB=x²e^x/(1+e^x)². Em baixas temperaturas, a excitação e a capacidade térmica desaparecem exponencialmente. Em altas temperaturas, p_exc tende a metade e a energia satura, então a capacidade térmica tende novamente a zero. A entropia sobe de zero para o estado fundamental único até kB ln2 à medida que os dois estados tornam-se equiprováveis. O pico resultante de capacidade térmica a temperatura finita é específico do modelo de níveis finitos; não é o valor clássico constante do oscilador. A degeneração do estado fundamental ou níveis adicionais alterariam a entropia limite e a resposta térmica.

Mantenha os dois níveis de energia ⟨0⟩ e Delta fixos ao diferenciar a função de partição.

Em ⟨$\beta\Delta=\ln3$⟩, a probabilidade de excitação é ⟨1⟩/4, a energia média Delta/4, variância ⟨$3\Delta^2/16$⟩ e ⟨$C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$⟩. A degeneração, se presente, pertence a Z antes da diferenciação.

Mantenha Δ fixo ao diferenciar, inclua degenerescências em Z e use a variância de energia em vez do quadrado da energia média na fórmula da capacidade térmica.

flutuação de energia: Dispersão canônica de energia em torno de sua média de conjunto, quantificada pela variância de energia.

energia livre de Helmholtz: Potencial termodinâmico F=U−TS, igual a −kBT lnZ para o ensemble canônico.

A fermionic energy level can contain several particles when it contains several distinct states; the exclusion rule applies per complete state.

Prerequisites: 20, 35, 38.

• Compute mean occupation 平均占据数 per complete quantum state for fermions and bosons
• Count allowed identical-particle occupations and identify the classical dilute limit
• Compare classical quadratic-mode heat capacity with a quantum oscillator response

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=$\hbar$ω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

Occupation number 占据数 refers to one complete single-particle state. For $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

The classical dilute approximation gives $e^{-x}=1/4$; it is not exact here. A g-fold level has mean total occupation $g\bar n$, so a fermionic level can contain more than one particle while each complete state still obeys exclusion.

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

mean occupation: Ensemble average number of particles in one complete quantum state or a specified group of states.

equipartition: Classical equilibrium rule assigning kBT/2 to each independent quadratic Hamiltonian term.

A zero first-order energy shift 一阶能量修正 can coexist with a changed state and a nonzero higher-order shift.

Prerequisites: 5, 24.

• Calculate nondegenerate first-order energy shifts as normalised expectation values
• Use symmetry and matrix elements to assess weak-coupling limits
• Diagonalise the perturbation within an exactly degenerate subspace 简并子空间

Let H=H₀+λW, where λ is a small dimensionless parameter and the eigenstates of H₀ are known and normalised. For a nondegenerate level n, the first-order energy correction is λ⟨n|W|n⟩. In position space this is λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx for a multiplicative potential, with integration over the allowed domain. A potential value at one point is not an expectation value; the state’s probability density weights the whole domain. For an infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Reflection about its centre makes ⟨x⟩=L/2, so a weak added potential γx has shift γL/2 for every nondegenerate well level at first order. γ has units of energy per length.

For a perturbation odd about the centre, such as γ(x−L/2), the probability density of an unperturbed well eigenstate is even, so its diagonal expectation vanishes. A centred quadratic perturbation η(x−L/2)² instead gives shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)], which is positive for η>0 and depends on n. Parity makes the first-order integral zero only for the specified state and operator symmetry. Off-diagonal matrix elements can still change the wavefunction. Do not turn a symmetry cancellation into a claim that every energy correction vanishes or that the original state remains exact.

For a nondegenerate state, the leading admixture of another unperturbed state m is proportional to λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). The useful smallness condition therefore compares coupling matrix elements with the relevant level separations, not just with an arbitrary absolute energy zero. To second order, the energy correction contains Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). For the lowest nondegenerate state, all these denominators are negative, so the second-order correction is nonpositive in this model. Near a degeneracy, a small denominator defeats the nondegenerate expansion; use a coupled subspace instead of dividing by zero.

If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

A degenerate subspace requires matrix diagonalisation before first-order shifts. Suppose the perturbation restricted to two states is $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Shifts are epsilon and 3 epsilon. Normalised states are $(1,-1)/\sqrt2$ and $(1,1)/\sqrt2$. Reading only the diagonal entries would miss the splitting. Couplings to other levels must remain weak relative to their energy gaps.

Use normalised state weights, keep perturbation units, and diagonalise a degenerate block. First-order cancellation and exact invariance are different claims.

first-order energy shift: Leading weak-perturbation correction given by the unperturbed state’s expectation value.

degenerate perturbation theory 简并微扰理论: Method that first diagonalises the perturbation within an unperturbed degenerate subspace.

Dois elétrons podem compartilhar uma orbital espacial se seu estado completo espacial-más-spin tiver a antissimetria requerida.

Pré-requisitos: 5, 36.

• Construir estados espaciais de dois orbitais simétricos e antissimétricos normalizados
• Combinar simetria espacial e de spin para produzir estados permitidos de dois elétrons
• Contar ocupações de estado completo e interpretar correlações induzidas por troca

Para partículas idênticas, trocar todos os rótulos de coordenadas e spin altera uma função de onda total fermiónica por um sinal negativo e deixa uma bosônica inalterada. Espaços matemáticos 1 e 2 rotulam argumentos, não partículas permanentemente distinguíveis. Para duas orbitais ortonormais distintas a e b, combinações espaciais são Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Ortogonalidade torna essas combinações normalizadas e fornece autovalores de troca ±1. Se as duas orbitais forem idênticas, a combinação antissimétrica é identicamente zero e a fórmula simétrica exibida não está corretamente normalizada; o estado espacial de dupla ocupação é simplesmente a(1)a(2). Reavalia a normalização sempre que orbitais ou seus sobreposições mudarem.

Duas partículas de spin-1/2 possuem um singleto de spin (↑↓−↓↑)/√2 com spin total S=0; ele é antissimétrico sob troca. Os três triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 e ↓↓ têm S=1 e são simétricos. Elétrons exigem um estado total antissimétrico, então um estado espacial simétrico pareia com o singleto, enquanto um estado espacial antissimétrico pareia com um triplet. Dois elétrons na mesma orbital espacial podem formar o singleto, mas não podem formar um triplet ali neste estado simples de dois elétrons. A exclusão de Pauli impede a ocupação do mesmo estado único-particle completo, incluindo spin. Elétrons de spin oposto em uma orbital são dois estados completos diferentes; descrever a exclusão como um elétron por orbital descarta essa distinção.

Para duas orbitais espaciais a,b e dois estados de spin cada, há quatro estados únicos de partícula completa. Dois elétrons idênticos têm choose(4,2)=6 padrões de ocupação: dois singlets de dupla ocupação, um singleto de orbitais diferentes e três triplets de orbitais diferentes. Para três orbitais espaciais, há seis estados completos e choose(6,2)=15 padrões. Contar atribuições ordenadas superestima partículas idênticas. Bósons sem spin em duas orbitais têm em vez disso três ocupações: ambos em a, um em cada, ambos em b. Essas contagens assumem nenhuma restrição energética adicional e os estados únicos de partícula acessíveis declarados; restringir energia total ou projeção de spin muda o subconjunto permitido.

Um estado espacial antissimétrico satisfaz Ψ_−(x,x)=0, então sua densidade de posição conjunta anula-se na linha de coincidência. Um estado espacial simétrico não precisa anular-se ali. A diferença surge de interferência entre amplitudes trocadas, mesmo para partículas sem interação; não é uma força repulsiva clássica imposta separadamente. Para um poço de comprimento L, escolha a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Em x₁=L/4 e x₂=3L/4, a amplitude espacial antissimétrica é −2/L e sua densidade é 4/L²; a amplitude simétrica é zero. Estas são densidades de probabilidade conjuntas por duas comprimentos, não probabilidades adimensionais em pontos exatos. Compatibilidade física de spin ainda decide qual estado eletrônico total usa cada combinação espacial.

Para orbitais a e b ortogonais, os estados espaciais simétricos e antissimétricos são

O estado total de dois elétrons deve ser antissimétrico sob troca simultânea de posição e spin. Assim, o espaço simétrico acopla-se ao singleto de spin; o espaço antissimétrico acopla-se ao tripleto de spin. Se ambos os elétrons ocupam a, o produto espacial é simétrico e apenas o spin singleto é permitido. A fórmula de normalização para orbitais diferentes não pode ser simplesmente reutilizada para a = b.

Troque todos os argumentos espaciais e de spin. Não confunda espaço antissimétrico com estado total antissimétrico, nem use o fator √2 de orbital distinto para dois orbitais idênticos.

singleto de spin: Estado antissimétrico de dois-spins-1/2 com spin total S=0.

Determinante de Slater: Construção fermiónica antissimétrica a partir de estados de partícula única completos; estados duplicados fazem-na anular.

Uma função de onda ligada pode se estender fora de um poço finito mesmo que a energia da partícula esteja abaixo do potencial externo.

Pré-requisitos: 5, 24, 37.

• Correspondência de estados de poço finito decrescentes e derivação de condições de quantização dependente de paridade
• Interpretação de raízes adimensionais de estados ligados e distinção entre confinamento e espalhamento
• Uso de números quânticos hidrogenoides, momento angular e medidas de probabilidade radial

Declarar um poço simétrico V=−V₀ para |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 e mesma massa em toda parte. Uma energia ligada situa-se entre −V₀ e zero. No interior, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ fornece soluções oscilatórias; no exterior, κ=√(−2mE)/$\hbar$ cauda decrescente. Rejeitar exponenciais crescentes para obter um estado normalizável. Simetria de reflexão permite estados cos(kx) pares ou sin(kx) ímpares no interior. Em fronteiras finitas sem interações delta, tanto ψ quanto ψ′ são contínuos. Correspondência par resulta em k tan(ka)=κ; correspondência ímpar resulta em −k cot(ka)=κ. Um poço finito não exige que ψ se anule em suas bordas como faz uma parede infinita.

Introduzir z=ka e ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Então κa=√(ρ²−z²) e 0<z<ρ. Resolver z tan z=√(ρ²−z²) para um estado par, ou −z cot z=√(ρ²−z²) para um ímpar, em intervalos com sinal apropriado e longe dos polos da tangente. A energia segue como E/V₀=z²/ρ²−1. Para ρ=1, a raiz fundamental situa-se em 0<z<1 e a equação par é equivalente lá a z=cos z. Bisseção ou um solucionador de raízes convergente fornece z≈0.739085 e E/V₀≈−0.453753. Como ρ<π/2, nenhum ramo de estado ligado ímpar se encaixa. Em uma dimensão, um poço quadrado atrativo possui um estado fundamental par ligado independentemente de quão raso seja; uma cauda limiar E=0 não é integrável ao quadrado.

Para um estado ligado par, escreva ψ=A cos(kx) no interior e ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] no exterior. A continuidade define a amplitude relativa da cauda; integre |ψ|² sobre o interior e as caudas para determinar A. A probabilidade fora do poço é não nula e depende de sua profundidade, largura e estado selecionado. Estados ligados possuem energias discretas e assintotas decrescentes normalizáveis. Um estado de espalhamento com E>0 tem ondas propagantes externas e é normalizado ou interpretado usando uma convenção de contínuo/fluxo. Uma cauda decrescente não é evidência de violação da conservação de energia, e a amplitude bruta da cauda não é a probabilidade externa até ser integrada e normalizada.

Para um íon coulombiano de um elétron com carga nuclear Ze, use o modelo de potencial central não relativístico e a aproximação de núcleo pesado, a menos que a massa reduzida seja especificada. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; os números orbitais permitidos são n≥1, l=0,…,n−1 e m_l=−l,…,l. L² tem autovalor l(l+1)$\hbar$² e L_z=m_l$\hbar$; o orbital fundamental 1s tem l=0, apesar da regra histórica de órbita circular de Bohr. A degeneração espacial em n fixo é Σ_l(2l+1)=n² antes das correções de spin e estrutura fina. Se ψ=R_nl(r)Y_lm com parte angular normalizada, a probabilidade radial em dr é r²|R|²dr, não apenas |R|²dr. Para o hidrogênio 1s, a densidade radial é 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: ela atinge o pico em r=a₀ e tem média 3a₀/2, enquanto a densidade pontual tridimensional é maior na origem. Distinga essas medidas antes de localizar um raio mais provável.

Um poço finito tem V = -V0 para $|x|<a$ e zero no exterior. Uma energia ligada está estritamente entre -V0 e zero. Defina

Paridade par fornece um cosseno interno e caudas decrescentes. O ajuste de valor e derivada em a resulta em Paridade ímpar, em vez disso, dá $-k\cot(ka)=\kappa$. Resolva apenas dentro dos intervalos de paridade válidos; uma raiz em um polo tangente não é um estado ligado.

Use o potencial zero declarado, combine ψ′ além de ψ, e inclua a medida de casca radial. Uma cauda ligada e uma onda viajante de continuum têm regimes de energia diferentes.

estado ligado: Estado estacionário normalizável com probabilidade confinada e energia discreta no modelo especificado.

densidade de probabilidade radial: Probabilidade por distância radial, incluindo a medida de casca esférica após a integração angular.

O mesmo campo magnético requer rótulos quânticos diferentes quando sua escala de energia cruza a separação spin-órbita.

Pré-requisitos: 7, 37.

• Calcule os deslocamentos magnéticos orbitais e de spin no regime de acoplamento apropriado
• Encontre os deslocamentos de energia de fótons das mudanças permitidas entre níveis superior e inferior
• Contraste o cancelamento de paridade com a separação por campo elétrico degenerada

Um elétron possui momento magnético negativo: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ e μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. Com B ao longo do eixo z positivo, a interação −μ·B resulta em H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. Em uma base desacoplada com projeção orbital m_l e projeção de spin m_s=±1/2, o deslocamento é μ_B B(m_l+2m_s). Use esta regra desacoplada quando a interação magnética for grande em relação à separação relevante de spin-órbita, mas ainda pequena em relação às lacunas de energia orbital, para que efeitos diamagnéticos quadráticos e reestruturação orbital possam ser negligenciados. Grande e pequeno são comparações de energias, não limiares universais de Tesla. No regime de campo fraco oposto, m_l e m_s não são rótulos conservados independentemente para um autovetor acoplado LS.

Quando o acoplamento LS domina uma perturbação magnética fraca, J=L+S e m_J rotulam o multiplet. O desvio de primeira ordem é μ_B B g_J m_J, com g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] na aproximação g_s=2. L, S, J são números quânticos adimensionais aqui. Para L=1, S=1/2, J=3/2 dá g_J=4/3 e desvios −2,−2/3,+2/3,+2 vezes μ_B B. J=1/2 dá g_J=2/3 e desvios ±μ_B B/3. Não substitua J=0 na fórmula singular; um estado J=0 não tem desvio de projeção vetorial de primeira ordem. Campos intermediários exigem um Hamiltoniano acoplado em vez de misturar fórmulas de campo fraco e desacopladas.

A energia de um fóton é a energia atômica superior menos a inferior. Sua alteração induzida pelo campo é ΔE_γ=ΔE_superior−ΔE_inferior. Conte as transições permitidas usando as regras de seleção declaradas e os dois padrões de nível. Várias transições podem compartilhar uma frequência; o número de estados divididos não é automaticamente o número de linhas espectrais. Em um modelo orbital sem spin, um tripleto superior L=1 tem desvios m_l μ_B B com m_l=−1,0,+1, e um estado inferior L=0 tem desvio zero. Dipolo elétrico Δm_l=0,±1 permite três desvios de fóton −μ_B B,0,+μ_B B. Este modelo normal-triplet não descreve todos os átomos reais ou multipletes de estrutura fina. Polarização e direção de observação podem alterar quais componentes são detectados.

Em um campo elétrico uniforme F ao longo de z, a perturbação do elétron é +eFz para a convenção de potencial eletrostático declarada. Um autoestado de paridade não degenerado tem ⟨z⟩=0, logo seu desvio Stark diagonal de primeira ordem anula-se, embora um desvio quadrático possa permanecer. Estados de paridade oposta exatamente degenerados permitem um elemento matricial dipolar fora da diagonal. Em um modelo original de dois estados, suponha que a matriz dipolar seja [[0,d],[d,0]], com d real em unidades carga×comprimento. A perturbação F vezes esta matriz tem autovalores ±dF e superposições opostas dos dois estados. Mudar uma fase de base altera o sinal fora da diagonal, mas não a separação 2|dF|. Átomos realmente quase degenerados exigem comparação com estrutura fina e outras pequenas divisões antes de adotar uma aproximação de degenerescência exata; esta matriz fornecida não é um coeficiente universal do hidrogênio.

Em campos magnéticos de acoplamento LS fraco, o efeito Zeeman usa J, não ml e ms desacoplados.

Para L = 1, S = 1/2 e J = 3/2, $g_J=4/3$. Selecione o regime de campo antes de inserir números quânticos. Os desvios de fóton subtraem o desvio do nível inferior.

Declarar o regime de acoplamento, manter o sinal negativo do momento do elétron e subtrair os desvios do nível inferior. Valor esperado de dipolo diagonal nulo não exclui mistura degenerada ou desvios quadráticos.

Fator de Landé: Fator de projeção relacionando um desvio magnético de acoplamento LS de campo fraco a g_J m_J.

Divisão Stark: Separação induzida por campo elétrico de níveis de energia atômicos, controlada por simetria e degenerescência na ordem principal.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

Um voltímetro altera o circuito que mede; a leitura é uma saída de divisor, não a tensão em circuito aberto.

Pré-requisitos: 14, 21, 30.

• Calcular carga de medição por impedâncias finitas do medidor e da fonte
• Determinar ganho simples do amplificador e resposta de filtro de primeira ordem
• Interpretar eficiência do detector, resolução, tempo morto e viés de calibração

Modelar o circuito medido como uma fonte de Thevenin V_th com resistência R_th e o instrumento como resistência de entrada R_m. A leitura é V_th·R_m/(R_m+R_th), com o mesmo sinal que V_th e magnitude não superior a |V_th| para resistências positivas. Uma fonte de 10 V com R_th=100 kΩ lida por um medidor de 1 MΩ fornece 10×(1/1.1)=9.09 V, um viés baixo de 9%. Um probe de osciloscópio de 10× aumenta a resistência de entrada efetiva e divide o sinal em dez; cite ambos os efeitos.

Um estágio ideal de op-amp não inversor tem ganho 1+R2/R1; o estágio inversor tem −R2/R1, com o sinal explícito. Um RC passa-baixa de primeira ordem tem frequência de corte f_c=1/(2πRC); sua razão de amplitude é 1/sqrt(1+(f/f_c)²) e sua fase é −arctan(f/f_c). Em f=f_c a amplitude é $1/\sqrt{2}$ (o ponto de −3 dB), não metade. Para R=1 kΩ e C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

A eficiência do detector ε é eventos detectados divididos por eventos incidentes; a resolução energética é citada como FWHM/E, como 13.2 keV em uma linha de 662 keV, cerca de 2%. Um detector não paralisável com tempo morto τ registra m=n/(1+nτ) a partir da taxa real n; invertendo, obtém-se n=m/(1−mτ), o que falha quando mτ→1. Declare qual modelo de tempo morto você assume; o comportamento paralisante difere.

Uma calibração linear contra padrões conhecidos pode corrigir desvio e erro de escala; não remove ruído nem garante correção de não linearidade. Uma curva de calibração mapeia valores indicados para valores verdadeiros; interpolação entre pontos assume suavidade local. Relate resolução e eficiência separadamente: picos agudos com baixa eficiência ainda perdem eventos, e alta eficiência com baixa resolução ainda mistura linhas próximas.

Um voltímetro de resistência de entrada finita forma um divisor com a resistência da fonte.

Para um detector não paralisável com taxa observada m e tempo morto tau, Eficiência, tempo morto e resolução espectral são correções diferentes; uma não substitui as outras.

Tratar a frequência de corte $1/\sqrt{2}$ como metade, ignorando que um medidor finito lê baixo pelo divisor, ou aplicar a correção não paralisante além de seu intervalo.

tempo morto: O intervalo mínimo após um evento registrado durante o qual o detector não pode registrar outro.

impedância de entrada: A carga efetiva que um instrumento de medição apresenta ao circuito sob teste.

A photon beam has no definite range, yet a heavy charged particle does; shielding calculations fail if the two are swapped.

Prerequisites: 7, 17, 21.

• Distinguish charged-particle stopping and range from exponential photon attenuation
• Compute attenuated intensity and detected counts with stated coefficients
• Explain stimulated emission, population inversion 粒子数反转 and optical cavity resonance conditions

Heavy charged particles lose energy continuously through many small collisions, so they have an approximate range: under a constant-loss model a particle with initial energy E0 and loss rate dE/dx stops after E0/(dE/dx). Electrons straggle more and radiate. Photons instead interact in single events, so a narrow beam attenuates exponentially as I=I0 e^(−μx) with no definite maximum depth; the half-value layer 半值层 is ln2/μ.

Apply the exponential only to the stated narrow-beam geometry: μ=0.2 /cm gives a half-value layer of 3.47 cm and I/I0=e^(−2)≈0.135 after 10 cm. Multiply by detector efficiency for recorded counts: with μx=ln4 and ε=0.25 the recorded fraction is 0.25×1/4=1/16. Build-up from scattered photons makes broad-beam shielding transmit more than the narrow-beam exponential; state the geometry.

Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.

A linear cavity of length L supports standing modes with L=mλ/2, i.e. frequencies ν_m=mc/(2L) with spacing c/(2L): for L=30 cm the spacing is 500 MHz. Gain must exceed the round-trip losses for oscillation. Interferometers such as Michelson use the same coherence: fringe counts track optical path changes, as in the gas-cell measurement.

A narrow beam has attenuation $I=I_0e^{-\mu x}$ and half-value layer $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Three half-value layers transmit 1/8. This model excludes scattered build-up into the detector. For a linear vacuum laser cavity, adjacent longitudinal modes are separated by $c/(2L)$. Net stimulated gain requires $N_2/g_2>N_1/g_1$; the simpler $N_2>N_1$ assumes equal degeneracies.

Assigning photons a definite range or charged particles a single exponential law, and forgetting that equilibrium two-level populations cannot invert. Check which interaction model the beam species requires.

half-value layer: The material thickness that halves an exponentially attenuated beam, equal to ln2/μ.

population inversion: A non-equilibrium state with more population in the upper laser level than the lower, enabling net stimulated emission.

Rotacionar um cristal em um feixe de raios-X mapeia seus planos atômicos, pois a reflexão construtiva ocorre apenas em ângulos discretos.

Pré-requisitos: 8, 36.

• Aplicar a condição de Bragg para encontrar espaçamentos de plano ou ângulos de difração
• Estimar energia de Fermi e temperatura de Fermi de elétrons livres
• Distinguir contribuições da capacidade térmica eletrônica e reticular

A reflexão de Bragg em planos paralelos separados por d interfere construtivamente quando 2d sinθ=nλ, com θ medido a partir da superfície do plano (ângulo rasante), não da normal. Primeira ordem n=1 dá o menor ângulo. Para λ=0.154 nm e um pico em θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Se 2d<λ nenhuma ordem existe; o seno deve permanecer em ou abaixo de 1.

Em um cristal cúbico, o espaçamento do plano (hkl) é d=a/sqrt(h²+k²+l²) com constante de rede a; os planos (110) dão a/√2. Um ângulo de Bragg medido portanto mede a constante de rede. Absenções sistemáticas da base (por exemplo, em redes centradas no corpo ausentes h+k+l ímpar) carregam informações estruturais além da fórmula de espaçamento.

O modelo de elétrons livres empacota N elétrons de condução em estados até o vetor de onda de Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) para densidade numérica n, dando E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Para n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV e T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Como T_F excede muito a temperatura ambiente, apenas uma fração da ordem de T/T_F dos elétrons são termicamente excitados.

Metais têm portanto dois termos de capacidade térmica de baixa temperatura: um termo eletrônico γT linear em T e um termo reticular (Debye) βT³. Plotar C/T contra T² dá intercepto γ e inclinação β. À temperatura ambiente a parte reticular aproxima-se do valor clássico de Dulong–Petit e domina; o termo eletrônico importa em baixas T, onde o termo reticular T³ colapsa mais rápido.

A difração de Bragg usa o ângulo theta a partir do plano do cristal, não de sua normal.

A capacidade térmica do metal de baixa temperatura tem termos eletrônicos e reticulares separados: Um gráfico de C/T contra T quadrado tem intercepto gamma e inclinação beta. Uma linha reta identifica o regime deste modelo.

Medir θ a partir da normal ao plano em vez do plano, ou atribuir toda a capacidade térmica de baixa T aos elétrons. A condição de seno e a decomposição em dois termos são onde esses cálculos falham.

Condição de Bragg: Reflexão construtiva dos planos da rede quando 2d sinθ=nλ, com θ medido em relação ao plano.

Energia de Fermi: A maior energia eletrônica ocupada a temperatura zero no modelo de elétrons livres.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Writing the Laplacian of a radial function as f″ drops a term; the operator belongs to the coordinates, not the symbol.

Prerequisites: Algebra, differentiation and vector components.

• Use the divergence 散度 and Laplacian in the coordinate system selected by the symmetry
• Solve a simple separated boundary-value mode problem
• Check convergence, units and stability of an original numerical update

Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.

Separation of variables 分离变量法 turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

A spherical radial field has divergence

For $A_r=Cr$, it gives 3C, not C. Fixed string ends require $X(0)=X(L)=0$, hence $X_n=\sin(n\pi x/L)$ with positive integer n. Euler for $\dot y=-\lambda y$ gives $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. For positive h, bounded absolute stability permits $h\leq2/\lambda$; decay to zero requires the strict inequality $0<h<2/\lambda$. At the upper endpoint the numerical solution alternates without decay. Stability does not establish accuracy.

Applying the Cartesian Laplacian to a radial function, summing modes that violate the boundary conditions, or calling a bounded-looking run converged without refining the step. Match operator, boundaries and stability condition 稳定性条件 to the actual problem.

separation of variables: Solving a partial differential equation by writing the unknown as a product of single-variable factors.

stability condition: The step-size restriction that keeps a numerical recurrence from amplifying errors.