QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

Uma função de onda ligada pode se estender fora de um poço finito mesmo que a energia da partícula esteja abaixo do potencial externo.

Pré-requisitos: 5, 24, 37.

• Correspondência de estados de poço finito decrescentes e derivação de condições de quantização dependente de paridade
• Interpretação de raízes adimensionais de estados ligados e distinção entre confinamento e espalhamento
• Uso de números quânticos hidrogenoides, momento angular e medidas de probabilidade radial

Declarar um poço simétrico V=−V₀ para |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 e mesma massa em toda parte. Uma energia ligada situa-se entre −V₀ e zero. No interior, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ fornece soluções oscilatórias; no exterior, κ=√(−2mE)/$\hbar$ cauda decrescente. Rejeitar exponenciais crescentes para obter um estado normalizável. Simetria de reflexão permite estados cos(kx) pares ou sin(kx) ímpares no interior. Em fronteiras finitas sem interações delta, tanto ψ quanto ψ′ são contínuos. Correspondência par resulta em k tan(ka)=κ; correspondência ímpar resulta em −k cot(ka)=κ. Um poço finito não exige que ψ se anule em suas bordas como faz uma parede infinita.

Introduzir z=ka e ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Então κa=√(ρ²−z²) e 0<z<ρ. Resolver z tan z=√(ρ²−z²) para um estado par, ou −z cot z=√(ρ²−z²) para um ímpar, em intervalos com sinal apropriado e longe dos polos da tangente. A energia segue como E/V₀=z²/ρ²−1. Para ρ=1, a raiz fundamental situa-se em 0<z<1 e a equação par é equivalente lá a z=cos z. Bisseção ou um solucionador de raízes convergente fornece z≈0.739085 e E/V₀≈−0.453753. Como ρ<π/2, nenhum ramo de estado ligado ímpar se encaixa. Em uma dimensão, um poço quadrado atrativo possui um estado fundamental par ligado independentemente de quão raso seja; uma cauda limiar E=0 não é integrável ao quadrado.

Para um estado ligado par, escreva ψ=A cos(kx) no interior e ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] no exterior. A continuidade define a amplitude relativa da cauda; integre |ψ|² sobre o interior e as caudas para determinar A. A probabilidade fora do poço é não nula e depende de sua profundidade, largura e estado selecionado. Estados ligados possuem energias discretas e assintotas decrescentes normalizáveis. Um estado de espalhamento com E>0 tem ondas propagantes externas e é normalizado ou interpretado usando uma convenção de contínuo/fluxo. Uma cauda decrescente não é evidência de violação da conservação de energia, e a amplitude bruta da cauda não é a probabilidade externa até ser integrada e normalizada.

Para um íon coulombiano de um elétron com carga nuclear Ze, use o modelo de potencial central não relativístico e a aproximação de núcleo pesado, a menos que a massa reduzida seja especificada. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; os números orbitais permitidos são n≥1, l=0,…,n−1 e m_l=−l,…,l. L² tem autovalor l(l+1)$\hbar$² e L_z=m_l$\hbar$; o orbital fundamental 1s tem l=0, apesar da regra histórica de órbita circular de Bohr. A degeneração espacial em n fixo é Σ_l(2l+1)=n² antes das correções de spin e estrutura fina. Se ψ=R_nl(r)Y_lm com parte angular normalizada, a probabilidade radial em dr é r²|R|²dr, não apenas |R|²dr. Para o hidrogênio 1s, a densidade radial é 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: ela atinge o pico em r=a₀ e tem média 3a₀/2, enquanto a densidade pontual tridimensional é maior na origem. Distinga essas medidas antes de localizar um raio mais provável.

Um poço finito tem V = -V0 para $|x|<a$ e zero no exterior. Uma energia ligada está estritamente entre -V0 e zero. Defina

Paridade par fornece um cosseno interno e caudas decrescentes. O ajuste de valor e derivada em a resulta em Paridade ímpar, em vez disso, dá $-k\cot(ka)=\kappa$. Resolva apenas dentro dos intervalos de paridade válidos; uma raiz em um polo tangente não é um estado ligado.

Use o potencial zero declarado, combine ψ′ além de ψ, e inclua a medida de casca radial. Uma cauda ligada e uma onda viajante de continuum têm regimes de energia diferentes.

estado ligado: Estado estacionário normalizável com probabilidade confinada e energia discreta no modelo especificado.

densidade de probabilidade radial: Probabilidade por distância radial, incluindo a medida de casca esférica após a integração angular.