QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Dois elétrons podem compartilhar uma orbital espacial se seu estado completo espacial-más-spin tiver a antissimetria requerida.

Pré-requisitos: 5, 36.

• Construir estados espaciais de dois orbitais simétricos e antissimétricos normalizados
• Combinar simetria espacial e de spin para produzir estados permitidos de dois elétrons
• Contar ocupações de estado completo e interpretar correlações induzidas por troca

Para partículas idênticas, trocar todos os rótulos de coordenadas e spin altera uma função de onda total fermiónica por um sinal negativo e deixa uma bosônica inalterada. Espaços matemáticos 1 e 2 rotulam argumentos, não partículas permanentemente distinguíveis. Para duas orbitais ortonormais distintas a e b, combinações espaciais são Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Ortogonalidade torna essas combinações normalizadas e fornece autovalores de troca ±1. Se as duas orbitais forem idênticas, a combinação antissimétrica é identicamente zero e a fórmula simétrica exibida não está corretamente normalizada; o estado espacial de dupla ocupação é simplesmente a(1)a(2). Reavalia a normalização sempre que orbitais ou seus sobreposições mudarem.

Duas partículas de spin-1/2 possuem um singleto de spin (↑↓−↓↑)/√2 com spin total S=0; ele é antissimétrico sob troca. Os três triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 e ↓↓ têm S=1 e são simétricos. Elétrons exigem um estado total antissimétrico, então um estado espacial simétrico pareia com o singleto, enquanto um estado espacial antissimétrico pareia com um triplet. Dois elétrons na mesma orbital espacial podem formar o singleto, mas não podem formar um triplet ali neste estado simples de dois elétrons. A exclusão de Pauli impede a ocupação do mesmo estado único-particle completo, incluindo spin. Elétrons de spin oposto em uma orbital são dois estados completos diferentes; descrever a exclusão como um elétron por orbital descarta essa distinção.

Para duas orbitais espaciais a,b e dois estados de spin cada, há quatro estados únicos de partícula completa. Dois elétrons idênticos têm choose(4,2)=6 padrões de ocupação: dois singlets de dupla ocupação, um singleto de orbitais diferentes e três triplets de orbitais diferentes. Para três orbitais espaciais, há seis estados completos e choose(6,2)=15 padrões. Contar atribuições ordenadas superestima partículas idênticas. Bósons sem spin em duas orbitais têm em vez disso três ocupações: ambos em a, um em cada, ambos em b. Essas contagens assumem nenhuma restrição energética adicional e os estados únicos de partícula acessíveis declarados; restringir energia total ou projeção de spin muda o subconjunto permitido.

Um estado espacial antissimétrico satisfaz Ψ_−(x,x)=0, então sua densidade de posição conjunta anula-se na linha de coincidência. Um estado espacial simétrico não precisa anular-se ali. A diferença surge de interferência entre amplitudes trocadas, mesmo para partículas sem interação; não é uma força repulsiva clássica imposta separadamente. Para um poço de comprimento L, escolha a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Em x₁=L/4 e x₂=3L/4, a amplitude espacial antissimétrica é −2/L e sua densidade é 4/L²; a amplitude simétrica é zero. Estas são densidades de probabilidade conjuntas por duas comprimentos, não probabilidades adimensionais em pontos exatos. Compatibilidade física de spin ainda decide qual estado eletrônico total usa cada combinação espacial.

Para orbitais a e b ortogonais, os estados espaciais simétricos e antissimétricos são

O estado total de dois elétrons deve ser antissimétrico sob troca simultânea de posição e spin. Assim, o espaço simétrico acopla-se ao singleto de spin; o espaço antissimétrico acopla-se ao tripleto de spin. Se ambos os elétrons ocupam a, o produto espacial é simétrico e apenas o spin singleto é permitido. A fórmula de normalização para orbitais diferentes não pode ser simplesmente reutilizada para a = b.

Troque todos os argumentos espaciais e de spin. Não confunda espaço antissimétrico com estado total antissimétrico, nem use o fator √2 de orbital distinto para dois orbitais idênticos.

singleto de spin: Estado antissimétrico de dois-spins-1/2 com spin total S=0.

Determinante de Slater: Construção fermiónica antissimétrica a partir de estados de partícula única completos; estados duplicados fazem-na anular.