QM · Quantum mechanics and atomic physics

Uma partícula em uma caixa não pode ter energia cinética de estado fundamental zero. Seu confinamento altera quais estados são permitidos.

Pré-requisitos: 24, 37, 38, 39.

• Usar funções de onda, operadores e probabilidades de medição
• Resolver modelos padrão de estados ligados e raciocínio de tunelamento
• Aplicar momentos angulares, spin e princípios espectrais atômicos

A função de onda de um estado deve satisfazer as condições de contorno do modelo e ter probabilidade total igual a um: integre |ψ(x)|² sobre o domínio permitido. Para estados ortonormais φ_j, uma superposição ψ=Σc_jφ_j tem norma ao quadrado Σ|c_j|² porque os termos cruzados integram-se a zero. Assim, uma superposição igual de N estados ortonormais tem magnitude de coeficiente 1/sqrt(N). A probabilidade de encontrar uma componente de energia específica é |c_j|², não c_j. Fases relativas podem afetar probabilidades de posição mesmo quando as probabilidades de energia permanecem inalteradas.

Um observável é representado por um operador hermitiano. Seus autovalores são reais, e um estado normalizado fornece valor esperado ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. O valor esperado é uma média sobre repetições de preparação, não necessariamente o resultado de uma única medição. Se A satisfaz uma identidade polinomial, aplique-a a um autovetor: para A⁴=I, um autovalor real deve ser +1 ou −1. Uma raiz quarta complexa é excluída pela hermiticidade mesmo que resolva o polinômio.

Para um poço infinito 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permite modos senoidais sin(nπx/L), com n=1,2,… . Suas energias são E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), então o estado fundamental não é zero e dobrar L divide cada energia por quatro. A expressão equivalente em h é n²h²/(8mL²); nunca substitua h por $\hbar$ sem seu fator 2π. Uma barreira finita permite caudas exponenciais, e uma onda viajante em uma região classicamente permitida tem dependência espacial oscilatória em vez de decaimento exponencial.

Operadores comutam quando [A,B]=AB−BA=0; observáveis compatíveis podem ter uma base comum de autovetores. Como a energia cinética p²/(2m) é função de p, ela comuta com p. Um potencial dependente da posição geralmente faz H=p²/(2m)+V(x) não comutar com p. O momento angular obedece [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z e permutações cíclicas, enquanto J² comuta com cada componente. Transições atômicas trocam energia fotônica positiva igual à diferença de nível; momentos angulares e regras de seleção específicas do mecanismo restringem quais transições ocorrem.

Um poço infinito se estende de 0 até L. A função de onda nula em ambas as extremidades resulta em

Prepare $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. A ortogonalidade torna sua norma igual a um. Medições de energia resultam em E1 ou 4E1 com probabilidade igual: Essa média não é um resultado de energia único permitido. A fase relativa muda no tempo, portanto uma superposição de energias diferentes não é um estado estacionário.

Um estado estacionário pode ter energia diferente de zero, mesmo que sua densidade de probabilidade seja independente do tempo.

normalização: Tornar a probabilidade total igual a um.

operador: Uma ação matemática que representa um observável.