AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

Métodos energéticos conectam um oscilador de mola e uma órbita, mas suas coordenadas e suposições físicas diferem.

Pré-requisitos: 26, 41.

• Construa um hamiltoniano simples
• Use as equações canônicas
• Aplique o escalonamento gravitacional e radiativo

O momento canônico é p=∂L/∂qdot. A transformação de Legendre H=p qdot−L fornece um hamiltoniano quando as velocidades podem ser expressas em termos de coordenadas e momentos.

As equações de Hamilton são qdot=∂H/∂p e pdot=−∂H/∂q. Para um oscilador ordinário H=p²/(2m)+kq²/2, estas reproduzem a equação de Newton.

Para uma órbita gravitacional circular v²=GM/r e período²=4π²r³/(GM). As suposições incluem uma massa central dominante e uma aproximação circular; órbitas elípticas usam o semi-eixo maior na lei de Kepler. Para um satélite circular de massa m, o módulo do momento angular é mrv=m sqrt(GMr), então satélites idênticos têm L proporcional a sqrt(r). Uma razão de raios 9 resulta em uma razão de momento angular 3, enquanto a razão de períodos é 27. Essa distinção segue da mesma relação de força centrípeta; não use o escalonamento de períodos para momento angular.

Luminosidade e fluxo recebido seguem F=L/(4πd²) para radiação isotrópica. Um corpo negro tem L=4πR²σT⁴; seu pico espectral desloca-se inversamente com a temperatura. Distinga luminosidade intrínseca do brilho observado.

Para um lagrangiano regular $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, o momento canônico é

Substitua a velocidade na transformação de Legendre: A combinação disso resulta em $\ddot q=-(k/m)q$. A inversão do momento em velocidade é exigido; não pode ser assumido para todo Lagrangiano restrito ou singular.

O Hamiltoniano equivale à energia mecânica total apenas sob as suposições relevantes do sistema; não infira isso universalmente apenas pelo seu nome.

momento canônico: Derivada do Lagrangiano em relação a uma velocidade generalizada.

luminosidade: Potência total emitida, distinta do fluxo no observador.