RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

Uma partícula instável rápida pode percorrer mais distância no laboratório do que seu tempo de vida no repouso multiplicado pela velocidade sugeriria.

Pré-requisitos: 6, 42.

• Relacione a vida própria ao tempo e distância do laboratório
• Use energia-momento invariante e energia cinética relativística
• Inferir velocidade de recessão longitudinal a partir da razão de comprimentos de onda

Para velocidade relativa v, defina β=v/c e γ=1/sqrt(1−β²). O tempo próprio é medido ao longo da linha do mundo da partícula por um relógio em repouso com ela. Se seu tempo médio de vida próprio for τ0, seu tempo médio de vida no laboratório será γτ0 e a distância média percorrida será vγτ0 a velocidade constante. O decaimento é estatístico: o tempo médio não é uma garantia de tempo de decaimento para cada partícula. Em β=0.8, γ=5/3. Calcule eventos espacotemporais consistentemente em um único referencial; tempo próprio e tempo coordenado são quantidades diferentes.

Energia total é E=γmc², momento p=γmv e invariante E²−p²c²=m²c⁴. Quando E e pc são expressos nas mesmas unidades de energia, encontre mc²=sqrt(E²−(pc)²), não E−pc. A raiz quadrada não negativa é necessária para massa em repouso positiva. Para E=13 GeV e pc=12 GeV, a energia de repouso é 5 GeV e a massa é 5 GeV/c². Uma partícula sem massa tem E=pc, mas não precisa ter energia ou momento nulos. Essas relações referem-se ao quatro-momento de partículas isoladas, não à mv clássica em velocidade relativística.

O trabalho para acelerar uma partícula do repouso é igual à energia cinética K=E−mc²=(γ−1)mc². Em β=0.6, γ=1.25 e K=0.25mc², enquanto a cinética clássica ½mv² resulta em 0.18mc². A energia cinética clássica é a expansão de baixa velocidade e torna-se imprecisa perto de c. O trabalho de aceleração finita aumenta γ, impedindo que uma partícula massiva atinja ou exceda c. Mantenha energia total, energia de repouso e energia cinética distintas ao interpretar as unidades das respostas.

Para recessão longitudinal pura na relatividade especial, a razão de comprimentos de onda r=λ_observado/λ_emitido=sqrt((1+β)/(1−β)). Reorganizando, obtém-se β=(r²−1)/(r²+1). Uma razão r=2 resulta em β=3/5, não c vezes (r−1) baseado em aproximação de baixa velocidade. O desvio para o azul usa r<1 e um parâmetro de recessão negativo sob esta convenção. A fórmula assume que o deslocamento é inteiramente cinemático; expansão cosmológica ou desvio gravitacional para o vermelho exigem modelos diferentes. Declare o modelo estipulado pela questão antes de interpretar uma razão espectral.

Energia total e momento determinam a energia de repouso invariante.

Para E = 17 GeV e pc = 15 GeV, A massa de repouso é 8 GeV/c². Não subtraia o momento diretamente da energia.

Não use o tempo próprio como tempo do laboratório, subtraia pc de E para encontrar a massa de repouso ou aplique a aproximação Doppler clássica para uma grande razão de comprimentos de onda.

tempo próprio: Tempo registrado por um relógio movendo-se com o objeto ao longo de sua linha do mundo.

energia de repouso: Energia mc² associada à massa de repouso de um objeto.