SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

Rotacionar um cristal em um feixe de raios-X mapeia seus planos atômicos, pois a reflexão construtiva ocorre apenas em ângulos discretos.

Pré-requisitos: 8, 36.

• Aplicar a condição de Bragg para encontrar espaçamentos de plano ou ângulos de difração
• Estimar energia de Fermi e temperatura de Fermi de elétrons livres
• Distinguir contribuições da capacidade térmica eletrônica e reticular

A reflexão de Bragg em planos paralelos separados por d interfere construtivamente quando 2d sinθ=nλ, com θ medido a partir da superfície do plano (ângulo rasante), não da normal. Primeira ordem n=1 dá o menor ângulo. Para λ=0.154 nm e um pico em θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Se 2d<λ nenhuma ordem existe; o seno deve permanecer em ou abaixo de 1.

Em um cristal cúbico, o espaçamento do plano (hkl) é d=a/sqrt(h²+k²+l²) com constante de rede a; os planos (110) dão a/√2. Um ângulo de Bragg medido portanto mede a constante de rede. Absenções sistemáticas da base (por exemplo, em redes centradas no corpo ausentes h+k+l ímpar) carregam informações estruturais além da fórmula de espaçamento.

O modelo de elétrons livres empacota N elétrons de condução em estados até o vetor de onda de Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) para densidade numérica n, dando E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Para n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV e T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Como T_F excede muito a temperatura ambiente, apenas uma fração da ordem de T/T_F dos elétrons são termicamente excitados.

Metais têm portanto dois termos de capacidade térmica de baixa temperatura: um termo eletrônico γT linear em T e um termo reticular (Debye) βT³. Plotar C/T contra T² dá intercepto γ e inclinação β. À temperatura ambiente a parte reticular aproxima-se do valor clássico de Dulong–Petit e domina; o termo eletrônico importa em baixas T, onde o termo reticular T³ colapsa mais rápido.

A difração de Bragg usa o ângulo theta a partir do plano do cristal, não de sua normal.

A capacidade térmica do metal de baixa temperatura tem termos eletrônicos e reticulares separados: Um gráfico de C/T contra T quadrado tem intercepto gamma e inclinação beta. Uma linha reta identifica o regime deste modelo.

Medir θ a partir da normal ao plano em vez do plano, ou atribuir toda a capacidade térmica de baixa T aos elétrons. A condição de seno e a decomposição em dois termos são onde esses cálculos falham.

Condição de Bragg: Reflexão construtiva dos planos da rede quando 2d sinθ=nλ, com θ medido em relação ao plano.

Energia de Fermi: A maior energia eletrônica ocupada a temperatura zero no modelo de elétrons livres.