GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

Planet mengalami percepatan bahkan ketika kecepatannya konstan: kecepatan mencakup arah.

Prasyarat: 47.

• Terapkan deskripsi Newtonian, Lagrangian dan Hamiltonian
• Analisis rotasi, gaya sentral dan osilasi
• Gunakan hukum kekekalan beserta kondisinya

Hukum kedua Newton adalah pernyataan vektor. Pilih koordinat dan identifikasi batasan sebelum komponen.

Kekekalan energi berlaku ketika kerja dari gaya nonkonservatif diperhitungkan; kekekalan momentum memerlukan impuls eksternal bersih nol.

Untuk osilasi kecil, linierkan di sekitar kesetimbangan stabil. Suku pemulihan yang berbanding lurus dengan perpindahan menghasilkan gerak harmonik.

Persamaan Lagrange menggunakan L=T−V dan koordinat umum. Formalisme tingkat sarjana ini berbeda dengan substitusi gaya pada jenjang sekolah.

Pilih kerangka inersia dan koordinat x yang diukur dari kesetimbangan pegas. Untuk pegas konservatif, Lagrangian menghindari penyelesaian gaya batasan.

Dengan m = 2.0 kg dan k = 18 N/m, Kekakuan positif memberikan gerakan stabil. Satuan k/m adalah per detik kuadrat.

Kekekalan energi kinetik tidak berlaku dalam setiap tumbukan, bahkan ketika momentum kekal.

Lagrangian: Energi kinetik dikurangi energi potensial untuk sistem mekanika standar.

momentum sudut: Momen momentum linear terhadap suatu titik acuan.

Potensial listrik nol pada suatu titik tidak berarti medan listrik di sana juga nol.

Prasyarat: 13, 14, 15, 29, 30.

• Gunakan potensial elektrostatik, medan, dan hukum Gauss
• Analisis rangkaian, magnetisme, dan induksi
• Terapkan persamaan Maxwell dan hubungan gelombang elektromagnetik

Medan listrik adalah negatif gradien dari potensial. Nilai dan perubahan spasial merupakan besaran yang berbeda.

Gunakan hukum Gauss dengan simetri. Fluks total yang diketahui saja tidak memberikan medan pada setiap titik permukaan.

Hukum Kirchhoff melacak muatan dan energi dalam rangkaian. Ggl induced mengikuti perubahan fluks magnetik dengan tanda hukum Lenz.

Persamaan Maxwell menghubungkan medan listrik dan magnetik. Dalam vakum, gelombang memiliki E/B=c dan membawa energi.

Cangkang bola memiliki jari-jari R dan muatan Q seragam. Pilih potensial nol di tak hingga. Simetri bola memungkinkan hukum Gauss menentukan medan di luar.

Di dalam, muatan yang terkurung adalah nol dan simetri memberikan E = 0. Kontinuitas memberikan Potensialnya nonzero dan konstan di dalam. Gradien nol, bukan nilai nol, menghasilkan medan nol. Medan radial melompat di permukaan bermuatan.

Jangan gunakan hukum Gauss untuk mengklaim medan seragam pada permukaan sembarang yang tidak simetris.

fluks: Integral permukaan dari komponen normal sebuah medan.

potensial: Energi potensial per satuan muatan.

Dua gelombang yang terang secara individual dapat saling meniadakan di suatu titik jika fase mereka berlawanan.

Prasyarat: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analisis superposisi dan interferensi gelombang
• Gunakan difraksi, polarisasi, dan pencitraan optik
• Hubungkan fase, frekuensi, dan dispersi

Jumlahkan amplitudo gelombang, lalu hitung intensitasnya. Intensitas sebanding dengan kuadrat amplitudo untuk medium yang sama.

Selisih lintasan menghasilkan selisih fase 2πΔ/λ. Sumber koheren memerlukan fase relatif yang stabil.

Untuk celah tunggal, minimum memenuhi a sin θ=mλ untuk bilangan bulat m nonzero. Celah ganda memiliki kondisi interferensi yang berbeda.

Optik geometri memerlukan konvensi tanda yang ditetapkan. Efek gelombang penting ketika aperture sebanding dengan panjang gelombang.

Gelombang koheren memiliki selisih fase yang stabil. Jumlahkan amplitudo sebelum dikuadratkan.

Untuk intensitas individu yang sama I0 dan selisih lintasan seperempat panjang gelombang, Ini bukan maksimum maupun minimum. Fase relatif acak menghilangkan suku silang dalam rata-rata waktu yang lama; koherensi stabil adalah kondisi fisik, bukan konvensi gambar.

Maksimum celah tunggal pusat tidak diperoleh dengan menetapkan m=0 dalam kondisi minimum.

koherensi: Hubungan fase yang stabil antar gelombang.

difraksi: Penyebaran gelombang dan interferensi yang disebabkan oleh aperture atau penghalang.

Dua mesin dapat mematuhi kekekalan energi, namun hanya satu yang mematuhi batas entropi pada efisiensi.

Prasyarat: 19, 20, 34, 35, 36.

• Terapkan hukum pertama dan kedua dengan konvensi tanda
• Hubungkan ensemble, faktor Boltzmann, dan entropi
• Analisis gas ideal, mesin kalor, dan statistik kuantum

Nyatakan konvensi tanda hukum pertama: ΔU=Q−W ketika W adalah usaha yang dilakukan oleh sistem.

Untuk mesin reversibel antara reservoir, efisiensi dibatasi oleh 1−Tc/Th menggunakan suhu mutlak.

Bobot Boltzmann adalah exp(−E/kT). Probabilitas memerlukan pembagian dengan fungsi partisi.

Bedakan asumsi Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein, dan Fermi–Dirac. Fermion tidak dapat menempati keadaan satu-partikel yang identik.

Gunakan usaha W yang dilakukan oleh gas sebagai positif. Hukum pertama adalah

Untuk ekspansi isothermal reversibel gas ideal, U hanya bergantung pada T, sehingga Untuk n = 0.50 mol, T = 300 K, dan volume digandakan, Gas berekspansi dan menerima panas. Reservoir kehilangan entropi yang sama dalam batas reversibel ini.

Rasio suhu Celsius tidak dapat digunakan dalam rumus efisiensi Carnot.

entropi: Besaran keadaan yang terhubung dengan multipisitas dan perpindahan panas reversibel.

fungsi partisi: Jumlah bobot statistik yang digunakan untuk menormalisasi probabilitas.

Partikel dalam kotak tidak dapat memiliki energi kinetik keadaan dasar nol. Pengurungannya mengubah keadaan apa yang diizinkan.

Prasyarat: 24, 37, 38, 39.

• Gunakan fungsi gelombang, operator, dan probabilitas pengukuran
• Selesaikan model keadaan terikat standar dan penalaran terowongan
• Terapkan prinsip momentum sudut, spin, dan spektrum atom

Fungsi gelombang keadaan harus memenuhi syarat batas model dan memiliki total probabilitas satu: integralkan |ψ(x)|² di seluruh domain yang diperbolehkan. Untuk keadaan ortonormal φ_j, superposisi ψ=Σc_jφ_j memiliki norma kuadrat Σ|c_j|² karena suku silang terintegrasi menjadi nol. Dengan demikian, superposisi sama dari N keadaan ortonormal memiliki besaran koefisien 1/sqrt(N). Probabilitas menemukan energi konstituen tertentu adalah |c_j|², bukan c_j. Fase relatif dapat memengaruhi probabilitas posisi meskipun probabilitas energi tidak berubah.

Observabel direpresentasikan oleh operator Hermitian. Nilai eigennya real, dan keadaan ternormalisasi memberikan nilai harapan ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. Nilai harapan adalah rata-rata atas persiapan berulang, bukan necessarily hasil dari satu pengukuran. Jika A memenuhi identitas polinomial, terapkan pada keadaan eigen: untuk A⁴=I, nilai eigen real harus +1 atau −1. Akar keempat kompleks dikecualikan oleh Hermitisitas meskipun menyelesaikan polinomial tersebut.

Untuk sumur tak hingga 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 mengizinkan modus sinus sin(nπx/L), dengan n=1,2,… . Energinya adalah E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), sehingga keadaan dasar tidak nol dan menggandakan L membagi setiap energi dengan empat. Ekspresi h ekuivalen adalah n²h²/(8mL²); jangan pernah mensubstitusi h untuk $\hbar$ tanpa faktor π-nya 2. Penghalang terbatas sebaliknya memungkinkan ekor eksponensial, dan gelombang merambat di daerah yang secara klasik diperbolehkan memiliki ketergantungan spasial osilatorik daripada meluruh secara eksponensial.

Operator berkomutasi ketika [A,B]=AB−BA=0; observabel kompatibel dapat memiliki basis eigen bersama. Karena energi kinetik p²/(2m) merupakan fungsi dari p, ia berkomutasi dengan p. Potensial yang bergantung pada posisi umumnya membuat H=p²/(2m)+V(x) gagal berkomutasi dengan p. Momentum sudut mematuhi [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z dan permutasi siklik, sementara J² berkomutasi dengan setiap komponennya. Transisi atomik menukar energi foton positif yang sama dengan perbedaan tingkat; aturan seleksi spesifik sudut momentum dan mekanisme membatasi transisi mana yang terjadi.

Sumur tak hingga membentang dari 0 ke L. Fungsi gelombang yang hilang di kedua ujung memberikan

Siapkan $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Ortogonalitas membuat normanya satu. Pengukuran energi menghasilkan E1 atau 4E1 dengan probabilitas sama: Rata-rata ini bukanlah hasil energi tunggal yang diperbolehkan. Fase relatif berubah seiring waktu, sehingga superposisi energi berbeda bukanlah keadaan stasioner.

Keadaan stasioner dapat memiliki energi nonzero meskipun kerapatan probabilitasnya tidak bergantung waktu.

normalisasi: Membuat total probabilitas sama dengan satu.

operator: Aksi matematika yang merepresentasikan observabel.

Instrumen presisi dapat memberikan hasil yang konsisten salah ketika kalibrasinya bergeser.

Prasyarat: 21, 22, 42, 43, 44.

• Terapkan hubungan energi relativistik khusus dan ruang-waktu
• Propagasi ketidakpastian pengukuran dan analisis data eksperimen
• Kenali konsep nuklir, partikel, materi terkondensasi, dan astrofisika

Relativitas khusus menggunakan γ=1/sqrt(1−v²/c²). Energi diam adalah mc² dan energi total adalah γmc².

Untuk ketidakpastian kecil yang independen, gabungkan kontribusi secara kuadratur; ketidakpastian berkorelasi memerlukan suku kovarians.

Penyebaran acak mempengaruhi presisi; bias kalibrasi mempengaruhi akurasi. Plot log dapat mengungkap hukum pangkat.

Soal fisika nuklir, partikel, materi terkondensasi, dan astrofisika memerlukan kosakata dan model tingkat sarjana. Fisika sekolah saja bukan merupakan kursus persiapan yang lengkap.

Waktuproper diukur antara peristiwa pada satu posisi dalam kerangka acuan. Untuk kecepatan partikel 0.60c,

Jika waktu hidup proper rata-ratanya adalah 4.0 mikrosekon, Waktu hidup adalah rata-rata dari distribusi; hal itu tidak memprediksi waktu peluruhan individu.

Menambahkan ketidakpastian persentase secara linear memberikan batas kasus terburuk, bukan ketidakpastian standar statistik independen.

presisi: Kedekatan pengukuran berulang terhadap satu sama lain.

kovarians: Ukuran variasi bersama yang digunakan untuk ketidakpastian berkorelasi.

Tidak setiap perbedaan energi menghasilkan garis dipol listrik yang kuat.

Prasyarat: 23, 40, 41.

• Hubungkan energi atom dengan garis spektral
• Terapkan bilangan kuantum momentum sudut
• Bedakan transisi dipol listrik yang diizinkan dan terlarang

Untuk ion satu-elektron seperti hidrogen, energi terikat berskala sebagai −13.6 Z²/n² eV dalam model non-relativistik sederhana. Emisi memerlukan transisi ke bawah dan energi foton positif.

Momentum sudut orbital memiliki l=0,…,n−1 dan m_l=−l,…,l. Spin elektron menambahkan s=1/2; momentum sudut total menggabungkan kontribusi orbital dan spin.

Aturan seleksi electric-dipole mencakup Δl=±1 dan Δm=0,±1. Aturan-aturan ini berkaitan dengan mekanisme transisi tertentu; dilarang tidak berarti mustahil oleh setiap mekanisme.

Struktur halus, efek spin–orbit dan belahan Zeeman memurnikan gambaran hidrogen paling sederhana. Pada atom banyak-elektron, pelindung dan interaksi elektron membatalkan substitusi energi hidrogen langsung.

Untuk ion satu-elektron non-relativistik, mengabaikan struktur halus,

Untuk Z = 2, emisi dari n = 3 ke n = 2 menghasilkan energi foton positif: Perbedaan energi saja tidak menjamin transisi electric-dipole; keadaan orbital yang terlibat harus memenuhi aturan seleksi.

Jangan buat energi keadaan akhir dikurangi energi keadaan awal menjadi negatif untuk foton yang dipancarkan.

aturan seleksi: Pembatasan pada transisi untuk mekanisme interaksi yang ditentukan.

belahan Zeeman: Belahan tingkat energi atom oleh medan magnet.

A semiconductor’s conductivity depends on available states and carriers, not merely on the number of electrons in the material.

Prerequisites: 25, 45, 46.

• Use band and carrier descriptions
• Apply radioactive decay and binding-energy ideas
• Check conservation laws in particle reactions

Filled bands cannot carry ordinary current without accessible nearby states. Metals have partially filled or overlapping bands; semiconductors have a small band gap 带隙. Donor and acceptor doping change carrier populations.

Fermi–Dirac occupancy is 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. At zero temperature it becomes a step at the Fermi energy; thermal broadening does not make every state half occupied.

Radioactive populations obey N=N0e^(−λt), activity λN and half-life 半衰期 ln2/λ. Binding energy 结合能 comes from a mass deficit multiplied by c²; compare binding energy per nucleon when discussing stability.

Nuclear and particle processes must conserve charge, energy, momentum and the applicable quantum numbers. Beta decay includes a neutrino or antineutrino; a two-body electron-only story cannot explain its continuous energy spectrum.

Binding energy is the positive energy required to separate a nucleus into free nucleons. For a reaction use total initial and final rest masses, with a consistent mass convention.

A mass decrease of 0.0040 atomic mass units gives Positive Q means energy release. Charge, nucleon number, energy and momentum must still balance; Q alone does not establish a reaction rate.

Activity and surviving population both decay, but their units differ: activity is transitions per second.

band gap: An energy interval with no allowed bulk electronic states in the band model.

half-life: Time for a radioactive population to halve.

Metode energi menghubungkan osilator pegas dan orbit, namun koordinat dan asumsi fisiknya berbeda.

Prasyarat: 26, 41.

• Membangun Hamiltonian sederhana
• Menggunakan persamaan kanonik
• Menerapkan penskalaan gravitasi dan radiatif

Momentum kanonik adalah p=∂L/∂qdot. Transformasi Legendre H=p qdot−L menghasilkan Hamiltonian ketika kecepatan dapat dinyatakan menggunakan koordinat dan momentum.

Persamaan Hamilton adalah qdot=∂H/∂p dan pdot=−∂H/∂q. Untuk osilator biasa H=p²/(2m)+kq²/2, persamaan ini mereproduksi hukum Newton.

Untuk orbit gravitasi melingkar v²=GM/r dan periode²=4π²r³/(GM). Asumsi mencakup massa pusat dominan dan pendekatan lingkaran; orbit elips menggunakan sumbu mayor dalam hukum Kepler. Untuk satelit bermassa m dengan orbit melingkar, besaran momentum sudut adalah mrv=m sqrt(GMr), sehingga satelit identik memiliki L berbanding lurus dengan sqrt(r). Rasio jari-jari 9 memberikan rasio momentum sudut 3, sementara rasio periode adalah 27. Perbedaan ini berasal dari hubungan gaya sentripetal yang sama; jangan gunakan penskalaan periode untuk momentum sudut.

Luminositas dan fluks yang diterima mengikuti F=L/(4πd²) untuk radiasi isotropik. Benda hitam memiliki L=4πR²σT⁴; puncaknya bergeser secara invers terhadap suhu. Bedakan luminositas intrinsik dari kecerahan yang diamati.

Untuk Lagrangian reguler $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, momentum kanonik adalah

Substitusikan kecepatan ke dalam transformasi Legendre: Menggabungkan keduanya menghasilkan $\ddot q=-(k/m)q$. Inversi momentum terhadap kecepatan diperlukan; hal ini tidak dapat diasumsikan untuk setiap Lagrangian yang terkendala atau singular.

Hamiltonian sama dengan total energi mekanik hanya di bawah asumsi sistem yang relevan; jangan menyimpulkan hal ini secara universal semata-mata berdasarkan namanya.

momentum kanonik: Turunan Lagrangian terhadap kecepatan umum.

luminositas: Total daya yang dipancarkan, berbeda dengan fluks pada pengamat.

Dua gerbong.ActionListener dari arah berbeda. Setelah mereka menyatu, momentumnya dapat kekal sementara energi kinetiknya turun.

Prasyarat: 1.

• Hitung vektor momentum dan kehilangan energi dalam tumbukan menyatu
• Bandingkan pegas gaya tetap dan gunakan kondisi usaha–energi
• Turunkan periode osilasi kecil dan energi osilator

Pilih sistem terisolasi selama tumbukan singkat. Dengan impuls eksternal yang dapat diabaikan, kekalkan total momentum secara terpisah di setiap arah Kartesius. Jika massa m1 dan m2 menyatu, kecepatan bersama mereka adalah (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Temukan besarannya hanya setelah menjumlahkan vektor. Energi kinetik awal adalah jumlah dari masing-masing ½m|v|²; energi kinetik akhir menggunakan massa total dan kecepatan bersama. Selisihnya menjadi energi internal atau deformasi, bukan momentum yang hilang. Tumbukan benar-benar tak lenting berarti menyatu, bukan berhenti di akhir.

Teorema usaha–energi ΔK=∫F·dr menggunakan gaya total sepanjang perpindahan. Untuk gaya konstan sejajar dengan jarak s, ΔK=Fs. Peningkatan kecepatan dua kali lipat mengkuadratkan energi kinetik. Kekal energi mekanik adalah pernyataan terpisah yang tidak memerlukan kerja nonkonservatif yang tidak tercatat. Pada simpangan pegas x, U=½kx². Di bawah gaya F yang diterapkan sama, perpanjangan kesetimbangan adalah F/k dan energi tersimpan adalah F²/(2k): pegas lebih kaku meregang lebih sedikit dan menyimpan energi lebih sedikit. Di bawah perpanjangan yang sama, pegas tersebut menyimpan lebih banyak energi. Identifikasi kondisi mana yang dijaga tetap.

Di dekat kesetimbangan stabil x0, ekspansi U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; kekakuan efektif adalah positif U″(x0). Pergerakan mengikuti m xddot=−k_eff(x−x0), dengan ω=sqrt(k_eff/m) dan periode 2π/ω. Ayunan sederhana mengikuti θddot+(g/L)sinθ=0. Untuk sudut kecil sinθ≈θ, sehingga T=2πsqrt(L/g). Pendekatan ini menjelaskan penskalaan periode–panjang; amplitudo besar memerlukan koreksi, dan massa saling menghilangkan untuk ayunan ideal.

Untuk osilator harmonik tanpa redaman, total energi adalah ½m v²+½kx²=½kA². Di kesetimbangan seluruh energinya adalah kinetik; di titik balik kecepatannya nol dan seluruh energinya adalah potensial. Frekuensi sudut bukan frekuensi biasa: ω=2πf. Jika osilator yang sama memiliki kecepatan kesetimbangan vmax, A=vmax/ω. Bedakan momen saat kecepatan diukur dari simpangan pelepasan, dan jaga satuan SI ketika jawaban milijoule diminta.

Dua gerbong menyatu dengan impuls eksternal yang dapat diabaikan. Jumlahkan vektor momentum, lalu bagi dengan massa total. Diketahui: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

Perbedaan 6 J menjadi energi internal. Energi kinetik tidak kekal dalam tumbukan menyatu.

Jangan tambahkan besaran kecepatan datang sebagai momentum, atau kekalkan energi kinetik dalam tabrakan lengket. Perbandingan pegas gaya tetap dan ekstensi tetap memiliki jawaban yang berlawanan.

impuls eksternal: Integral waktu dari gaya total yang berasal dari luar sistem yang dipilih.

titik balik: Posisi ekstrem osilator di mana kecepatannya sesaat bernilai nol.

Turning a floating block upside down can change how much wood is submerged even though the total weight stays the same.

Prerequisites: 10.

• Use pivot torque and rotational inertia consistently
• Partition rolling kinetic energy with the no-slip constraint 无滑动约束
• Balance buoyancy and drag for composite bodies

Torque about a fixed pivot is r×F; its magnitude uses the perpendicular lever arm. For a uniform rod of length L pivoted at one end, gravity acts at its centre L/2 and the moment of inertia 转动惯量 is ML²/3. If its angle θ is measured from vertical, gravitational torque magnitude is Mg(L/2)sinθ, so angular-acceleration magnitude is 3g sinθ/(2L). Define the positive rotation direction before assigning a sign. Using the centre-of-mass inertia ML²/12 without the parallel-axis correction gives a wrong acceleration.

An object rolling without slipping satisfies v=Rω. Write total kinetic energy as ½Mv²+½Iω². With I=βMR², the rotational fraction is β/(1+β); for a solid disk β=1/2 and the fraction is 1/3. A hoop has β=1 and fraction 1/2. Static friction can supply the torque required for rolling without dissipating energy at an instantaneously stationary contact on a fixed surface. A sliding object does not satisfy the no-slip relation automatically.

For a floating composite, buoyancy equals the weight of displaced fluid, summed over every submerged part. Let a wood block have volume V and a dense stone volume Vs. If the stone is above the water, only submerged wood contributes: ρwater g fV equals total weight. If the stone is attached below and fully submerged, its displaced volume reduces the wood’s required submerged fraction to f−Vs/V. The stone does not cease to weigh anything; the water now supplies some of its support. Check whether the assumed orientation and flotation are physically possible.

Terminal speed 终端速度 means zero acceleration, not zero speed or zero force. With quadratic drag C v² and a downward weight Mg, neglecting buoyancy gives vt=sqrt(Mg/C). Two otherwise identical balls share the drag coefficient C; doubling mass then multiplies terminal speed by sqrt(2). If buoyancy matters, replace Mg by (M−ρfluid V)g. A linear-drag model instead gives a different mass scaling. State the specified drag law and compare force balances, rather than transferring a formula between models.

A body rolls without slipping on a fixed surface. The no-slip constraint is v = R omega.

For a solid disk, beta = 1/2, so the rotational share is For a uniform rod pivoted at one end, use $I=ML^2/3$, not its centre-of-mass inertia. About this pivot $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, for theta measured from downward vertical.

Use the inertia about the chosen pivot. In flotation, include the stone’s displaced volume as well as its weight. Terminal speed requires a specified drag law.

moment of inertia: Mass-weighted squared perpendicular distance from a specified rotation axis.

terminal speed: Steady speed at which opposing forces balance.

A load released from an aircraft keeps the aircraft’s horizontal velocity. Relative to the aircraft, its initial motion can therefore be purely downward.

Prerequisites: 1, 11.

• Solve coupled-body equations using one acceleration constraint 约束
• Transform velocities between inertial frames
• Check force and energy limits for constrained motion

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

The common tension assumption requires an ideal massless string and pulley with negligible friction and inertia. A pulley with rotational inertia can have different tensions, with (T2−T1)R=Iα and a=Rα if the string does not slip. Draw each body separately: a force internal to the combined system remains an external force on one chosen body. Constraint forces can cancel from a system equation while still being needed for individual motion.

For two inertial frames with constant relative velocity 相对速度 V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Check limiting cases after solving. As m1 approaches zero, the ideal coupled acceleration approaches g and tension approaches zero; as m1 grows very large, acceleration approaches zero and tension approaches m2g from below. An energy derivation gives m2g s=½(m1+m2)v² for release from rest and an ideal pulley, agreeing with v²=2as. This agreement checks the equations; it does not permit energy conservation if friction or other unaccounted work is present.

A table mass m1 and hanging mass m2 share an acceleration through a taut ideal string. Choose rightward table motion and downward hanging motion positive.

T is less than the hanging weight 20 N. A nonzero net downward force is needed for acceleration.

A massless ideal pulley equates tension, not tension and weight. Subtract frame velocities component by component before taking a speed magnitude.

constraint: A condition linking allowed positions or motions of connected bodies.

relative velocity: Velocity of one object measured in another moving frame.

Konduktor bermuatan dapat memiliki medan listrik nol di dalam materialnya, sementara potensialnya tetap tidak nol.

Prasyarat: 2, 47.

• Tambahkan gaya Coulomb sebagai vektor menggunakan geometri yang sebenarnya
• Hitung fluks dari simetri atau sudut ruang dengan orientasi yang dinyatakan
• Temukan medan dan potensial konduktor menggunakan muatan permukaan yang terinduksi

Untuk muatan titik Q pada posisi r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Superposisikan vektor, bukan besaran medan. Untuk dua muatan positif yang menarik elektron, gaya searah dijumlahkan; berlawanan arah dikurangkan; komponen tegak lurus digabungkan melalui Pythagoras. Tentukan titik pengamatan dan arah setiap gaya terlebih dahulu. Potensial adalah jumlah skalar V=ΣQ/(4πε0r) dengan nol di tak hingga. Potensial nol tidak selalu berarti medan nol, karena E=−∇V.

Hukum Gauss adalah integral permukaan tertutup ∮E·dA=Q_dikelilingi/ε0. Hukum ini menentukan medan lokal secara sederhana hanya ketika simetri membuat medan normal seragam atau membuat kontribusi fluks lain menjadi nol. Muatan dekat bidang tak hingga mengirimkan setengah total fluksnya melalui bidang tersebut: bidang tersebut membentuk sudut ruang 2π dari 4π. Hasilnya independen terhadap jarak dan posisi lateral, namun tandanya bergantung pada normal bidang yang dipilih dan tanda muatan. Bidang terbuka tidak mengelilingi muatan; menggunakan ungkapan permukaan tertutup untuknya adalah salah.

Dalam kesetimbangan elektrostatis, medan listrik di dalam material konduktor adalah nol dan konduktor memiliki potensial konstan. Tempatkan muatan Q di pusat kulit bola konduktor dengan jari-jari dalam a, jari-jari luar b, dan muatan bersih q. Permukaan Gaussian di dalam material memerlukan muatan permukaan dalam −Q, sehingga permukaan luar memiliki q+Q. Simetri球形 membuat medan eksternal setara dengan total Q+q di pusat. Potensial material, nol di tak hingga, adalah (Q+q)/(4πε0b), independen terhadap jari-jari pengamatan material.

Di dalam rongga kulit bola bermuatan pusat itu, medannya adalah Q/(4πε0r²) radial untuk 0<r<a. Potensial mencakup kontribusi muatan titik dan kontribusi konstanta kulit; kontinuitas berlaku melintasi setiap permukaan meskipun medan normal melompat pada muatan permukaan. Pisahkan rongga, material konduktor, dan bagian luar. Muatan yang tidak berada di pusat masih menginduksi total muatan dalam −Q, tetapi medan rongganya tidak lagi merupakan medan radial pusat yang sederhana. Medan konduktor interior nol mengikuti kesetimbangan, bukan asumsi bahwa distribusi muatan permukaan mana pun seragam.

Muatan titik Q yang berada di tengah terletak di dalam kulit bola konduktor dengan muatan bersih q. Kesetimbangan elektrostatis membuat medan nol di dalam logam. Permukaan Gaussian di dalam logam mengelilingi nol muatan bersih, sehingga $Q_{inner}=-Q$. Konservasi muatan memberikan $Q_{outer}=q+Q$. Dengan jari-jari luar b dan potensial nol di tak hingga,

Di sini Q = +2 nC dan q = -1 nC. Rongga bukan material konduktor; medannya tidak harus vanish.

Jangan tertukar antara hasil fluks setengah bidang terbuka dengan muatan yang dibungkus. Medan nol konduktor menetapkan potensial konstan, bukan necessarily potensial nol.

sudut ruang: Luas sudut yang dibentangkan oleh suatu permukaan, diukur dalam steradian.

muatan permukaan terinduksi: Muatan yang tersusun ulang pada konduktor untuk memenuhi kesetimbangan elektrostatis.

Resistor dalam cabang paralel mengalami tegangan cabang, yang dapat berbeda dari tegangan baterai karena ada resistor lain yang seri.

Prasyarat: 2, 30.

• Selesaikan jaringan resistor dan bedakan besaran AC rms dari puncak
• Terapkan fluks yang dikaitkan, arah Lenz, dan medan loop arus
• Gunakan rasio muatan-terhadap-massa dan keseimbangan gaya medan silang

Untuk rangkaian resistor ideal stasioner, resistansi seri dijumlahkan dan konduktansi paralel dijumlahkan. Sederhanakan jaringan sambil mempertahankan node mana yang memiliki tegangan sama. Dengan sumber 24 V, resistor seri 2 Ω, dan cabang paralel 3 Ω serta 6 Ω, ekuivalen paralel adalah 2 Ω. Arus total adalah 6 A, tegangan cabang adalah 12 V, dan arus cabang adalah 4 A dan 2 A. Arus melalui setiap komponen tidak selalu merupakan arus total; verifikasi jumlah arus Kirchhoff dan tegangan setelah penyederhanaan.

Untuk arus sinusoidal I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). Rangkaian RLC seri memiliki besaran impedansi sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) dan daya yang terdisipasi rata-rata Irms²R=Vrms Irms cosφ. Induktor/kapasitor ideal bertukar energi tersimpan dengan disipasi rata-rata nol. Jika arus rms sudah diberikan, jangan masukkan faktor lagi 1/2. Dioda penyearah ideal menghantarkan dalam arah maju dan memblokir dalam arah balik: dioda seri dengan orientasi yang sesuai memotong separuh negatif dari tegangan resistor sinusoidal; ia sendiri tidak menciptakan penyearah gelombang penuh.

Fluks magnetik adalah ∫B·dA, atau BA cosθ untuk medan seragam dengan θ diukur dari normal luas. Ggl Faraday adalah −N dΦ/dt. Untuk medan tegak lurus yang berubah dan geometri loop tetap, besarannya rata-rata adalah NA|ΔB|/Δt. Tentukan tanda atau arah arus menggunakan penentangan terhadap perubahan fluks, bukan penentangan terhadap medannya sendiri. Medan magnet di tengah satu loop lingkaran adalah μ0I/(2R), diperoleh dari Biot–Savart: setiap elemen berkontribusi dalam arah aksial yang sama. Kumpalan padat N-lilitan mengalikan hasil ini dengan N.

Untuk muatan non-relativistik dengan kecepatan tegak lurus terhadap B seragam, gaya magnetik |q|vB menyediakan gaya sentripetal mv²/r. Jadi r=mv/(|q|B) dan frekuensi sudut siklotron adalah |q|B/m, independen terhadap kecepatan dalam pendekatan ini. Tanda muatan menentukan arah rotasi. Deuteron memiliki massa kira-kira dua kali proton dan muatan yang sama, sedangkan partikel alfa memiliki empat kali massanya dan dua kali muatannya; frekuensinya masing-masing setengah nilai proton. Dalam medan E dan B silang, gerakan tak-belok memerlukan gaya listrik dan magnetik berlawanan dan v=E/B. Periksa arah vektor sebelum menggunakan besaran ini.

Sumber ideal 24 V menggerakkan 2 ohm seri dengan cabang paralel 3 dan 6 ohm. Identifikasi node sebelum menyederhanakan jaringan.

Cabang lain membawa 4 A; arus cabang menjumlahkan ke arus sumber.

Jangan menerapkan tegangan baterai ke setiap cabang atau menggandakan lagi daya arus rms. Sudut fluks menggunakan normal luas; selektor juga membutuhkan arah gaya yang berlawanan.

akar kuadrat rata-rata: Akar kuadrat dari nilai rata-rata kuadratik, digunakan untuk arus atau tegangan AC efektif.

fluks yang dikaitkan: Jumlah fluks magnetik yang menembus lilitan kumpalan.

A charged capacitor can change its electric field across a gap even though no conduction current crosses the gap.

Prerequisites: 13, 29, 47.

• Use displacement current 位移电流 and material wave-speed relations
• Determine wave-field directions and radiated energy flow
• Apply Maxwell boundary conditions without confusing field components

Ampere–Maxwell law in vacuum is ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). The added displacement-current term depends on the time rate of electric flux through the chosen surface. It ensures consistent results for a loop whose spanning surface either crosses a capacitor wire or passes between the plates. Displacement current is not magnetic flux or an integral over earlier electric flux. For a uniform plate field, the gap contribution is ε0A dE/dt; signs follow the oriented surface.

In a homogeneous, linear, lossless dielectric 电介质 with permeability μ and permittivity ε, Maxwell equations give wave speed v=1/sqrt(με) and refractive index n=c/v=sqrt(μrεr). For nonmagnetic material μr≈1, so v=c/sqrt(εr). Use the stated frequency-dependent material constants when dispersion matters; a static dielectric constant need not describe every optical frequency. Vacuum waves have E/B=c; in this simple medium the relation is E/B=v.

For a plane wave travelling along unit vector n, B=(n×E)/v. Both fields are perpendicular to propagation and to each other. Phase kz−ωt propagates toward +z, while kz+ωt propagates toward −z. If E is along x+y and propagation is +z, B is along −x+y, because z×x=y and z×y=−x. The Poynting vector 坡印廷矢量 S=E×H (E×B/μ in this medium) points along energy transport. In the radiation zone of an accelerating charge, energy flux is outward from the source, not necessarily in the instantaneous direction of charge motion.

Maxwell’s divergence equation ∇·B=0 gives continuity of the normal B component across an interface: a thin pillbox has no magnetic charge inside. The tangential H jump is related to surface current; it need not vanish. Under an ideal superconducting Meissner-state model with zero interior B, the exterior normal component at the boundary must therefore be zero, leaving any nonzero exterior B tangent to the surface. This conclusion is conditional on the stated zero-interior model; it does not follow by assuming all exterior field is zero. For electrostatics, normal D can instead jump by free surface charge.

A plane wave travels along positive z in a linear lossless nonmagnetic dielectric. With relative permittivity 9,

If E points along positive x, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ points along positive y. For E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ points along propagation. Check that material constants apply at the wave frequency.

Displacement current uses changing electric flux. Zero interior B fixes the exterior normal component, not every exterior component. Distinguish wave propagation from particle motion.

displacement current: Electric-flux time-derivative contribution in Ampere–Maxwell law.

Poynting vector: Electromagnetic energy flux per unit area and time.

Pengemudi mendengar gema dari dinding diam dengan nada yang bergeser: suara yang keluar dan kembali masing-masing memperoleh faktor Doppler.

Prasyarat: 3.

• Terapkan faktor Doppler sumber dan pengamat dalam kerangka medium
• Turunkan frekuensi pipa yang diizinkan dari kondisi batas perpindahan
• Bedakan perubahan frekuensi, panjang gelombang, dan batas

Untuk bunyi di medium diam, pisahkan gerak sumber dari gerak pengamat. Sumber yang mendekat dengan kecepatan u_s memampatkan jarak antar muka gelombang dan menghasilkan frekuensi diterima f c/(c−u_s) pada pengamat diam. Pengamat yang mendekat ke sumber diam dengan kecepatan u_o bertemu lebih banyak muka gelombang per detik dan mengukur f(c+u_o)/c. Kecepatan diukur relatif terhadap medium; rumus sumber akustik dan pengamat tidak simetris saat menukar peran. Gerak menjauh membalik tanda yang sesuai. Ekspresi ini mengasumsikan gerak subsonik sepanjang garis propagasi.

Untuk sirene yang bergerak menuju dinding pemantul diam dengan kecepatan u, dinding pertama kali menerima f_wall=f c/(c−u). Pemantulan dari dinding diam mempertahankan frekuensi dalam kerangka medium. Pengemudi yang bergerak kemudian mendekati muka gelombang yang kembali dan menerima f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). Pada u/c kecil, geser pecahan kira-kira 2u/c, tetapi ekspresi eksaknya memiliki pembilang dan penyebut yang berbeda. Permukaan pemantul yang bergerak memerlukan langkah Doppler sendiri; jangan gunakan hasil dinding diam secara membabi buta.

Di ujung pipa terbuka ideal, perpindahan udara adalah antinoda dan variasi tekanan adalah nodus. Di ujung kaku tertutup, perpindahan adalah nodus dan tekanan adalah antinoda. Untuk kedua ujung terbuka, panjang L berisi n setengah gelombang, memberikan f_n=nc/(2L), n=1,2,… . Untuk satu ujung tertutup, ia berisi jumlah ganjil seperempat gelombang, memberikan f_n=(2n−1)c/(4L). Pipa nyata mungkin memerlukan koreksi ujung; model GRE ideal menggunakan panjang yang disebutkan tanpa membuat penyesuaian.

Menutup salah satu ujung pipa yang sebelumnya terbuka keduanya menggandakan fundamentalnya menjadi setengah dan menyisakan hanya kelipatan ganjil dari fundamental baru tersebut. Frekuensinya lama merupakan kelipatan bulat dari c/(2L), yang merupakan kelipatan genap dari c/(4L), sehingga tidak ada yang merupakan frekuensi yang diperbolehkan oleh spektrum satu-tutup ideal yang baru. Ini berbeda dengan sekadar menghapus harmonik genap sambil mempertahankan fundamental lama. Ketika medium tidak berubah, kecepatan gelombang tetap sama; frekuensi dan panjang gelombang berubah bersama untuk memenuhi geometri batas baru.

Sirene mendekati dinding diam di udara tenang. Perlakukan perjalanan keluar dan kembali secara terpisah. Dinding pertama kali menerima $f_w=fc/(c-u)$; pemantulan mempertahankan frekuensi ini dalam kerangka medium. Pendengar yang bergerak kemudian menerima $f_e=f_w(c+u)/c$.

Efek Doppler ini menggunakan kecepatan relatif terhadap medium. Ini bukan rumus gelombang cahaya.

Gema membutuhkan kedua faktor Doppler. Menutup pipa mengubah fundamental; harmonik ganjil dihitung dari fundamental baru, bukan yang lama.

Antinoda perpindahan: Posisi gelombang berdiri di mana amplitudo perpindahan udara maksimal.

Faktor Doppler: Pengali frekuensi yang dihasilkan oleh gerak sumber atau pengamat tertentu.

Sel gas di salah satu lengan interferometer Michelson dilewati dua kali. Menghitung hanya satu perjalanan mengurangi perubahan indeks bias yang disimpulkan menjadi setengah.

Prasyarat: 3, 33.

• Hitung perbesaran teleskop dan daya urai grating
• Hubungkan hitungan fringe Michelson dengan perubahan lintasan optik ganda-lintas
• Telusuri normal permukaan sebelum menerapkan hukum Snell dan pantulan

Untuk teleskop astronomi ideal yang disesuaikan untuk pandangan santai di tak terhingga, objektif membentuk gambar bidang fokusnya dan okuler mem sejajarkan cahaya yang keluar. Jarak lensa adalah f_objective+f_eyepiece; besar perbesaran sudut adalah f_objective/f_eyepiece. Teleskop dua-lensa konvergen biasa menghasilkan gambar terbalik, direpresentasikan oleh perbesaran sudut bermuatan negatif di bawah konvensi konsisten. Jarak gambar akhir terbatas mengubah jarak lensa; jangan gunakan penyesuaian tak terhingga tanpa memeriksa kondisi.

Daya urai R=λ/Δλ menggambarkan pemisahan panjang gelombang terkecil yang dapat dibedakan dekat λ. Untuk grating difraksi ideal dalam orde m dengan N celah yang diterangi, R=mN. Ini adalah kriteria resolusi, bukan sekadar rumus posisi sudut d sinθ=mλ. Meningkatkan jumlah celah yang diterangi mempertajam puncak utama; meningkatkan jarak celah terutama mengubah lokasi sudut mereka. λ terukur=600 nm dan Δλ=3 nm memberikan R=200, terlepas dari mengonversi kedua panjang ke meter karena rasio mereka menggunakan unit yang cocok.

Interferensi Michelson bergantung pada beda lintasan optik antar lengan. Jika salah satu lengan berisi sel gas dengan panjang geometris L dan indeks bias berubah dari n menjadi 1 saat evakuasi, perjalanan ganda mengubah lintasan sebesar 2L(n−1). Jika N garis interferensi muncul, besaran perubahan ini adalah Nλ, sehingga n−1=Nλ/(2L). Untuk cermin bergerak sebagai gantinya, perpindahan Δx memberikan perubahan lintasan 2Δx. Penghitungan garis mencerminkan siklus fase; satu garis setara dengan satu panjang gelombang lintasan optik, bukan satu panjang gelombang gerakan cermin.

Hukum Snell n1 sinθ1=n2 sinθ2 menggunakan sudut terhadap normal permukaan lokal. Pemantulan memiliki sudut datang dan pantul yang sama relatif terhadap normal tersebut. Dalam balok persegi panjang, normal sisi-sisi bersebelahan saling tegak lurus: sudut datang diukur dari satu normal akan komplementer terhadap sudut sinar yang sama dari normal lainnya. Gambarlah sinar dan normal sebelum melakukan substitusi. Untuk insidensi dari medium indeks n ke udara, pemantulan total internal hanya terjadi ketika sinθ>1/n; kesamaan merupakan kasus kritis merayap. Sinar yang sebagian dipantulkan dan sebagian diteruskan harus memenuhi kondisi transmisi.

Interferometer Michelson membiarkan cahaya melewati sel gas sepanjang L sebanyak dua kali. Evakuasi mengubah lintasan sebesar $2L(n-1)$. N garis interferensi sesuai dengan perubahan lintasan $N\lambda$.

Sehingga n = 1.00030. Menggerakkan cermin juga melibatkan perjalanan ganda; satu garis interferensi tidak setara dengan satu panjang gelombang gerakan cermin.

Gunakan lintasan optik, bukan hanya jarak geometris. Sudut pembiasan diukur dari normal permukaan aktual, dan penambahan focal length teleskop mengasumsikan citra akhir di tak terhingga.

daya resolusi: Panjang gelombang dibagi dengan beda panjang gelombang terkecil yang dapat dibedakan.

panjang lintasan optik: Lintasan geometris yang ditimbang oleh indeks bias sepanjang sinar.

A waveform can contain many harmonics while having no sine terms at all. Reflection symmetry tells you which coefficients vanish before integration.

Prerequisites: 3, 47.

• Use orthogonality 正交性 to identify Fourier coefficients
• Exploit even and odd parity without discarding the constant term
• Relate component amplitudes to interference and physical waveforms

For a sufficiently regular real 2π-periodic function, write f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. The coefficients are a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx and b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, with a0 using n=0. Cosines and sines are orthogonal on a full period. The mean is a0/2, not a0; retain the constant term even when all nonzero-frequency coefficients of one family vanish.

If f is even about the chosen origin, f(x)sin(nx) is odd and its symmetric integral is zero, so all b_n vanish. If f is odd, its mean and all a_n vanish. Symmetry depends on the origin: shifting the same physical signal can mix sine and cosine coefficients while leaving its harmonic frequencies unchanged. A nonnegative triangular waveform symmetric about x=0 can therefore have cosine harmonics and a nonzero mean without any sine harmonics.

For the 2π-periodic extension of f(x)=|x| on [−π,π], the mean is π/2. Integrating x cos(nx) by parts on [0,π] gives a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), so even-n cosine coefficients are zero and odd-n coefficients are −4/(πn²). All sine coefficients are zero. The 1/n² decay reflects a continuous function with a slope discontinuity. A jump discontinuity often gives slower coefficient decay and partial-sum overshoot; do not infer the same convergence behaviour for every waveform.

A Fourier sum adds amplitudes with their phases. For equal coherent monochromatic amplitudes A meeting with phase difference φ, resultant squared amplitude is 2A²(1+cosφ), so intensity is 2I0(1+cosφ). It is 4I0 in phase and zero at φ=π. Incoherent averaging removes the cross term, yielding 2I0. Harmonics at different frequencies can construct a shape over time; their instantaneous sum is not the sum of their individual intensities. Identify whether the question concerns a waveform, time-average power or coherent interference.

For a real periodic function, use $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. Even symmetry 偶对称 makes all sine coefficients zero because the integrand is odd. For $f(x)=|x|$ on $[-\pi,\pi]$,

Integration by parts supplies the second expression. The mean is $a_0/2=\pi/2$; only odd cosine harmonics survive. A cusp does not justify dropping the constant term.

Even symmetry removes sine coefficients, not the constant term or every cosine harmonic. Check the symmetry origin and whether fields are coherent before adding intensities.

orthogonality: A zero integral of the product of distinct basis functions over the specified interval.

Fourier coefficient 傅里叶系数: Weight of a sine, cosine or constant basis component in a periodic expansion.

A refrigerator 制冷机 can move more heat than the work supplied to it. That ratio is a coefficient of performance 性能系数, not an efficiency that must be below one.

Prerequisites: 4.

• Apply first-law work and heat signs to gas processes
• Compare reversible entropy balances and P–V cycle areas
• Distinguish engine efficiency from refrigerator coefficient of performance

Use ΔU=Q−W, where Q is heat entering the system and W is work done by it. Quasistatic boundary work is ∫P dV, positive during expansion. For a fixed amount of ideal gas, internal energy depends only on temperature. At constant volume W=0, so ΔU=Q; for an isothermal ideal-gas process ΔU=0, so Q=W. Adiabatic means Q=0, not constant temperature. Over a cycle, the state returns and ΔU=0, so net Q equals net W even though individual legs have different heat transfers.

For reversible isothermal expansion of an ideal gas, PV is constant. With constant heat capacities, a reversible adiabatic path obeys PV^γ=constant, with γ=Cp/Cv>1; through the same initial state its pressure falls faster as volume increases. An isobaric path is horizontal on a P–V plot. A clockwise closed cycle has positive ∮P dV; reversing direction changes the sign. For a rectangular loop the magnitude is ΔPΔV, and a triangular loop has half the corresponding bounding-rectangle area. Use Pa and m³ for joules, not an unconverted litre value.

For reversible heat transfer, dS=δQ_rev/T; entropy is a state function while heat is path dependent. A reversible system-plus-environment process has zero total entropy change, but the system’s entropy alone can increase or decrease. Irreversible spontaneous processes produce nonnegative total entropy. A reversible isothermal expansion increases the gas entropy by nR ln(V2/V1); the reservoir loses the same amount. Reversibility does not require constant system temperature, zero work or zero internal-energy change.

A reversible engine between TH and TC has efficiency W/QH=1−TC/TH. A reversible refrigerator instead has COP=QC/W=TC/(TH−TC), and a heat pump has QH/W=TH/(TH−TC). Use absolute kelvin temperatures. On a reversible T–S diagram, heat magnitude along an isotherm is T times the entropy change; the Carnot rectangle’s area is the work magnitude. Refrigeration moves heat from cold to hot by consuming work, reversing the engine cycle. COP can exceed one without violating conservation because the moved heat is not supplied solely by the work.

A reversible refrigerator transfers entropy Delta S from Tc to Th.

COP above one is possible because heat is moved, rather than all produced from work.

Zero total entropy production 熵产生 does not mean zero system entropy change. A refrigerator uses TC/(TH−TC), not the engine efficiency formula.

entropy production: Nonnegative total entropy generated by irreversibility.

coefficient of performance: Useful heat transferred divided by work input for a refrigerator or heat pump.

Gas dapat memiliki kecepatan rata-rata nol sementara partikel-partikelnya memiliki kecepatan rata-rata yang signifikan. Arah berlawanan saling meniadakan dalam mean vektor; kecepatan tidak memiliki tanda.

Prasyarat: 4, 35.

• Menormalisasi densitas kecepatan kontinu dan menginterpretasikan satuannya
• Membedakan mean vektor, mean kecepatan, dan kecepatan paling mungkin
• Menggunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi

Untuk densitas probabilitas kecepatan kontinu f(v), f(v)dv mendekati probabilitas dalam interval sempit dan ∫dari0sampai∞ f(v)dv=1. Densitas ini memiliki satuan invers-kecepatan dan bukan probabilitas itu sendiri. Jika P(v)dv menghitung partikel dalam interval tersebut, luasnya adalah jumlah partikel N dan f=P/N. Trapezoid yang naik sepanjang lebar v0, datar sepanjang lebar 2v0, lalu turun sepanjang lebar v0 memiliki area 3av0 untuk tinggi a. Normalisasi dilakukan berdasarkan area sebelum menghitung mean atau menginterpretasikan ketinggian pada grafik.

Dalam gas isotropik tanpa aliran massal, setiap distribusi komponen kecepatan bersifat simetris, sehingga ⟨v_vector⟩=0. Kecepatan v=|v_vector| bernilai nonnegatif dan memiliki mean positif. Untuk gas ideal klasik, densitas Maxwell sebanding dengan v²exp[−mv²/(2kBT)]. Modusnya adalah sqrt(2kBT/m), mean-nya adalah sqrt(8kBT/(πm)) dan kecepatannya rms adalah sqrt(3kBT/m). Ketiganya adalah besaran yang berbeda. Faktor v² membuat densitas kecepatan menjadi nol pada v=0, meskipun densitas vektor kecepatan terbesar pada vektor nol.

Untuk distribusi kontinu, probabilitas tepat satu kecepatan tertentu adalah nol; probabilitas nonzero merujuk pada interval. Pernyataan ini tidak menyiratkan bahwa tidak ada partikel dengan kecepatan yang sangat kecil, atau bahwa detektor resolusi terbatas tidak dapat merekam bin nol. Perubahan suhu mengubah skala distribusi Maxwell: kecepatan karakteristik sebanding dengan sqrt(T/m). Menggandakan suhu tidak menggandakan kecepatan, dan partikel yang lebih berat bergerak lebih lambat secara rata-rata pada suhu yang sama.

Dalam ensemble kanonik pada suhu T, keadaan dengan energi E_i memiliki bobot exp(−E_i/(kBT)). Bagi dengan fungsi partisi Z=Σexp(−E_i/(kBT)) untuk mendapatkan probabilitas. Jika tingkat energi memiliki degenerasi g_i, probabilitas tingkat tersebut adalah g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Energi yang sama per keadaan tidak berarti probabilitas yang sama per tingkat ketika degenerasinya berbeda. Untuk tingkat dasar dengan degenerasi 1 dan tingkat tereksitasi dengan degenerasi 2 pada Δ=kBT ln2, total bobot tereksitasi adalah 2e^(−ln2)=1: kedua tingkat masing-masing memiliki probabilitas 1/2. Asumsi klasik Maxwell–Boltzmann berbeda dari okupasi Bose–Einstein dan Fermi–Dirac.

Ensemble kanonik memiliki degenerasi dasar 1 dan degenerasi tereksitasi g pada celah Delta.

Dengan g = 4 dan $\Delta=k_BT\ln2$, Ini adalah probabilitas untuk seluruh tingkat tereksitasi. Masing-masing dari empat keadaannya memiliki probabilitas 1/6.

Tinggi densitas bukan probabilitas. Kecepatan rata-rata, rata-rata kecepatan, dan modus berbeda; sertakan degenerasi sebelum menormalisasi probabilitas tingkat.

densitas probabilitas: Probabilitas per satuan variabel kontinu, yang integralnya memberikan probabilitas interval.

fungsi partisi: Jumlah bobot statistik yang digunakan untuk menormalisasi probabilitas keadaan ekuilibrium.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Mengukur konduktivitas saja tidak memberi tahu apakah elektron atau lubang mendominasi transport. Pengukuran Hall magnetik menyediakan uji sensitif-tanda.

Prasyarat: 8, 46.

• Bandingkan energi ikat per nukleon dan energi reaksi
• Bedakan lepton, meson, dan baryon dengan kendala kekekalan
• Inferensikan tanda pembawa dominan dari model Hall satu-pembawa

Energi ikat B adalah energi yang dibutuhkan untuk memisahkan inti menjadi nukleon bebasnya, sama dengan defisit massa yang bersesuaian kali c². Energi ikat per nukleon B/A adalah perbandingan yang relevan melintasi nomor massa yang berbeda; inti yang lebih berat dapat memiliki total B yang lebih besar tetapi B/A yang lebih rendah. Maksimum luas B/A berada di dekat wilayah besi/nikel. Fusi inti ringan dan fisisi inti sangat berat dapat melepaskan energi ketika produk memiliki total ikatan yang lebih besar. Untuk suatu reaksi, Q=(massa diam awal − massa diam akhir)c²; Q positif berarti energi dilepaskan. Selalu bandingkan isotop dan produk akhir yang ditentukan secara aktual, bukan hanya nama elemennya.

Lepton seperti elektron, muon, dan neutrino tidak terdiri dari quark penyusun dalam Model Standar. Muon negatif memiliki muatan −e dan spin 1/2, seperti elektron, tetapi memiliki massa yang berbeda dan termasuk keluarga rasa yang berbeda; ia bukan meson meskipun namanya historis. Hadron mengandung quark: meson biasa memiliki satu quark dan satu antikuarak, dan baryon biasa memiliki tiga quark. Antibaryon yang sesuai memiliki tiga antikuarak. Model klasifikasi elementer ini tidak menyiratkan bahwa setiap partikel komposit adalah baryon atau meson sederhana.

Periksa muatan, energi, momentum, nomor baryon, dan nomor lepton yang relevan dalam proses yang diusulkan. Quark uud proton menjumlahkan muatan +e; neutron udd menjumlahkan nol. Peluruhan beta-minus n→p+e−+antineutrino mengawetkan muatan listrik dan mencakup antineutrino untuk menyeimbangkan nomor lepton dan kinematika. Massa partikel saja tidak mengklasifikasikannya sebagai quark, lepton, atau hadron. Ambang reaksi mungkin memerlukan energi kinetik melebihi perbedaan massa diam eksotermik ketika kendala lain berlaku.

Dalam konduktor satu-pembawa sederhana, gaya Lorentz magnetik transversal membangun medan listrik Hall hingga gaya pembawa transversal seimbang. Dengan konvensi tensor/tanda yang dinyatakan, koefisien Hall adalah R_H=1/(nq); q negatif memberikan koefisien negatif mirip elektron, q positif memberikan koefisien positif mirip lubang. Besaran resistivitas saja tidak mengungkapkan tanda ini. Tetapkan arah arus, medan magnet, dan tegangan secara konsisten sebelum membaca polaritas mentah. Semikonduktor dengan elektron dan lubang yang keduanya berkontribusi memerlukan model dua-pembawa berbobot mobilitas; koefisien sederhana tidak perlu sama dengan invers densitas pembawa total.

Dalam model efek Hall satu pembawa, gunakan $R_H=1/(nq)$ dengan konvensi kawat tetap. Untuk elektron, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ per meter kubik,

Koefisien negatif menunjukkan pembawa menyerupai elektron di bawah model ini, bukan kerapatan negatif. Polaritas tegangan mentah hanya bermakna jika arah medan dan kawat telah ditetapkan.

Bandingkan pengikatan per nukleon, bukan hanya pengikatan total. Muon adalah lepton, dan tanda Hall memerlukan konvensi pengukuran dan model pembawa yang dideklarasikan.

energi ikat per nukleon: Energi pengikat inti dibagi dengan jumlah nukleon.

koefisien Hall: Proporsionalitas bertanda yang menghubungkan medan Hall transversal terhadap rapat arus dan medan magnet di bawah konvensi tertentu.

Tegangan bandul berubah sepanjang ayunan, tetapi persamaan sudutnya dapat diturunkan tanpa menyelesaikan tegangan.

Prasyarat: 1, 47.

• Turunkan gerak Euler–Lagrange setelah menerapkan kendala holonom
• Gunakan koordinat siklik untuk mengidentifikasi momentum kanonik yang kekal
• Linierkan kesetimbangan stabil dan periksa frekuensi yang dihasilkan

Sebuah kendala menghilangkan satu koordinat independen sebelum Anda menyusun energi kinetik. Untuk bandul dengan panjang tetap, pilih θ dari vertikal ke bawah: x=l sinθ dan y=−l cosθ. Mendiferensiasikan kedua koordinat menghasilkan v²=l²θdot², bukan l² sin²θ θdot². Oleh karena itu T=ml²θdot²/2 dan V=mgl(1−cosθ), dengan potensial nol di bagian bawah. Panjang tetap adalah kendala holonom: ia merupakan hubungan antar koordinat dan mungkin waktu. Kendala kecepatan menggelinding memerlukan analisis tersendiri; jangan otomatis menganggap setiap kendala sebagai substitusi koordinat.

Untuk kendala ideal dan sistem konservatif biasa, persamaan aksi stasioner adalah d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 dengan L=T−V. Variasi hilang pada dua ujung waktu. Bandul memberikan ∂L/∂θdot=ml²θdot dan ∂L/∂θ=−mgl sinθ, sehingga ml²θddot+mgl sinθ=0. Turunan momentum bekerja pada setiap faktor yang bergantung waktu: untuk jari-jari yang berubah, d(mr²θdot)/dt mengandung 2mr rdot θdot. Metode variasional tidak berarti energi mekanik kekal dalam sistem yang bergantung waktu.

Untuk gerak pusat planar, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Sudut θ adalah siklik karena L tidak memiliki ketergantungan eksplisit pada θ, meskipun L bergantung pada θdot. Momentum kanoniknya pθ=mr²θdot adalah konstan. Persamaan radial adalah m rddot=mrθdot²−dV/dr. Suku pertama adalah bagian dari percepatan koordinat, bukan gaya riil keluar baru dalam kerangka inersia. Kekekalan pθ membuat kecepatan sudut meningkat saat r berkurang; kecepatan sudut konstan adalah situasi berbeda yang digerakkan secara eksternal.

Dekat kesetimbangan stabil q0, ekspansi V hingga orde kedua dan gunakan inersia lokal konstan M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Maka frekuensi perpindahan kecil adalah sqrt(V″/M). Untuk pendulum sinθ≈θ dalam radian, sehingga ω=sqrt(g/l); pendekatan ini memerlukan amplitudo kecil. V″ negatif memberikan ketidakstabilan, bukan osilasi dengan frekuensi terukur imajiner. Periksa persamaan nonlinear penuh terlebih dahulu, kemudian nyatakan pendekatan dan bandingkan satuan: V″/M harus memiliki satuan kebalikan kuadrat waktu.

Untuk panjang pendulum tetap l, gunakan theta dari vertikal bawah: x = l sin theta, y = -l cos theta. Kedua kecepatan Kartesius menghasilkan $T=ml^2\dot\theta^2/2$ dan $V=mgl(1-\cos\theta)$. Persamaan Euler-Lagrange— adalah

Bagi dengan $ml^2$ sebelum melinierkan: Pendekatan ini menggunakan radian. Variasi titik akhir hilang dalam derivasi aksi stasioner.

Koordinat siklis tidak ada dalam L itu sendiri; kecepatannya tidak perlu hilang. Jangan buang turunan waktu dari faktor r² yang berubah.

kondisi holonomik: Kondisi yang dapat dinyatakan sebagai hubungan di antara koordinat dan mungkin waktu.

koordinat siklik: Koordinat yang tidak muncul secara eksplisit dalam Lagrangian, dengan momentum kanonik yang kekal di bawah persamaan Euler–Lagrange.

Seseorang yang berdiri diam di atas platform yang berputar memerlukan gaya nyata ke dalam, meskipun percepatan relatif terhadap platformnya nol.

Prasyarat: 26.

• Transformasikan percepatan dengan suku kerangka yang mentranslasikan dan berotasi
• Tentukan arah sentrifugal, Coriolis, dan Euler dari perkalian silang
• Pisahkan gaya semu dari interaksi nyata dan uji batas inersia

Dalam kerangka yang mentranslasikan dengan percepatan asal A, persamaan Newton menjadi m a′=F_real−mA. Lift yang dipercepat ke atas oleh karena itu memiliki N−mg=ma dalam kerangka tanah, atau N−mg−ma=0 untuk penumpang diamnya dalam kerangka lift. Ini adalah prediksi yang sama. Suku tambahan adalah gaya semu yang disebabkan oleh koordinat yang dipercepat yang dipilih; itu bukan kontak baru dengan benda lain. Translasi seragam dengan A=0 mengubah kecepatan tetapi tidak memerlukan gaya semu.

Untuk basis berputar, menurunkan vektor menambahkan Ω×vektor tersebut. Menerapkannya dua kali menghasilkan a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Di sini r dan v′ diukur relatif terhadap titik asal yang bergerak dalam sumbu berputarnya; semua vektor dalam perhitungan harus dinyatakan dalam basis yang sama pada saat yang sama. Pindahkan tiga suku rotasi terakhir ke sisi gaya untuk memperoleh Coriolis −2mΩ×v′, sentrifugal −mΩ×(Ω×r), dan Euler −mΩdot×r. Rotasi konstan menghilangkan suku Euler, bukan suku Coriolis.

Ambil Ω sepanjang +z, platform berputar berlawanan arah jarum jam dilihat dari atas, dan partikel di r sepanjang +x. Gaya sentrifugal sepanjang +x dengan besaran mΩ²r. Jika partikel bergerak keluar dengan v′ sepanjang +x, maka Ω×v′ adalah +y, sehingga gaya Coriolis mengarah −y. Membalik kecepatan relatif membalik Coriolis; mempertahankan v′=0 membuatnya hilang. Coriolis tegak lurus terhadap v′ dan tidak melakukan kerja instan pada gerakan relatif tersebut. Gaya sentrifugal menjauhi sumbu rotasi, tidak selalu menjauhi titik asal yang dipilih dalam posisi tiga dimensi sembarang.

Benda yang diam di platform memiliki a′=v′=0. Dengan rotasi konstan dan titik asal tetap, gaya nyatanya harus mΩ×(Ω×r), ke dalam, meniadakan suku tampak keluar dalam persamaan berputar. Jika rotasi berubah, gaya nyata tangensial juga harus menyeimbangkan suku Euler. Selalu periksa Ω→0 dan A→0: gerakan Newtonian inersia biasa harus kembali. Jangan campurkan persyaratan sentripetal nyata yang masuk dengan reaksi nyata tambahan yang keluar pada benda yang sama; pasangan interaksi berada dalam diagram benda bebas terpisah.

Dalam kerangka berputar, gaya Coriolis menggunakan kecepatan relatif.

Untuk m = 2 kg, Omega = 2 rad/s sepanjang z, r = 1 m sepanjang x dan v' = 3 m/s sepanjang x, Gaya Euler nol hanya karena Omega konstan. Ini adalah suku koordinat, bukan kontak fisik tambahan.

Kecepatan relatif v′ masuk dalam suku Coriolis. Menggunakan kecepatan inersia penuh menghitung rotasi dua kali.

Gaya Coriolis: Gaya kerangka berputar tampak −2mΩ×v′ yang disebabkan oleh gerakan relatif.

gaya sentrifugal: Gaya kerangka berputar tampak −mΩ×(Ω×r), mengarah menjauhi sumbu rotasi.

A narrow pipe carries the same steady flow rate as a wide pipe, but its pressure behaviour depends on both speed and viscous losses.

Prerequisites: 10, 47.

• Combine incompressible continuity with pressure, height and kinetic energy
• Apply hydrostatic and Bernoulli relations only under their stated conditions
• Use viscosity, Poiseuille scaling and Reynolds number to distinguish flow regimes

For steady flow, the mass passing successive cross-sections per unit time is equal: ρAv is constant. An incompressible liquid has nearly constant ρ, so Q=Av is the volume flow rate 体积流量. Halving pipe radius quarters area and multiplies mean speed by four for the same Q. Pressure does not determine Q without a model of the rest of the system. In a stationary liquid, dp/dz=−ρg with z upward; therefore pressure increases by ρgh a distance h below a surface. Use absolute or gauge pressure consistently on both sides.

For steady, incompressible, inviscid motion along a streamline with no pump or dissipative loss, Bernoulli gives p+ρv²/2+ρgz=constant. These three terms are energy per volume and have pressure units. At equal height, larger speed requires smaller static pressure under these assumptions. A higher outlet also uses pressure/kinetic energy to gain gravitational energy. Bernoulli along one streamline need not imply the same constant on different streamlines in rotational flow. A stagnation point has v=0 and converts local speed energy to a pressure rise in the ideal model.

Viscosity transports momentum between neighbouring fluid layers. For steady fully developed laminar flow of a Newtonian incompressible liquid in a circular tube, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Here Δp is the pressure drop along the tube, η dynamic viscosity 动力黏度 and L tube length. Doubling radius at fixed Δp, η and L multiplies Q by sixteen. Doubling Q at fixed geometry needs twice the pressure drop. This viscous pressure loss cannot be added to a loss-free Bernoulli equation as though nothing changes; include a dissipative pressure/head loss or use the viscous model.

The Reynolds number Re=ρvD/η compares inertial and viscous effects using characteristic speed v and length D. For a pipe use mean speed and internal diameter, not radius. Re is dimensionless: density times speed times length has the same units as dynamic viscosity. Small Re favours viscous dominance; transition to turbulence depends on geometry and disturbances, so a single threshold is not a universal law. Poiseuille scaling is not safe after assuming a turbulent flow. Check volume continuity, sign of pressure change and the regime before selecting a formula.

A steady incompressible horizontal ideal flow has areas 4 and 1 square centimetres. At the first section speed is 1 m/s. Continuity and Bernoulli give

These relations assume no pump, viscosity loss or height change. A real narrow tube may violate them.

Continuity keeps Q constant across one steady pipe; Poiseuille compares Q between different systems at a specified pressure drop. State what is held fixed before comparing radius powers.

volume flow rate: Volume crossing a section per unit time, Q=Av for mean speed v.

dynamic viscosity: The coefficient relating shear stress to velocity gradient in a Newtonian fluid.

Memasukkan dielektrik ke dalam kapasitor mengubah medan differently tergantung apakah baterainya tetap terhubung.

Prasyarat: 13, 15.

• Hubungkan muatan bebas dan terikat dengan D, E, dan polarisasi
• Bandingkan perubahan dielektrik muatan tetap dan tegangan tetap
• Gunakan respons konstitutif magnetik dan kondisi batas arus bebas

Polarisasi listrik P adalah momen dipol listrik per satuan volume, diukur dalam C/m². Definisikan D=ε₀E+P sehingga ∇·D=ρ_free; muatan total, termasuk muatan terikat, tetap muncul dalam ∇·E=ρ_total/ε₀. Muatan volume terikat adalah ρ_b=−∇·P dan muatan permukaan terikat adalah σ_b=P·n, di mana n mengarah keluar dari material. Polarasi seragam tidak menghasilkan muatan terikat di dalam bulk tetapi dapat menghasilkan muatan permukaan dengan tanda berlawanan. Dielektrik bukan logam ideal: polarasi tidak harus membuat medan listrik internalnya nol.

Untuk dielektrik linier isotropik, P=ε₀χ_e E dan D=εE dengan ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Hubungan skalar sederhana ini mengasumsikan respons linier dan mengabaikan anisotropi, dispersi kuat, serta efek nonlinear. Dalam kapasitor pelat paralel yang terisi penuh dan besar dengan efek tepi yang dapat diabaikan, D normal terhadap pelat sama dengan kerapatan muatan permukaan bebas. Jika σ_free tetap, peningkatan ε mengurangi E=σ_free/ε. Muatan terikat menentang medan yang diterapkan; besarnya tidak otomatis sama dengan muatan pelat bebas.

Untuk luas pelat A dan jarak d, C=εA/d. Memisahkan baterai menetapkan muatan bebas Q: V=Q/C turun dan energi tersimpan U=Q²/(2C) turun ketika dielektrik meningkatkan C. Meninggalkan sumber tegangan ideal terhubung menetapkan V: Q=CV dan energi tersimpan U=CV²/2 keduanya naik. Sumber menyediakan energi dan memindahkan dielektrik dapat melibatkan kerja mekanik; bandingkan jumlah energi listrik yang disebutkan daripada mengasumsikan kapasitor saja adalah sistem terisolasi. Pada antarmuka material n·(D₂−D₁)=σ_free, sedangkan E tangensial statis kontinu. Normal E umumnya berubah ketika permitivitas berubah.

Magnetisasi M adalah momen dipol magnet per satuan volume, diukur dalam A/m. Dalam SI, B=μ₀(H+M); untuk respons linier isotropik M=χ_m H dan B=μ₀(1+χ_m)H. B dan H memiliki satuan dan peran berbeda. Solenoid panjang seragam memiliki H≈nI ketika efek ujung dan demagnetisasi dapat diabaikan; respons material kemudian mengubah B. Arus permukaan bebas menetapkan n×(H₂−H₁)=K_free, dan B normal tetap kontinu. Histeresis feromagnetik dan saturasi tidak dapat direpresentasikan oleh satu konstanta χ_m untuk setiap medan.

Sebuah kapasitor dilepaskan sebelum memasukkan dielektrik linier dengan permitivitas relatif 4. Muatan bebas tetap tetap; kapasitansi menjadi empat kali nilai aslinya.

Jika baterai ideal tetap terhubung, V ditetapkan: Sumber menukar energi. Jangan membandingkan muatan terisolasi dan tegangan tetap sebagai eksperimen yang sama.

Gunakan muatan bebas dalam persamaan D dan muatan total dalam persamaan E. Jangan bingung antara Q tetap dengan V tetap, atau identifikasi B secara numerik dengan H.

polarisasi listrik: Momen dipol listrik per satuan volume, P, berkontribusi pada muatan terikat.

magnetisasi: Momen dipol magnet per satuan volume, M, masuk ke dalam B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

A negative image distance is a geometric result that locates a virtual image 虚像, not a failed calculation to replace by its absolute value.

Prerequisites: 3.

• Locate paraxial thin-lens and spherical-mirror images with a declared sign convention
• Use signed magnification to classify orientation and real or virtual character
• Track successive image locations as the next element’s object without resetting geometry

Use the real-is-positive convention for this unit: a real object sends diverging incident rays into the element, so s>0; an already converging incident beam can represent a virtual object, s<0. A real image has s′>0, while a virtual image has s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 and a diverging lens f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; a negative s′ puts its virtual image on the input side. State the convention before substitution, as other signed-coordinate conventions give different-looking equations.

For a converging thin lens, a ray parallel to the axis exits through the far focal point, and a ray through the ideal optical centre continues undeviated. Their intersection identifies a real image; backwards extensions can locate a virtual image. The paraxial approximation uses rays close to the axis and neglects thickness and aberrations. With s>f>0, s′ is positive and M is negative: the image is real and inverted. With 0<s<f, s′ is negative and M is positive: the image is virtual, upright and enlarged. At s=f, emerging rays are parallel and no finite image plane exists. A diverging lens with a real object produces an upright reduced virtual image.

For a spherical mirror in the same real-is-positive convention, concave f>0 and convex f<0, with f=R/2 in the paraxial limit. A real reflected image is in front of the mirror on the incoming-light side; a virtual image is behind it. Thus a positive image distance has a different physical side for a mirror than for a transmitting lens. A parallel ray reflects through the concave focus; a ray aimed through the centre of curvature retraces its path. Convex reflected rays diverge as if from the focus behind the mirror. Use the same equation and M=−s′/s with signed values, rather than silently combining mirror geometry with a lens coordinate diagram.

For a sequence of separated lenses, first calculate the actual image coordinate from the first lens. Relative to the next lens, decide whether the incoming rays diverge from a point before it or are still converging toward a point beyond it; these are real and virtual objects respectively. Only then assign its signed object distance and solve again. Total transverse magnification is the product of the individual signed magnifications for aligned paraxial elements. Element separation is not automatically the second object distance. Geometric real/virtual character depends on convergence, not on whether the final image is magnified. These ideal results do not model wave-optical resolution or spherical/chromatic aberration.

Use real-is-positive distances and positive focal length for a converging lens. With f = 12 cm and real object distance s = 8 cm,

Thus s' = -24 cm and $M=-s'/s=+3$. The virtual image is upright, on the object's side. Signed distances identify the physical side; a negative distance is not an arithmetic failure.

Keep signs until the geometry is interpreted; a positive mirror image lies on the incident side, while a positive transmitting-lens image lies on the outgoing side.

virtual image: An apparent image located by backwards ray extensions rather than actual outgoing-ray convergence.

transverse magnification: Signed image-height to object-height ratio, −s′/s in the declared convention.

Two wall layers in series carry the same steady heat rate 热流率, but their temperature drops need not be equal.

Prerequisites: 4.

• Combine conductive thermal resistances and distinguish heat rate from heat flux
• Balance sensible and latent heat 潜热 with stated isolation and heat-capacity conditions
• Calculate free thermal expansion and constrained thermal stress with their limits

For one-dimensional steady conduction through a uniform slab, Fourier’s law gives heat flux q_x=−κ dT/dx. With constant conductivity κ, area A, length L and hot-to-cold temperature difference ΔT, heat rate is Qdot=κAΔT/L. Define thermal resistance 热阻 R_th=L/(κA), measured in K/W; temperature drop is Qdot R_th. Series layers without internal sources carry the same Qdot and their resistances add. Parallel paths at the same endpoint temperatures have heat rates that add, so inverse resistances add. Heat flux is rate per area, W/m², and need not match between layers of different area. Interface contact resistance and heat leakage must be included if specified.

Heat capacity C=dQ/dT depends on the thermodynamic path and is not the same as specific heat c per mass. For a material interval without a phase transition, Q=∫mc(T)dT, or mcΔT when c is constant. In an isolated calorimeter, sum the energy changes of all objects, including the container when relevant, and set the sum to zero. At a phase transition at its equilibrium temperature, added energy can change phase fraction rather than temperature: Q=mℓ uses latent heat ℓ in J/kg. First supply the sensible heat to reach the transition, then budget latent heat. Do not let a simple weighted-temperature average predict an impossible temperature when melting or freezing is part of the process.

For a freely expanding rod and small temperature change, ΔL≈αL₀ΔT with linear expansion coefficient α. For an isotropic solid with small strain, each dimension acquires factor 1+αΔT, so ΔA/A≈2αΔT and ΔV/V≈3αΔT. A hole expands with the surrounding material as if its missing region had expanded too. These relations assume a nearly constant coefficient and no mechanical constraint; anisotropic crystals need directional coefficients. If an elastic rod is prevented from changing length, its mechanical strain cancels thermal strain. With tensile stress positive, σ≈−YαΔT during heating, where Y is Young’s modulus. This small-strain estimate requires elastic response without yielding or buckling.

Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Two slabs in series carry the same steady heat rate. Let resistances be 0.08 and 0.24 K/W. Boundary temperatures are 60 and 20 degrees Celsius.

The interface is 50 degrees Celsius when slab 1 touches the hot side. Heat rate has watt units; flux divides it by area.

Keep W separate from W/m², include the calorimeter or latent energy when needed, and do not use free-expansion length together with constrained-stress assumptions.

thermal resistance: Temperature difference per steady heat-transfer rate, measured in K/W.

latent heat: Energy transferred during a phase change at its transition temperature; specific latent heat is per mass.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

A fermionic energy level can contain several particles when it contains several distinct states; the exclusion rule applies per complete state.

Prerequisites: 20, 35, 38.

• Compute mean occupation 平均占据数 per complete quantum state for fermions and bosons
• Count allowed identical-particle occupations and identify the classical dilute limit
• Compare classical quadratic-mode heat capacity with a quantum oscillator response

For noninteracting particles in thermal and particle exchange equilibrium, use chemical potential μ and x=(ε−μ)/(kBT). Mean occupation of one complete state is n_F=1/(e^x+1) for fermions and n_B=1/(e^x−1) for bosons. Fermionic occupation of that state is zero or one; its mean lies between them. Bosonic occupation can exceed one. A level of degeneracy g has total mean g times the single-state occupation when its states share the same energy. Count spin as part of a complete state. The Bose denominator requires ε>μ for the ordinary finite expression, with the ground-state limit treated separately. For equilibrium photons μ=0 because photon number is not conserved; do not set μ=0 for every material particle gas.

Count occupation patterns rather than labelling identical particles. Two identical fermions distributed among four distinct complete states have choose(4,2)=6 allowed patterns. Two identical bosons among those states have choose(4+2−1,2)=10 patterns because both may share one state. Two labelled distinguishable particles would have 4²=16 assignments. These are different counting models, not three interchangeable answers to the same specification. If a question supplies spin degeneracy, first decide whether its stated number counts complete states or just orbital levels. A Pauli prohibition on two identical complete states does not prohibit opposite-spin fermions in one spatial orbital.

When x is large and positive, occupation is small and both denominators are dominated by e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), the Maxwell–Boltzmann dilute limit. At x=ln4 the means are 1/5 for fermions, 1/3 for bosons and 1/4 in the classical approximation; the difference is still significant. A large total particle number alone does not justify classical statistics: density, temperature and accessible states control occupation. For fermions at low T, states below μ become nearly occupied and those above nearly empty. At ε=μ a fermionic state has mean one half; inserting that value into the ordinary Bose formula would instead produce a divergent denominator and requires different limiting treatment.

Classical equipartition assigns kBT/2 of mean energy to each independent quadratic term in an equilibrated Hamiltonian. A monatomic ideal gas has three translational terms, giving U=3NkBT/2 and C_V=3NkB/2. One classical one-dimensional harmonic oscillator has kinetic and potential terms, giving mean kBT and C=kB. For a quantum oscillator with fixed spacing ε=$\hbar$ω, the thermal energy above its temperature-independent zero point is ε/(e^x−1), now x=ε/(kBT), and C/kB=x²e^x/(e^x−1)². At high T it approaches the classical value; at low T excitation freezes out and C→0. A zero-point energy ε/2 shifts U but not C. Molecular rotational/vibrational contributions likewise need their energy scales checked before assigning classical quadratic terms.

Occupation number 占据数 refers to one complete single-particle state. For $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

The classical dilute approximation gives $e^{-x}=1/4$; it is not exact here. A g-fold level has mean total occupation $g\bar n$, so a fermionic level can contain more than one particle while each complete state still obeys exclusion.

Exclude two fermions from one complete state, not from an entire degenerate energy level. State which x is used; chemical-potential occupations and fixed oscillator excitation formulas are different models.

mean occupation: Ensemble average number of particles in one complete quantum state or a specified group of states.

equipartition: Classical equilibrium rule assigning kBT/2 to each independent quadratic Hamiltonian term.

Pergeseran energi orde pertama nol dapat berdampingan dengan perubahan keadaan dan pergeseran orde tinggi yang bukan nol.

Prasyarat: 5, 24.

• Hitung pergeseran energi orde pertama non-degenerat sebagai nilai harapan ternormalisasi
• Gunakan simetri dan elemen matriks untuk menilai batas kopling lemah
• Diagonalisasikan gangguan dalam ruang sub degenerat yang tepat

Misalkan H=H₀+λW, di mana λ adalah parameter tak berdimensi kecil dan keadaan eigen dari H₀ diketahui serta ternormalisasi. Untuk tingkat non-degenerat n, koreksi energi orde pertama adalah λ⟨n|W|n⟩. Dalam ruang posisi ini adalah λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx untuk potensial multiplikatif, dengan integrasi atas domain yang diizinkan. Nilai potensial pada satu titik bukanlah nilai harapan; kepadatan probabilitas keadaan membobot seluruh domain. Untuk sumur tak hingga 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Refleksi terhadap pusatnya membuat ⟨x⟩=L/2, sehingga potensi tambahan lemah γx memiliki pergeseran γL/2 untuk setiap tingkat sumur non-degenerat pada orde pertama. γ memiliki satuan energi per panjang.

Untuk gangguan ganjil terhadap pusat, seperti γ(x−L/2), kepadatan probabilitas keadaan eigen sumur tak terganggu adalah genap, sehingga ekspektasi diagonalnya hilang. Gangguan kuadratik terpusat η(x−L/2)² sebaliknya memberikan pergeseran ηL²[1/12−1/(2π²n²)], yang positif untuk η>0 dan bergantung pada n. Paritas membuat integral orde pertama menjadi nol hanya untuk simetri keadaan dan operator yang ditentukan. Elemen matriks off-diagonal masih dapat mengubah fungsi gelombang. Jangan ubah pembatalan simetri menjadi klaim bahwa setiap koreksi energi hilang atau bahwa keadaan asli tetap eksak.

Untuk keadaan non-degenerat, admixture utama dari keadaan tak terganggu lainnya m sebanding dengan λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Oleh karena itu, kondisi kekecilan yang berguna membandingkan elemen matriks kopling dengan pemisahan tingkat yang relevan, bukan hanya dengan nol energi absolut sembarang. Hingga orde kedua, koreksi energi mengandung Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Untuk keadaan non-degenerat terendah, semua penyebut ini negatif, sehingga koreksi orde kedua tidak positif dalam model ini. Mendekati degenerasi, penyebut kecil mengalahkan ekspansi non-degenerat; gunakan ruang subterkopel alih-alih membagi dengan nol.

Jika tingkat H₀ benar-benar degenerat, pilih basis ortonormal di dalam ruang sub tersebut dan bentuk matriks Hermitian dari gangguan di sana. Nilai eigennya adalah pergeseran energi orde pertama, dan vektornya menentukan kombinasi yang mendiagonalisasi belahan utama. Untuk ruang sub dua-keadaan dengan gangguan ε[[2,1],[1,2]], kombinasi simetris dan antisimetris ternormalisasi memiliki pergeseran 3ε dan ε. Membaca hanya dua entri diagonal akan salah memprediksi dua pergeseran 2ε. Kelipatan skalar umum dari identitas menggeser kedua keadaan secara sama dan tidak memecah degenerasinya; kopling luar ruang sub dapat bermakna pada orde lebih tinggi.

Ruang sub degenerat memerlukan diagonalisasi matriks sebelum pergeseran orde pertama. Misalkan gangguan yang dibatasi pada dua keadaan adalah $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Pergeseran adalah epsilon dan 3 epsilon. Keadaan ternormalisasi adalah $(1,-1)/\sqrt2$ dan $(1,1)/\sqrt2$. Membaca hanya entri diagonal akan melewatkan pemisahan. Kopling ke tingkat lain harus tetap lemah relatif terhadap celah energinya.

Gunakan bobot keadaan ternormalisasi, jaga satuan gangguan, dan diagonalisasi blok degenerasi. Pembatalan orde pertama dan invariansi eksak adalah klaim yang berbeda.

pergeseran energi orde pertama: Koreksi gangguan lemah utama yang diberikan oleh nilai ekspektasi keadaan tak terganggu.

teori gangguan degenerat: Metode yang pertama-tama mendiagonaliskan gangguan dalam subruang degenerat tak terganggu.

Dua elektron dapat berbagi satu orbital spasial jika keadaan total spasial-spin-nya memiliki antisimetri yang diperlukan.

Prasyarat: 5, 36.

• Bangun keadaan spasial dua-orbital yang ternormalisasi, simetris, dan antisimetris
• Gabungkan simetri spasial dan spin untuk menghasilkan keadaan dua-elektron yang diizinkan
• Hitung okupansi keadaan lengkap dan tafsirkan korelasi yang diinduksi pertukaran

Untuk partikel identik, menukar setiap koordinat dan label spin mengubah fungsi gelombang total fermion dengan tanda minus dan membiarkan boson tidak berubah. Slot matematis 1 dan 2 melabeli argumen, bukan partikel yang dapat dibedakan secara permanen. Untuk dua orbital orthonormal a dan b yang berbeda, kombinasi spasialnya adalah Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonalitas membuat kombinasi ini ternormalisasi dan memberikan eigen nilai pertukaran ±1. Jika kedua orbital tersebut identik, kombinasi antisimetris secara identik nol dan rumus simetris yang ditampilkan tidak ternormalisasi dengan benar; keadaan spasial okupansi ganda hanyalah a(1)a(2). Periksa kembali normalisasi setiap kali orbital atau tumpang tindihnya berubah.

Dua partikel spin-1/2 memiliki satu singlet spin (↑↓−↓↑)/√2 dengan total spin S=0; ini antisimetris di bawah pertukaran. Tiga triplet ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 dan ↓↓ memiliki S=1 dan simetris. Elektron memerlukan keadaan total antisimetris, sehingga keadaan spasial simetris berpasangan dengan singlet, sementara keadaan spasial antisimetris berpasangan dengan triplet. Dua elektron dalam orbital spasial yang sama dapat membentuk singlet, tetapi tidak dapat membentuk triplet di sana dalam keadaan dua-elektron sederhana ini. Eksklusi Pauli mencegah okupansi keadaan tunggal-partikel lengkap yang sama, termasuk spin. Elektron dengan spin berlawanan dalam satu orbital adalah dua keadaan lengkap yang berbeda; mendeskripsikan eksklusi sebagai satu elektron per orbital mengabaikan perbedaan ini.

Untuk dua orbital spasial a,b dan dua keadaan spin masing-masing, terdapat empat keadaan tunggal-partikel lengkap. Dua elektron identik memiliki pola okupansi choose(4,2)=6: dua singlet okupansi ganda, satu singlet orbital berbeda, dan tiga triplet orbital berbeda. Untuk tiga orbital spasial, terdapat enam keadaan lengkap dan pilih(6,2)=15 pola. Menghitung penugasan tertata melebih-lebihkan partikel identik. Bos tanpa spin dalam dua orbital sebaliknya memiliki tiga okupansi: keduanya di a, satu di masing-masing, keduanya di b. Perhitungan ini mengasumsikan tidak ada batasan energi tambahan dan keadaan tunggal-partikel yang dapat diakses yang disebutkan; membatasi total energi atau proyeksi spin mengubah subset yang diizinkan.

Keadaan spasial antisimetris memenuhi Ψ_−(x,x)=0, sehingga kepadatan posisi gabungannya hilang pada garis kesamaan. Keadaan spasial simetris tidak harus hilang di sana. Perbedaan muncul dari interferensi antara amplitudo yang ditukar, bahkan untuk partikel yang tidak berinteraksi; ini bukan gaya tolak klasik yang dijatuhkan secara terpisah. Untuk sumur dengan panjang L, pilih a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Pada x₁=L/4 dan x₂=3L/4, amplitudo spasial antisimetris adalah −2/L dan kepadatannya 4/L²; amplitudo simetrisnya nol. Ini adalah kepadatan probabilitas gabungan per dua panjang, bukan probabilitas tak berdimensi pada titik-titik eksak. Kompatibilitas spin fisik tetap menentukan kombinasi spasial mana yang digunakan oleh keadaan elektronik total.

Untuk orbital berbeda yang ortogonal a dan b, keadaan spasial simetris dan antisimetris adalah

Keadaan total dua elektron harus antisimetris terhadap pertukaran posisi dan spin sekaligus. Dengan demikian, ruang simetris berpasangan dengan singlet spin; ruang antisimetris berpasangan dengan triplet spin. Jika kedua elektron menempati a, produk spasialnya simetris dan hanya spin singlet yang diperbolehkan. Rumus normalisasi orbital berbeda tidak dapat sekadar digunakan kembali untuk a = b.

Tukar semua argumen spasial dan spin. Jangan keliru antara ruang antisimetris dengan keadaan total antisimetris, atau gunakan faktor √2 orbital berbeda untuk dua orbital identik.

singlet spin: Keadaan antispin-1/2 antisimetris dengan total spin S=0.

Determinan Slater: Konstruksi fermionik antisimetris dari keadaan satu-partikel lengkap; keadaan duplikat membuatnya menjadi nol.

A bound wavefunction can extend outside a finite well 有限深势阱 even though the particle’s energy is below the external potential.

Prerequisites: 5, 24, 37.

• Match decaying finite-well states and derive parity-dependent quantisation conditions
• Interpret dimensionless bound-state roots and distinguish confinement from scattering
• Use hydrogenic quantum numbers, angular momentum and radial probability measures

Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

For an even bound state 束缚态 write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

A finite well has V = -V0 for $|x|<a$ and zero outside. A bound energy lies strictly between -V0 and zero. Define

Even parity gives an interior cosine and decaying tails. Matching value and derivative at a gives Odd parity instead gives $-k\cot(ka)=\kappa$. Solve only within valid parity intervals; a root at a tangent pole is not a bound state.

Use the declared potential zero, match ψ′ as well as ψ, and include the radial shell measure. A bound tail and a continuum travelling wave have different energy regimes.

bound state: Normalisable stationary state with confined probability and discrete energy in the specified model.

radial probability density 径向概率密度: Probability per radial distance, including the spherical-shell measure after angular integration.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

Puncak spektrum, fluksi radiasi total, dan energi transisi atom adalah tiga observabel yang berbeda.

Prasyarat: 7, 9, 34.

• Bedakan puncak spektrum panjang gelombang, radiasi terintegrasi, dan energi foton
• Turunkan penskalaan jari-jari Bohr dan energi di bawah asumsi satu-elektron
• Hitung transisi Coulomb-ion, batas seri dan ambang ionisasi

Untuk radiasi kesetimbangan termal ideal, kecerahan spektral panjang gelombang Planck adalah B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ adalah per interval panjang gelombang dan per sudut ruang, bukan daya total. Fluks spektral permukaan hemisfer benda hitam adalah M_λ=πB_λ; mengintegrasikan seluruh panjang gelombang menghasilkan σ_SB T⁴. Semua suhu adalah Kelvin absolut. Puncak panjang gelombang mematuhi λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. Spektrum per frekuensi memiliki puncak berbeda karena B_ν dν dan B_λ dλ mencakup Jacobian; c/λ_max bukanlah frekuensi puncak dari B_ν. Meningkatkan T memindahkan puncak panjang gelombang lebih pendek dan meningkatkan fluks terintegrasi sebesar T⁴, bukan hanya oleh rasio posisi puncak.

Untuk permukaan abu-abu seragam awal dengan luas A dan emisivitas ε yang tidak bergantung pada panjang gelombang, daya radiatif bersih ke lingkungan seragam besar adalah εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) di bawah asumsi faktor pandangan yang disebutkan. Gunakan σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Emisivitas yang bervariasi secara spektral atau lingkungan yang tidak lengkap memerlukan model yang lebih rinci. Foton pada panjang gelombang tertentu memiliki E=hc/λ, nyaman sekitar 1240 eV·nm/λ_nm. Spektrum termal mengandung banyak energi foton; foton pada puncak panjang gelombang bukan energi rata-rata setiap foton. Untuk T=3000 K, λ_max≈966 nm; energi fotonya sekitar 1.284 eV. Permukaan dengan A=2×10⁻⁴ m² dan ε=0.5 memancarkan 459.27 W ke lingkungan yang sangat dingin.

Dalam model Bohr satu elektron historis dengan inti berat bermuatan Ze, gaya Coulomb m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) dan momentum sudut m_e vr=n$\hbar$ menghasilkan r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n dan E_n≈−13.6Z²/n² eV. Radius berskala dengan n²/Z sementara energi ikatan berskala dengan Z²/n²; jangan gunakan pangkat muatan yang sama dalam keduanya. Asumsi orbit melingkar ini adalah model penskalaan historis. Momentum sudut mekanika gelombang adalah √[l(l+1)]$\hbar$ dengan l=0,…,n−1, sehingga orbital s1 memiliki nol momentum sudut orbital alih-alih nilai n$\hbar$ Bohr. Koreksi massa tereduksi mengganti m_e dengan μ: radius Coulomb berskala sebagai 1/μ dan energi sebagai μ. Penyaringan multi-elektron, koreksi relativistik Z-besar dan struktur halus berada di luar model sederhana.

Untuk emisi ni→nf dengan ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Konversikan selisih positif ini menjadi λ≈1240/E_γ nm. Ionisasi dari n memerlukan energi 13.6Z²/n² eV untuk mencapai nol kontinum. Penyerapan membalik urutan tingkat dan membutuhkan energi foton masuk positif yang sesuai. Untuk seri yang berakhir pada nf tetap, energi foton terikat-terikat terbesar terjadi saat ni→∞, memberikan E_limit=13.6Z²/nf² dan panjang gelombang seri terpendek. Untuk helium satu elektron Z=2, n=3→2 memberikan 7.5556 eV dan λ≈164.12 nm. Radius Bohr n=3 adalah 4.5a₀; radius ini menggambarkan orbit historis, bukan modus radial universal untuk setiap l pada n=3.

Hukum Wien merujuk pada puncak kepadatan panjang gelombang dari spektrum benda hitam.

Foton pada panjang gelombang tersebut memiliki energi Sumber memancarkan distribusi energi foton. Fluks permukaan terintegrasinya adalah $\sigma T^4$, dan puncak kepadatan frekuensi tidak diperoleh dengan sekadar menggunakan c dibagi panjang gelombang puncak ini.

Deklarasikan densitas panjang gelombang atau frekuensi, gunakan Kelvin untuk pangkat empat, dan bedakan transisi dari ionisasi. Jari-jari Bohr melingkar dan momentum sudut bukanlah radius dan L setiap orbital gelombang.

kecerahan spektral: Intensitas radiasi per area proyeksi, sudut ruang, dan interval spektral yang ditentukan.

batas seri: Energi foton terikat-terikat atau panjang gelombang limit saat tingkat awal mendekati kontinum untuk tingkat akhir tetap.

Dua pengamat dapat berbeda pendapat tentang peristiwa mana dari dua peristiwa yang terjadi lebih dulu, dan keduanya bisa benar.

Prasyarat: 22.

• Transformasikan pemisahan peristiwa dan identifikasi pembacaan panjang sejati versus titik akhir simultan
• Terapkan penjumlahan kecepatan relativistik dan periksa invarian vektor empat
• Klasifikasikan tanda interval untuk mengurutkan peristiwa dan menyingkirkan kontak kausal

Gunakan transformasi Lorentz dengan gerakan kerangka yang dideklarasikan: jika kerangka S′ bergerak pada +v sepanjang x relatif terhadap S, maka x′=γ(x−vt) dan t′=γ(t−vx/c²) dengan γ=1/sqrt(1−v²/c²). Terapkan pada pemisahan peristiwa Δx dan Δt, bukan hanya koordinat tunggal. Dua peristiwa yang simultan dalam S (Δt=0) di tempat berbeda memiliki Δt′=−γvΔx/c²: peristiwa yang lebih jauh ke arah +x terjadi lebih awal dalam S′. Kesimultanan bergantung pada kerangka, bukan kesalahan pencatatan.

Panjang batang yang bergerak harus dibaca dari posisi kedua ujung pada waktu laboratorium yang sama (Δt=0). Maka Δx′=γΔx memberikan L=L0/γ dengan L0 sebagai panjang sejati (kerangka diam). Membaca kedua ujung secara simultan dalam kerangka batang tidak menghasilkan panjang laboratorium; dua kondisi pembacaan menjawab pertanyaan yang berbeda. Nyatakan kerangka dan kondisi pembacaan sebelum mengutip nilai panjang apa pun.

Interval s²=c²Δt²−Δx² (konvensi mostly-minus, dideklarasikan sekali) adalah invarian. s²>0 bersifat waktu-like: terdapat kerangka di mana peristiwa berada pada posisi yang sama, dan Δτ=s/c adalah waktu sejati di antaranya. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Kecepatan kolinear ditambahkan sebagai u=(u′+v)/(1+u′v/c²); penyebut menjaga u<c untuk setiap u′,v<c, dan u′=c menghasilkan u=c persis. Energi dan momentum membentuk vektor empat dengan invarian E²−p²c²=m²c⁴: hitung dalam kerangka yang paling nyaman. Periksa setiap hasil dalam batas non-relativistik, di mana aturan penjumlahan menyederhanakan menjadi u=u′+v dan invarian menyederhanakan menjadi energi diam.

Dua peristiwa laboratorium memiliki Delta x = 900 m dan Delta t = 2 mikrodetik. Interval ruang-waktu mereka bersifat ruang-like karena c Delta t = 600 m kurang dari Delta x. Kerangka yang membuat keduanya simultan memenuhi

Pemisahan mereka dalam kerangka tersebut adalah $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Tidak ada kerangka yang dapat menempatkan peristiwa ruang-like ini pada posisi yang sama.

Mengutip L=L0/γ tanpa kondisi ujung simultan, atau menambahkan kecepatan sebagai u=u′+v pada kecepatan relativistik. Perbedaan simultaneitas adalah fisik, bukan kesalahan.

interval ruang-waktu: Kombinasi invarian c²Δt²−Δx² di bawah konvensi tanda yang dideklarasikan, yang tandanya mengklasifikasikan pemisahan peristiwa.

panjang sejati: Pemisahan titik akhir yang diukur dalam kerangka diam benda; kerangka lain harus membaca kedua titik akhir secara simultan pada waktunya sendiri.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

Sinar foton tidak memiliki jangkauan pasti, sedangkan partikel bermuatan berat memilikinya; perhitungan perisai akan gagal jika keduanya saling ditukar.

Prasyarat: 7, 17, 21.

• Bedakan penghentian dan jangkauan partikel bermuatan dengan peredaman eksponensial foton
• Hitung intensitas teredam dan jumlah deteksi dengan koefisien yang diberikan
• Jelaskan emisi terstimulasi, inversi populasi dan kondisi resonansi rongga optik

Partikel bermuatan berat kehilangan energi secara terus-menerus melalui banyak tumbukan kecil, sehingga memiliki jangkauan perkiraan: di bawah model kehilangan konstan, partikel dengan energi awal E0 dan laju kehilangan dE/dx berhenti setelah menempuh jarak E0/(dE/dx). Elektron mengalami lebih banyak fluktuasi dan memancarkan radiasi. Sebaliknya, foton berinteraksi dalam peristiwa tunggal, sehingga sinar sempit teredam secara eksponensial sebagai I=I0 e^(−μx) tanpa kedalaman maksimum tertentu; lapisan setengah nilai adalah ln2/μ.

Terapkan rumus eksponensial hanya pada geometri sinar sempit yang disebutkan: μ=0.2 /cm memberikan lapisan setengah nilai 3.47 cm dan I/I0=e^(−2)≈0.135 setelah 10 cm. Kalikan dengan efisiensi detektor untuk jumlah terekam: dengan μx=ln4 dan ε=0.25, fraksi terekam adalah 0.25×1/4=1/16. Penambahan dari foton hamburan membuat perisai sinar lebar meneruskan lebih banyak daripada eksponensial sinar sempit; nyatakan geometrinya.

Emisi terstimulasi menghasilkan foton yang sesuai dengan foton stimulan dalam frekuensi, arah, dan fase, memberikan penguatan koheren. Ini bersaing dengan absorpsi; penguatan bersih memerlukan inversi populasi N2/g2>N1/g1 (N2>N1 untuk degenerasi yang sama). Kesetimbangan suhu positif memiliki N2/g2<N1/g1 oleh faktor Boltzmann, sehingga sistem dua tingkat dalam kesetimbangan tidak dapat menghasilkan laser berkelanjutan; laser praktis memompa tingkat ketiga atau keadaan metastabil.

Rongga linear sepanjang L mendukung mode berdiri dengan L=mλ/2, yaitu frekuensi ν_m=mc/(2L) dengan jarak c/(2L): untuk L=30 cm, jaraknya adalah 500 MHz. Penguatan harus melebihi rugi-rugi perjalanan bolak-balik untuk osilasi. Interferometer seperti Michelson menggunakan koherensi yang sama: jumlah garis interferensi melacak perubahan jalur optik, seperti dalam pengukuran sel gas.

Sinar sempit memiliki peredaman $I=I_0e^{-\mu x}$ dan lapisan setengah nilai $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Tiga lapisan setengah nilai meneruskan 1/8. Model ini mengecualikan penambahan hamburan ke dalam detektor. Untuk rongga vakum laser linear, mode longitudinal berdekatan terpisah oleh $c/(2L)$. Penguatan net terstimulasi memerlukan $N_2/g_2>N_1/g_1$; pendekatan sederhana $N_2>N_1$ mengasumsikan degenerasi yang sama.

Menetapkan jangkauan pasti bagi foton atau hukum eksponensial tunggal bagi partikel bermuatan, dan melupakan bahwa populasi dua tingkat kesetimbangan tidak dapat terbalik. Periksa model interaksi mana yang diperlukan oleh spesies berkas.

lapisan nilai setengah: Ketebalan material yang mengurangi intensitas sinar yang tereduksi secara eksponensial menjadi separuhnya, sama dengan ln2/μ.

inversi populasi: Keadaan non-kesetimbangan dengan lebih banyak partikel di tingkat laser atas daripada di tingkat bawah, memungkinkan emisi terstimulasi bersih.

Memutar kristal dalam sinar-X memetakan bidang atomnya, karena refleksi konstruktif hanya terjadi pada sudut diskrit.

Prasyarat: 8, 36.

• Terapkan kondisi Bragg untuk menemukan jarak bidang atau sudut difraksi
• Perkirakan energi Fermi elektron bebas dan suhu Fermi
• Bedakan kontribusi kapasitas panas elektronik dan kisi

Refleksi Bragg dari bidang sejajar berjarak d mengalami interferensi konstruktif ketika 2d sinθ=nλ, dengan θ diukur dari permukaan bidang (sudut menyudut), bukan dari normal. Orde pertama n=1 memberikan sudut terkecil. Untuk λ=0.154 nm dan puncak pada θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. Jika 2d<λ tidak ada orde; nilai sinus harus tetap ≤ 1.

Dalam kristal kubik, jarak bidang (hkl) adalah d=a/sqrt(h²+k²+l²) dengan konstanta kisi a; bidang (110) memberikan a/√2. Sudut Bragg terukur oleh karena itu mengukur konstanta kisi. Absensi sistematis dari basis (misalnya kisi berpusat badan hilang saat h+k+l ganjil) membawa informasi struktur melampaui rumus jarak.

Model elektron bebas mengisi N elektron konduksi ke keadaan hingga vektor gelombang Fermi k_F=(3π²n)^(1/3) untuk kerapatan bilangan n, menghasilkan E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). Untuk n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV dan T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Karena T_F jauh melebihi suhu ruang, hanya sebagian kecil elektron yang tereksitasi termal dengan ordo T/T_F.

Logam memiliki dua suku kapasitas panas suhu rendah: suku elektronik γT linear terhadap T dan suku kisi (Debye) βT³. Mengplot C/T terhadap T² memberikan intersep γ dan kemiringan β. Pada suhu ruang bagian kisi mendekati nilai Dulong–Petit klasik dan mendominasi; suku elektronik relevan pada suhu rendah, di mana suku kisi T³ runtuh lebih cepat.

Difraksi Bragg menggunakan sudut theta dari bidang kristal, bukan dari normalnya.

Kapasitas panas logam suhu rendah memiliki suku elektronik dan kisi terpisah: Graf C/T terhadap T kuadrat memiliki titik potong gamma dan kemiringan beta. Garis lurus mengidentifikasi rezim model ini.

Mengukur θ dari garis normal bidang alih-alih dari bidang, atau mengasumsikan seluruh kapasitas panas suhu rendah sebagai elektronik. Kondisi sine dan dekomposisi dua suku adalah tempat perhitungan ini gagal.

Kondisi Bragg: Refleksi konstruktif dari bidang kisi ketika 2d sinθ=nλ, dengan θ diukur dari bidang.

Energi Fermi: Energi elektron tertinggi yang terisi pada suhu nol dalam model elektron bebas.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Writing the Laplacian of a radial function as f″ drops a term; the operator belongs to the coordinates, not the symbol.

Prerequisites: Algebra, differentiation and vector components.

• Use the divergence 散度 and Laplacian in the coordinate system selected by the symmetry
• Solve a simple separated boundary-value mode problem
• Check convergence, units and stability of an original numerical update

Choose coordinates by symmetry before writing operators. For a radial function in spherical coordinates, ∇²f=f″+(2/r)f′, and the divergence of a radial field A=A_r r̂ is (1/r²)d(r²A_r)/dr. Check: A=k r̂/r² has divergence (1/r²)dk/dr=0 away from the origin, and f=1/r satisfies ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 away from the origin. Cartesian forms apply only to Cartesian dependences.

Separation of variables 分离变量法 turns a boundary-value problem into ordinary modes. For a string fixed at both ends, write u=X(x)T(t); the wave equation gives X″/X=(1/c²)T″/T=−k², the fixed ends force X=sin(nπx/L), and the allowed frequencies are ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Each mode must satisfy the boundary conditions before any sum over modes.

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

A spherical radial field has divergence

For $A_r=Cr$, it gives 3C, not C. Fixed string ends require $X(0)=X(L)=0$, hence $X_n=\sin(n\pi x/L)$ with positive integer n. Euler for $\dot y=-\lambda y$ gives $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. For positive h, bounded absolute stability permits $h\leq2/\lambda$; decay to zero requires the strict inequality $0<h<2/\lambda$. At the upper endpoint the numerical solution alternates without decay. Stability does not establish accuracy.

Applying the Cartesian Laplacian to a radial function, summing modes that violate the boundary conditions, or calling a bounded-looking run converged without refining the step. Match operator, boundaries and stability condition 稳定性条件 to the actual problem.

separation of variables: Solving a partial differential equation by writing the unknown as a product of single-variable factors.

stability condition: The step-size restriction that keeps a numerical recurrence from amplifying errors.