RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

Dua pengamat dapat berbeda pendapat tentang peristiwa mana dari dua peristiwa yang terjadi lebih dulu, dan keduanya bisa benar.

Prasyarat: 22.

• Transformasikan pemisahan peristiwa dan identifikasi pembacaan panjang sejati versus titik akhir simultan
• Terapkan penjumlahan kecepatan relativistik dan periksa invarian vektor empat
• Klasifikasikan tanda interval untuk mengurutkan peristiwa dan menyingkirkan kontak kausal

Gunakan transformasi Lorentz dengan gerakan kerangka yang dideklarasikan: jika kerangka S′ bergerak pada +v sepanjang x relatif terhadap S, maka x′=γ(x−vt) dan t′=γ(t−vx/c²) dengan γ=1/sqrt(1−v²/c²). Terapkan pada pemisahan peristiwa Δx dan Δt, bukan hanya koordinat tunggal. Dua peristiwa yang simultan dalam S (Δt=0) di tempat berbeda memiliki Δt′=−γvΔx/c²: peristiwa yang lebih jauh ke arah +x terjadi lebih awal dalam S′. Kesimultanan bergantung pada kerangka, bukan kesalahan pencatatan.

Panjang batang yang bergerak harus dibaca dari posisi kedua ujung pada waktu laboratorium yang sama (Δt=0). Maka Δx′=γΔx memberikan L=L0/γ dengan L0 sebagai panjang sejati (kerangka diam). Membaca kedua ujung secara simultan dalam kerangka batang tidak menghasilkan panjang laboratorium; dua kondisi pembacaan menjawab pertanyaan yang berbeda. Nyatakan kerangka dan kondisi pembacaan sebelum mengutip nilai panjang apa pun.

Interval s²=c²Δt²−Δx² (konvensi mostly-minus, dideklarasikan sekali) adalah invarian. s²>0 bersifat waktu-like: terdapat kerangka di mana peristiwa berada pada posisi yang sama, dan Δτ=s/c adalah waktu sejati di antaranya. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Kecepatan kolinear ditambahkan sebagai u=(u′+v)/(1+u′v/c²); penyebut menjaga u<c untuk setiap u′,v<c, dan u′=c menghasilkan u=c persis. Energi dan momentum membentuk vektor empat dengan invarian E²−p²c²=m²c⁴: hitung dalam kerangka yang paling nyaman. Periksa setiap hasil dalam batas non-relativistik, di mana aturan penjumlahan menyederhanakan menjadi u=u′+v dan invarian menyederhanakan menjadi energi diam.

Dua peristiwa laboratorium memiliki Delta x = 900 m dan Delta t = 2 mikrodetik. Interval ruang-waktu mereka bersifat ruang-like karena c Delta t = 600 m kurang dari Delta x. Kerangka yang membuat keduanya simultan memenuhi

Pemisahan mereka dalam kerangka tersebut adalah $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Tidak ada kerangka yang dapat menempatkan peristiwa ruang-like ini pada posisi yang sama.

Mengutip L=L0/γ tanpa kondisi ujung simultan, atau menambahkan kecepatan sebagai u=u′+v pada kecepatan relativistik. Perbedaan simultaneitas adalah fisik, bukan kesalahan.

interval ruang-waktu: Kombinasi invarian c²Δt²−Δx² di bawah konvensi tanda yang dideklarasikan, yang tandanya mengklasifikasikan pemisahan peristiwa.

panjang sejati: Pemisahan titik akhir yang diukur dalam kerangka diam benda; kerangka lain harus membaca kedua titik akhir secara simultan pada waktunya sendiri.