AT.3 · Thermal spectra and one-electron scaling

Puncak spektrum, fluksi radiasi total, dan energi transisi atom adalah tiga observabel yang berbeda.

Prasyarat: 7, 9, 34.

• Bedakan puncak spektrum panjang gelombang, radiasi terintegrasi, dan energi foton
• Turunkan penskalaan jari-jari Bohr dan energi di bawah asumsi satu-elektron
• Hitung transisi Coulomb-ion, batas seri dan ambang ionisasi

Untuk radiasi kesetimbangan termal ideal, kecerahan spektral panjang gelombang Planck adalah B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ adalah per interval panjang gelombang dan per sudut ruang, bukan daya total. Fluks spektral permukaan hemisfer benda hitam adalah M_λ=πB_λ; mengintegrasikan seluruh panjang gelombang menghasilkan σ_SB T⁴. Semua suhu adalah Kelvin absolut. Puncak panjang gelombang mematuhi λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. Spektrum per frekuensi memiliki puncak berbeda karena B_ν dν dan B_λ dλ mencakup Jacobian; c/λ_max bukanlah frekuensi puncak dari B_ν. Meningkatkan T memindahkan puncak panjang gelombang lebih pendek dan meningkatkan fluks terintegrasi sebesar T⁴, bukan hanya oleh rasio posisi puncak.

Untuk permukaan abu-abu seragam awal dengan luas A dan emisivitas ε yang tidak bergantung pada panjang gelombang, daya radiatif bersih ke lingkungan seragam besar adalah εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) di bawah asumsi faktor pandangan yang disebutkan. Gunakan σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Emisivitas yang bervariasi secara spektral atau lingkungan yang tidak lengkap memerlukan model yang lebih rinci. Foton pada panjang gelombang tertentu memiliki E=hc/λ, nyaman sekitar 1240 eV·nm/λ_nm. Spektrum termal mengandung banyak energi foton; foton pada puncak panjang gelombang bukan energi rata-rata setiap foton. Untuk T=3000 K, λ_max≈966 nm; energi fotonya sekitar 1.284 eV. Permukaan dengan A=2×10⁻⁴ m² dan ε=0.5 memancarkan 459.27 W ke lingkungan yang sangat dingin.

Dalam model Bohr satu elektron historis dengan inti berat bermuatan Ze, gaya Coulomb m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) dan momentum sudut m_e vr=n$\hbar$ menghasilkan r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n dan E_n≈−13.6Z²/n² eV. Radius berskala dengan n²/Z sementara energi ikatan berskala dengan Z²/n²; jangan gunakan pangkat muatan yang sama dalam keduanya. Asumsi orbit melingkar ini adalah model penskalaan historis. Momentum sudut mekanika gelombang adalah √[l(l+1)]$\hbar$ dengan l=0,…,n−1, sehingga orbital s1 memiliki nol momentum sudut orbital alih-alih nilai n$\hbar$ Bohr. Koreksi massa tereduksi mengganti m_e dengan μ: radius Coulomb berskala sebagai 1/μ dan energi sebagai μ. Penyaringan multi-elektron, koreksi relativistik Z-besar dan struktur halus berada di luar model sederhana.

Untuk emisi ni→nf dengan ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Konversikan selisih positif ini menjadi λ≈1240/E_γ nm. Ionisasi dari n memerlukan energi 13.6Z²/n² eV untuk mencapai nol kontinum. Penyerapan membalik urutan tingkat dan membutuhkan energi foton masuk positif yang sesuai. Untuk seri yang berakhir pada nf tetap, energi foton terikat-terikat terbesar terjadi saat ni→∞, memberikan E_limit=13.6Z²/nf² dan panjang gelombang seri terpendek. Untuk helium satu elektron Z=2, n=3→2 memberikan 7.5556 eV dan λ≈164.12 nm. Radius Bohr n=3 adalah 4.5a₀; radius ini menggambarkan orbit historis, bukan modus radial universal untuk setiap l pada n=3.

Hukum Wien merujuk pada puncak kepadatan panjang gelombang dari spektrum benda hitam.

Foton pada panjang gelombang tersebut memiliki energi Sumber memancarkan distribusi energi foton. Fluks permukaan terintegrasinya adalah $\sigma T^4$, dan puncak kepadatan frekuensi tidak diperoleh dengan sekadar menggunakan c dibagi panjang gelombang puncak ini.

Deklarasikan densitas panjang gelombang atau frekuensi, gunakan Kelvin untuk pangkat empat, dan bedakan transisi dari ionisasi. Jari-jari Bohr melingkar dan momentum sudut bukanlah radius dan L setiap orbital gelombang.

kecerahan spektral: Intensitas radiasi per area proyeksi, sudut ruang, dan interval spektral yang ditentukan.

batas seri: Energi foton terikat-terikat atau panjang gelombang limit saat tingkat awal mendekati kontinum untuk tingkat akhir tetap.