CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

Tegangan bandul berubah sepanjang ayunan, tetapi persamaan sudutnya dapat diturunkan tanpa menyelesaikan tegangan.

Prasyarat: 1, 47.

• Turunkan gerak Euler–Lagrange setelah menerapkan kendala holonom
• Gunakan koordinat siklik untuk mengidentifikasi momentum kanonik yang kekal
• Linierkan kesetimbangan stabil dan periksa frekuensi yang dihasilkan

Sebuah kendala menghilangkan satu koordinat independen sebelum Anda menyusun energi kinetik. Untuk bandul dengan panjang tetap, pilih θ dari vertikal ke bawah: x=l sinθ dan y=−l cosθ. Mendiferensiasikan kedua koordinat menghasilkan v²=l²θdot², bukan l² sin²θ θdot². Oleh karena itu T=ml²θdot²/2 dan V=mgl(1−cosθ), dengan potensial nol di bagian bawah. Panjang tetap adalah kendala holonom: ia merupakan hubungan antar koordinat dan mungkin waktu. Kendala kecepatan menggelinding memerlukan analisis tersendiri; jangan otomatis menganggap setiap kendala sebagai substitusi koordinat.

Untuk kendala ideal dan sistem konservatif biasa, persamaan aksi stasioner adalah d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 dengan L=T−V. Variasi hilang pada dua ujung waktu. Bandul memberikan ∂L/∂θdot=ml²θdot dan ∂L/∂θ=−mgl sinθ, sehingga ml²θddot+mgl sinθ=0. Turunan momentum bekerja pada setiap faktor yang bergantung waktu: untuk jari-jari yang berubah, d(mr²θdot)/dt mengandung 2mr rdot θdot. Metode variasional tidak berarti energi mekanik kekal dalam sistem yang bergantung waktu.

Untuk gerak pusat planar, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Sudut θ adalah siklik karena L tidak memiliki ketergantungan eksplisit pada θ, meskipun L bergantung pada θdot. Momentum kanoniknya pθ=mr²θdot adalah konstan. Persamaan radial adalah m rddot=mrθdot²−dV/dr. Suku pertama adalah bagian dari percepatan koordinat, bukan gaya riil keluar baru dalam kerangka inersia. Kekekalan pθ membuat kecepatan sudut meningkat saat r berkurang; kecepatan sudut konstan adalah situasi berbeda yang digerakkan secara eksternal.

Dekat kesetimbangan stabil q0, ekspansi V hingga orde kedua dan gunakan inersia lokal konstan M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Maka frekuensi perpindahan kecil adalah sqrt(V″/M). Untuk pendulum sinθ≈θ dalam radian, sehingga ω=sqrt(g/l); pendekatan ini memerlukan amplitudo kecil. V″ negatif memberikan ketidakstabilan, bukan osilasi dengan frekuensi terukur imajiner. Periksa persamaan nonlinear penuh terlebih dahulu, kemudian nyatakan pendekatan dan bandingkan satuan: V″/M harus memiliki satuan kebalikan kuadrat waktu.

Untuk panjang pendulum tetap l, gunakan theta dari vertikal bawah: x = l sin theta, y = -l cos theta. Kedua kecepatan Kartesius menghasilkan $T=ml^2\dot\theta^2/2$ dan $V=mgl(1-\cos\theta)$. Persamaan Euler-Lagrange— adalah

Bagi dengan $ml^2$ sebelum melinierkan: Pendekatan ini menggunakan radian. Variasi titik akhir hilang dalam derivasi aksi stasioner.

Koordinat siklis tidak ada dalam L itu sendiri; kecepatannya tidak perlu hilang. Jangan buang turunan waktu dari faktor r² yang berubah.

kondisi holonomik: Kondisi yang dapat dinyatakan sebagai hubungan di antara koordinat dan mungkin waktu.

koordinat siklik: Koordinat yang tidak muncul secara eksplisit dalam Lagrangian, dengan momentum kanonik yang kekal di bawah persamaan Euler–Lagrange.