CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

Seseorang yang berdiri diam di atas platform yang berputar memerlukan gaya nyata ke dalam, meskipun percepatan relatif terhadap platformnya nol.

Prasyarat: 26.

• Transformasikan percepatan dengan suku kerangka yang mentranslasikan dan berotasi
• Tentukan arah sentrifugal, Coriolis, dan Euler dari perkalian silang
• Pisahkan gaya semu dari interaksi nyata dan uji batas inersia

Dalam kerangka yang mentranslasikan dengan percepatan asal A, persamaan Newton menjadi m a′=F_real−mA. Lift yang dipercepat ke atas oleh karena itu memiliki N−mg=ma dalam kerangka tanah, atau N−mg−ma=0 untuk penumpang diamnya dalam kerangka lift. Ini adalah prediksi yang sama. Suku tambahan adalah gaya semu yang disebabkan oleh koordinat yang dipercepat yang dipilih; itu bukan kontak baru dengan benda lain. Translasi seragam dengan A=0 mengubah kecepatan tetapi tidak memerlukan gaya semu.

Untuk basis berputar, menurunkan vektor menambahkan Ω×vektor tersebut. Menerapkannya dua kali menghasilkan a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Di sini r dan v′ diukur relatif terhadap titik asal yang bergerak dalam sumbu berputarnya; semua vektor dalam perhitungan harus dinyatakan dalam basis yang sama pada saat yang sama. Pindahkan tiga suku rotasi terakhir ke sisi gaya untuk memperoleh Coriolis −2mΩ×v′, sentrifugal −mΩ×(Ω×r), dan Euler −mΩdot×r. Rotasi konstan menghilangkan suku Euler, bukan suku Coriolis.

Ambil Ω sepanjang +z, platform berputar berlawanan arah jarum jam dilihat dari atas, dan partikel di r sepanjang +x. Gaya sentrifugal sepanjang +x dengan besaran mΩ²r. Jika partikel bergerak keluar dengan v′ sepanjang +x, maka Ω×v′ adalah +y, sehingga gaya Coriolis mengarah −y. Membalik kecepatan relatif membalik Coriolis; mempertahankan v′=0 membuatnya hilang. Coriolis tegak lurus terhadap v′ dan tidak melakukan kerja instan pada gerakan relatif tersebut. Gaya sentrifugal menjauhi sumbu rotasi, tidak selalu menjauhi titik asal yang dipilih dalam posisi tiga dimensi sembarang.

Benda yang diam di platform memiliki a′=v′=0. Dengan rotasi konstan dan titik asal tetap, gaya nyatanya harus mΩ×(Ω×r), ke dalam, meniadakan suku tampak keluar dalam persamaan berputar. Jika rotasi berubah, gaya nyata tangensial juga harus menyeimbangkan suku Euler. Selalu periksa Ω→0 dan A→0: gerakan Newtonian inersia biasa harus kembali. Jangan campurkan persyaratan sentripetal nyata yang masuk dengan reaksi nyata tambahan yang keluar pada benda yang sama; pasangan interaksi berada dalam diagram benda bebas terpisah.

Dalam kerangka berputar, gaya Coriolis menggunakan kecepatan relatif.

Untuk m = 2 kg, Omega = 2 rad/s sepanjang z, r = 1 m sepanjang x dan v' = 3 m/s sepanjang x, Gaya Euler nol hanya karena Omega konstan. Ini adalah suku koordinat, bukan kontak fisik tambahan.

Kecepatan relatif v′ masuk dalam suku Coriolis. Menggunakan kecepatan inersia penuh menghitung rotasi dua kali.

Gaya Coriolis: Gaya kerangka berputar tampak −2mΩ×v′ yang disebabkan oleh gerakan relatif.

gaya sentrifugal: Gaya kerangka berputar tampak −mΩ×(Ω×r), mengarah menjauhi sumbu rotasi.