Kendala, persamaan variasional dan koordinat siklik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | kendala holonomik |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | koordinat siklik |
Keputusan sebelum jawaban
- Tegangan pendulum berubah sepanjang ayunan, namun persamaan sudutnya dapat diturunkan tanpa menyelesaikan tegangan.
- Tujuan Anda: Turunkan gerak Euler–Lagrange setelah menerapkan kendala holonom.
Pilih koordinat independen
- Kendala menghilangkan satu koordinat independen sebelum Anda menyusun energi kinetik. Untuk pendulum panjang tetap, pilih θ dari vertikal ke bawah: x=l sinθ dan y=−l cosθ. Mendiferensiasikan kedua koordinat memberikan v²=l²θdot², bukan l² sin²θ θdot².
- Sehingga T=ml²θdot²/2 dan V=mgl(1−cosθ), dengan potensial nol di bagian bawah. Panjang tetap adalah kendala holonom: ini adalah hubungan antar koordinat dan mungkin waktu. Kendala kecepatan gulung memerlukan analisis tersendiri; jangan otomatis menganggap setiap kendala sebagai substitusi koordinat.
For a pendulum angle θ measured from downward vertical, which kinetic energy uses both Cartesian velocity components?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding xdot² and ydot² gives l²θdot².
Turunkan persamaannya
- Untuk kendala ideal dan sistem konservatif biasa, persamaan aksi stasioner adalah d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 dengan L=T−V. Variasi hilang pada dua ujung waktu. Pendulum memberikan ∂L/∂θdot=ml²θdot dan ∂L/∂θ=−mgl sinθ, sehingga ml²θddot+mgl sinθ=0.
- Turunan momentum bekerja pada setiap faktor bergantung waktu: untuk jari-jari yang bervariasi, d(mr²θdot)/dt mengandung 2mr rdot θdot. Metode variasional tidak berarti energi mekanik kekal dalam sistem bergantung waktu.
In L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r), which statement follows from the cyclic angle?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∂L/∂θ=0 gives d(mr²θdot)/dt=0; radius and angular speed may change.
Temukan momentum siklik
- Untuk gerak pusat planar, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). Sudut θ adalah siklik karena L tidak memiliki ketergantungan eksplisit θ, meskipun L bergantung pada θdot. Momentum kanoniknya pθ=mr²θdot adalah konstan. Persamaan radial adalah m rddot=mrθdot²−dV/dr.
- Suku pertama adalah bagian dari percepatan koordinat, bukan gaya riil baru ke luar dalam kerangka inersia. Kekekalan pθ membuat kecepatan sudut meningkat saat r berkurang; kecepatan sudut konstan adalah situasi berbeda yang digerakkan oleh eksternal.
Dengan l=2 m dan g=10 m/s², θddot=−5 sinθ. Pada θ=0.10 rad percepatan eksak adalah −0.4992 rad/s², mendekati −0.500 dari linearisasi. Periode sudut kecil adalah 2π/sqrt(5)=2.810 s. Untuk orbit gaya pusat, mengecilkan r dari 3 m ke 1.5 m saat pθ kekal mengalikan θdot dengan 4, bukan 2.
For V=9q²/2 and local inertia M=1, small-oscillation angular frequency is ____ rad/s.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
V″=9 and sqrt(9/1)=3.
Linearisasi dengan kondisi
- Di sekitar kesetimbangan stabil q0, ekspansi V hingga ordo kedua dan gunakan inersia lokal konstan M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Maka frekuensi perpindahan kecil adalah sqrt(V″/M). Untuk pendulum sinθ≈θ dalam radian, sehingga ω=sqrt(g/l); pendekatan ini memerlukan amplitudo kecil.
- V″ negatif memberikan ketidakstabilan, bukan osilasi dengan frekuensi terukur imajiner. Periksa persamaan nonlinier penuh terlebih dahulu, kemudian nyatakan pendekatan dan bandingkan satuan: V″/M harus memiliki satuan kebalikan kuadrat waktu.
Koordinat siklis tidak ada dalam L itu sendiri; kecepatannya tidak perlu hilang. Jangan buang turunan waktu dari faktor r² yang berubah.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Turunkan gerak Euler–Lagrange setelah menerapkan kendala holonomik
The small-angle pendulum approximation is unchanged if the angle is inserted numerically in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ requires radians; a degree value needs conversion.
Jaga pembedaan
- kendala holonomik — Kendala yang dapat dinyatakan sebagai hubungan antar koordinat dan mungkin waktu.
- koordinat siklis — Koordinat yang tidak muncul secara eksplisit dalam Lagrangian, dengan momentum kanonik terkonservasi di bawah persamaan Euler–Lagrange.
- Turunkan gerak Euler–Lagrange setelah menerapkan kendala holonomik.
- Gunakan koordinat siklis untuk mengidentifikasi momentum kanonik yang terkonservasi.
- Linearisasikan kesetimbangan stabil dan periksa frekuensi yang dihasilkan.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.