QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

Pergeseran energi orde pertama nol dapat berdampingan dengan perubahan keadaan dan pergeseran orde tinggi yang bukan nol.

Prasyarat: 5, 24.

• Hitung pergeseran energi orde pertama non-degenerat sebagai nilai harapan ternormalisasi
• Gunakan simetri dan elemen matriks untuk menilai batas kopling lemah
• Diagonalisasikan gangguan dalam ruang sub degenerat yang tepat

Misalkan H=H₀+λW, di mana λ adalah parameter tak berdimensi kecil dan keadaan eigen dari H₀ diketahui serta ternormalisasi. Untuk tingkat non-degenerat n, koreksi energi orde pertama adalah λ⟨n|W|n⟩. Dalam ruang posisi ini adalah λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx untuk potensial multiplikatif, dengan integrasi atas domain yang diizinkan. Nilai potensial pada satu titik bukanlah nilai harapan; kepadatan probabilitas keadaan membobot seluruh domain. Untuk sumur tak hingga 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Refleksi terhadap pusatnya membuat ⟨x⟩=L/2, sehingga potensi tambahan lemah γx memiliki pergeseran γL/2 untuk setiap tingkat sumur non-degenerat pada orde pertama. γ memiliki satuan energi per panjang.

Untuk gangguan ganjil terhadap pusat, seperti γ(x−L/2), kepadatan probabilitas keadaan eigen sumur tak terganggu adalah genap, sehingga ekspektasi diagonalnya hilang. Gangguan kuadratik terpusat η(x−L/2)² sebaliknya memberikan pergeseran ηL²[1/12−1/(2π²n²)], yang positif untuk η>0 dan bergantung pada n. Paritas membuat integral orde pertama menjadi nol hanya untuk simetri keadaan dan operator yang ditentukan. Elemen matriks off-diagonal masih dapat mengubah fungsi gelombang. Jangan ubah pembatalan simetri menjadi klaim bahwa setiap koreksi energi hilang atau bahwa keadaan asli tetap eksak.

Untuk keadaan non-degenerat, admixture utama dari keadaan tak terganggu lainnya m sebanding dengan λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Oleh karena itu, kondisi kekecilan yang berguna membandingkan elemen matriks kopling dengan pemisahan tingkat yang relevan, bukan hanya dengan nol energi absolut sembarang. Hingga orde kedua, koreksi energi mengandung Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Untuk keadaan non-degenerat terendah, semua penyebut ini negatif, sehingga koreksi orde kedua tidak positif dalam model ini. Mendekati degenerasi, penyebut kecil mengalahkan ekspansi non-degenerat; gunakan ruang subterkopel alih-alih membagi dengan nol.

Jika tingkat H₀ benar-benar degenerat, pilih basis ortonormal di dalam ruang sub tersebut dan bentuk matriks Hermitian dari gangguan di sana. Nilai eigennya adalah pergeseran energi orde pertama, dan vektornya menentukan kombinasi yang mendiagonalisasi belahan utama. Untuk ruang sub dua-keadaan dengan gangguan ε[[2,1],[1,2]], kombinasi simetris dan antisimetris ternormalisasi memiliki pergeseran 3ε dan ε. Membaca hanya dua entri diagonal akan salah memprediksi dua pergeseran 2ε. Kelipatan skalar umum dari identitas menggeser kedua keadaan secara sama dan tidak memecah degenerasinya; kopling luar ruang sub dapat bermakna pada orde lebih tinggi.

Ruang sub degenerat memerlukan diagonalisasi matriks sebelum pergeseran orde pertama. Misalkan gangguan yang dibatasi pada dua keadaan adalah $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Pergeseran adalah epsilon dan 3 epsilon. Keadaan ternormalisasi adalah $(1,-1)/\sqrt2$ dan $(1,1)/\sqrt2$. Membaca hanya entri diagonal akan melewatkan pemisahan. Kopling ke tingkat lain harus tetap lemah relatif terhadap celah energinya.

Gunakan bobot keadaan ternormalisasi, jaga satuan gangguan, dan diagonalisasi blok degenerasi. Pembatalan orde pertama dan invariansi eksak adalah klaim yang berbeda.

pergeseran energi orde pertama: Koreksi gangguan lemah utama yang diberikan oleh nilai ekspektasi keadaan tak terganggu.

teori gangguan degenerat: Metode yang pertama-tama mendiagonaliskan gangguan dalam subruang degenerat tak terganggu.