QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Dua elektron dapat berbagi satu orbital spasial jika keadaan total spasial-spin-nya memiliki antisimetri yang diperlukan.

Prasyarat: 5, 36.

• Bangun keadaan spasial dua-orbital yang ternormalisasi, simetris, dan antisimetris
• Gabungkan simetri spasial dan spin untuk menghasilkan keadaan dua-elektron yang diizinkan
• Hitung okupansi keadaan lengkap dan tafsirkan korelasi yang diinduksi pertukaran

Untuk partikel identik, menukar setiap koordinat dan label spin mengubah fungsi gelombang total fermion dengan tanda minus dan membiarkan boson tidak berubah. Slot matematis 1 dan 2 melabeli argumen, bukan partikel yang dapat dibedakan secara permanen. Untuk dua orbital orthonormal a dan b yang berbeda, kombinasi spasialnya adalah Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Orthogonalitas membuat kombinasi ini ternormalisasi dan memberikan eigen nilai pertukaran ±1. Jika kedua orbital tersebut identik, kombinasi antisimetris secara identik nol dan rumus simetris yang ditampilkan tidak ternormalisasi dengan benar; keadaan spasial okupansi ganda hanyalah a(1)a(2). Periksa kembali normalisasi setiap kali orbital atau tumpang tindihnya berubah.

Dua partikel spin-1/2 memiliki satu singlet spin (↑↓−↓↑)/√2 dengan total spin S=0; ini antisimetris di bawah pertukaran. Tiga triplet ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 dan ↓↓ memiliki S=1 dan simetris. Elektron memerlukan keadaan total antisimetris, sehingga keadaan spasial simetris berpasangan dengan singlet, sementara keadaan spasial antisimetris berpasangan dengan triplet. Dua elektron dalam orbital spasial yang sama dapat membentuk singlet, tetapi tidak dapat membentuk triplet di sana dalam keadaan dua-elektron sederhana ini. Eksklusi Pauli mencegah okupansi keadaan tunggal-partikel lengkap yang sama, termasuk spin. Elektron dengan spin berlawanan dalam satu orbital adalah dua keadaan lengkap yang berbeda; mendeskripsikan eksklusi sebagai satu elektron per orbital mengabaikan perbedaan ini.

Untuk dua orbital spasial a,b dan dua keadaan spin masing-masing, terdapat empat keadaan tunggal-partikel lengkap. Dua elektron identik memiliki pola okupansi choose(4,2)=6: dua singlet okupansi ganda, satu singlet orbital berbeda, dan tiga triplet orbital berbeda. Untuk tiga orbital spasial, terdapat enam keadaan lengkap dan pilih(6,2)=15 pola. Menghitung penugasan tertata melebih-lebihkan partikel identik. Bos tanpa spin dalam dua orbital sebaliknya memiliki tiga okupansi: keduanya di a, satu di masing-masing, keduanya di b. Perhitungan ini mengasumsikan tidak ada batasan energi tambahan dan keadaan tunggal-partikel yang dapat diakses yang disebutkan; membatasi total energi atau proyeksi spin mengubah subset yang diizinkan.

Keadaan spasial antisimetris memenuhi Ψ_−(x,x)=0, sehingga kepadatan posisi gabungannya hilang pada garis kesamaan. Keadaan spasial simetris tidak harus hilang di sana. Perbedaan muncul dari interferensi antara amplitudo yang ditukar, bahkan untuk partikel yang tidak berinteraksi; ini bukan gaya tolak klasik yang dijatuhkan secara terpisah. Untuk sumur dengan panjang L, pilih a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Pada x₁=L/4 dan x₂=3L/4, amplitudo spasial antisimetris adalah −2/L dan kepadatannya 4/L²; amplitudo simetrisnya nol. Ini adalah kepadatan probabilitas gabungan per dua panjang, bukan probabilitas tak berdimensi pada titik-titik eksak. Kompatibilitas spin fisik tetap menentukan kombinasi spasial mana yang digunakan oleh keadaan elektronik total.

Untuk orbital berbeda yang ortogonal a dan b, keadaan spasial simetris dan antisimetris adalah

Keadaan total dua elektron harus antisimetris terhadap pertukaran posisi dan spin sekaligus. Dengan demikian, ruang simetris berpasangan dengan singlet spin; ruang antisimetris berpasangan dengan triplet spin. Jika kedua elektron menempati a, produk spasialnya simetris dan hanya spin singlet yang diperbolehkan. Rumus normalisasi orbital berbeda tidak dapat sekadar digunakan kembali untuk a = b.

Tukar semua argumen spasial dan spin. Jangan keliru antara ruang antisimetris dengan keadaan total antisimetris, atau gunakan faktor √2 orbital berbeda untuk dua orbital identik.

singlet spin: Keadaan antispin-1/2 antisimetris dengan total spin S=0.

Determinan Slater: Konstruksi fermionik antisimetris dari keadaan satu-partikel lengkap; keadaan duplikat membuatnya menjadi nol.