Simetri pertukaran, pasangan spin dan pengecualian Pauli
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| spin singlet/spɪn ˈsɪŋɡlɪt/ | singlet spin |
| Slater determinant/ˈsleɪtə dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinan Slater |
Keputusan sebelum jawaban
- Dua elektron dapat berbagi satu orbital ruang jika keadaan total ruang-dan-spin mereka memiliki antisimetri yang diperlukan.
- Tujuan Anda: Konstruksikan keadaan ruang dua-orbital simetris dan antisimetris yang ternormalisasi.
Tukar label partikel lengkap
- Untuk partikel identik, menukar setiap koordinat dan label spin mengubah fungsi gelombang total fermion dengan tanda minus dan meninggalkan fungsi gelombang boson tak berubah. Slot matematis 1 dan 2 menandai argumen, bukan partikel yang terbedakan permanen. Untuk dua orbital ortonormal berbeda a dan b, kombinasi spasial adalah Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2.
- Ortogonalitas membuat kombinasi ini ternormalisasi dan memberikan nilai eigen pertukaran ±1. Jika kedua orbital identik, kombinasi antisimetris bernilai nol identik dan rumus simetris yang ditampilkan tidak ternormalisasi dengan benar; keadaan spasial pendudukan ganda hanyalah a(1)a(2). Periksa normalisasi kembali setiap kali orbital atau tumpang tindiknya berubah.
Two electrons share the same spatial orbital. Which spin state is allowed for their antisymmetric total state?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The same-orbital spatial product is symmetric; the spin factor must be antisymmetric.
Pasangkan simetri ruang dan spin
- Dua partikel spin-1/2 memiliki satu singlet spin (↑↓−↓↑)/√2 dengan spin total S=0; ini antisimetris di bawah pertukaran. Tiga triplet ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 dan ↓↓ memiliki S=1 dan bersifat simetris. Elektron memerlukan keadaan total antisimetris, sehingga keadaan spasial simetris berpasangan dengan singlet, sedangkan keadaan spasial antisimetris berpasangan dengan triplet.
- Dua elektron dalam orbital ruang yang sama dapat membentuk singlet, tetapi tidak dapat membentuk triplet di sana dalam keadaan dua-elektron sederhana ini. Prinsip pengecualian Pauli mencegah pendudukan keadaan tunggal-partikel lengkap yang sama, termasuk spin. Elektron dengan spin berlawanan dalam satu orbital adalah dua keadaan lengkap yang berbeda; mendeskripsikan pengecualian sebagai satu elektron per orbital menghilangkan perbedaan ini.
Two spinless identical bosons can use two spatial orbitals without an energy restriction. Occupation patterns number:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Allowed patterns are (2,0), (1,1) and (0,2); particle labels do not create separate versions of (1,1).
Hitung keadaan lengkap
- Untuk dua orbital spasial a, b dan dua keadaan spin masing-masing, terdapat empat keadaan satu-partikel lengkap. Dua elektron identik memiliki choose(4,2)=6 pola okupasi: dua singlet okupasi ganda, satu singlet orbital berbeda, dan tiga triplet orbital berbeda. Untuk tiga orbital spasial, terdapat enam keadaan lengkap dan choose(6,2)=15 pola.
- Menghitung penugasan terurut menyebabkan penghitungan berlebih pada partikel identik. Boson tanpa spin dalam dua orbital sebaliknya memiliki tiga okupasi: keduanya di a, satu di setiap orbital, keduanya di b. Penghitungan ini mengasumsikan tidak ada batasan energi tambahan dan keadaan satu-partikel yang dapat diakses yang disebutkan; membatasi total energi atau proyeksi spin mengubah subset yang diizinkan.
Dengan dua orbital ortonormal a,b, keadaan dua elektron Ψ_+χ_singlet bersifat antisimetris secara keseluruhan karena (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet juga diizinkan. Jika kedua elektron menggunakan a, hasil kali spasial a(1)a(2) bersifat simetris, sehingga hanya faktor spin singlet yang diizinkan. Dalam sumur pada posisi L/4 dan 3L/4, Ψ_−=−2/L memberikan densitas 4/L² sementara Ψ_+=0; masing-masing ternormalisasi atas domain koordinat dua lengkap, bukan ditafsirkan sebagai probabilitas pada pasangan tepat satu.
Two electrons access three spatial orbitals, each with two spin states. Complete-state occupation patterns number ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Six complete states give choose(6,2)=15.
Interpretasikan densitas gabungan
- Keadaan spasial antisimetris memenuhi Ψ_−(x,x)=0, sehingga densitas posisi gabungannya hilang pada garis kesamaan. Keadaan spasial simetris tidak harus hilang di sana. Perbedaan muncul dari interferensi antara amplitudo yang ditukar, bahkan untuk partikel tak berinteraksi; ini bukan gaya tolak klasik yang diterapkan terpisah.
- Untuk sumur dengan panjang L, pilih a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). Pada x₁=L/4 dan x₂=3L/4, amplitudo spasial antisimetris adalah −2/L dan densitasnya 4/L²; amplitudo simetrisnya nol. Ini adalah densitas probabilitas gabungan per dua panjang, bukan probabilitas tak berdimensi pada titik tepat. Kompatibilitas spin fisik masih menentukan keadaan elektron total mana yang menggunakan kombinasi spasial masing-masing.
Tukar semua argumen spasial dan spin. Jangan keliru antara ruang antisimetris dengan keadaan total antisimetris, atau gunakan faktor √2 orbital berbeda untuk dua orbital identik.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Konstruksikan keadaan spasial dua-orbital normalisasi simetris dan antisimetris
An antisymmetric two-orbital spatial state must have zero amplitude when the two spatial arguments coincide.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x₁=x₂ the two products are equal and their difference vanishes.
Jaga pembedaan
- spin singlet — Keadaan dua-spin-1/2 antisimetris dengan spin total S=0.
- Determinan Slater — Konstruksi fermion antisimetris dari keadaan satu-partikel lengkap; keadaan duplikat membuatnya menjadi nol.
- Bangun keadaan spasial dua-orbital yang dinormalisasi simetris dan antisimetris.
- Gabungkan simetri spasial dan spin untuk menghasilkan keadaan dua-elektron yang diperbolehkan.
- Hitung okupasi keadaan lengkap dan interpretasikan korelasi yang diinduksi pertukaran.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.