Keadaan terikat sumur terbatas dan bilangan kuantum hidrogenik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| bound state/baʊnd steɪt/ | keadaan terikat |
| radial probability density/ˈreɪdɪəl ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | densitas probabilitas radial |
Keputusan sebelum jawaban
- Fungsi gelombang terikat dapat meluas di luar sumur terbatas meskipun energi partikel berada di bawah potensial eksternal.
- Tujuan Anda: Cocokkan keadaan sumur terbatas yang meluruh dan turunkan kondisi kuantisasi yang bergantung pada paritas.
Cocokkan asimtot keadaan terikat
- Nyatakan sumur simetris V=−V₀ untuk |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 dan massa yang sama di seluruh tempat. Energi terikat berada di antara −V₀ dan nol. Di dalamnya, k=√[2m(E+V₀)]/ℏ memberikan solusi osilatorik; di luarnya, κ=√(−2mE)/ℏ memberikan ekor yang meluruh. Tolak eksponensial yang tumbuh untuk mendapatkan keadaan yang ternormalisasi.
- Simetri pemantulan memungkinkan keadaan cos(kx) genap atau sin(kx) ganjil di bagian dalam. Pada batasfinite tanpa interaksi delta, ψ dan ψ′ kontinu. Pencocokan genap memberikan k tan(ka)=κ; pencocokan ganjil memberikan −k cot(ka)=κ. Sumur terbatas tidak memerlukan ψ bernilai nol di tepinya seperti yang dilakukan oleh dinding tak hingga.
For a finite square well with equal mass on both sides and no delta interaction, boundary matching requires:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both wavefunction and first derivative are continuous at a finite step under these assumptions.
Selesaikan akar tak berdimensi
- Perkenalkan z=ka dan ρ=a√(2mV₀)/ℏ. Kemudian κa=√(ρ²−z²) dan 0<z<ρ. Selesaikan z tan z=√(ρ²−z²) untuk keadaan genap, atau −z cot z=√(ρ²−z²) untuk keadaan ganjil, pada interval dengan tanda yang sesuai dan menjauhi kutub tangen. Energi diperoleh sebagai E/V₀=z²/ρ²−1.
- Untuk ρ=1, akar dasar terletak di 0<z<1 dan persamaan genap setara di sana dengan z=cos z. Bisection atau penemu akar yang konvergen memberikan z≈0.739085 dan E/V₀≈−0.453753. Karena ρ<π/2, tidak ada cabang keadaan terikat ganjil yang muat. Dalam satu dimensi, sumur persegi menarik memiliki keadaan dasar terikat genap terlepas dari seberapa dangkalnya; ekor ambang E=0 tidak dapat diintegrasikan kuadrat.
For a hydrogenic orbital n=4, which pair (l,m_l) is allowed?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
l can be 0 through 3, and |m_l| cannot exceed l.
Normalisasikan bagian dalam dan ekornya
- Untuk keadaan terikat genap tulis ψ=A cos(kx) di dalam dan ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] di luar. Kelanjutan menetapkan amplitudo ekor relatif; integrasikan |ψ|² baik di bagian dalam maupun ekornya untuk menentukan A. Probabilitas di luar sumur tidak nol dan bergantung pada kedalaman, lebar, dan keadaan yang dipilih.
- Keadaan terikat memiliki energi diskrit dan asimtot meluruh yang ternormalisasi. Keadaan hamburan dengan E>0 memiliki gelombang eksternal merambat dan dinormalisasi atau ditafsirkan menggunakan konvensi kontinum/aliran. Ekor yang meluruh bukan bukti bahwa keadaan melanggar kekekalan energi, dan amplitudo ekor mentah bukanlah probabilitas di luar sampai diintegrasikan dan dinormalisasi.
Untuk ρ=1, z≈0.739085 memberikan κa≈0.673612 dan E≈−0.453753V₀; keadaan dasar genap bocor melewati ±a tetapi meluruh di tak hingga. Untuk ion Z=2 satu-elektron dalam n=2, E≈−13.6·4/4=−13.6 eV. Nilai l yang diperbolehkan adalah 0 dan 1, memberikan empat keadaan spasial sebelum spin. Dalam orbital hidrogen 1s, densitas radial memuncak pada a₀ karena faktor kulit r² mengimbangi penurunan densitas titik; mengintegralkan densitas radial memberikan ⟨r⟩=3a₀/2.
For n=4 in the nonrelativistic Coulomb model, spatial degeneracy before spin is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Σ_l=0 to 3 (2l+1)=1+3+5+7=16.
Pilih ukuran probabilitas hidrogenik
- Untuk ion Coulomb satu elektron dengan muatan inti Ze, gunakan model potensial pusat non-relativistik dan pendekatan inti berat kecuali massa tereduksi ditentukan. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; nomor orbital yang diizinkan adalah n≥1, l=0,…,n−1 dan m_l=−l,…,l. L² memiliki nilai eigen l(l+1)ℏ² dan L_z=m_lℏ; orbital dasar 1s memiliki l=0, meskipun aturan orbit lingkaran Bohr secara historis.
- Degenerasi spasial pada n tetap adalah Σ_l(2l+1)=n² sebelum spin dan koreksi struktur halus. Jika ψ=R_nl(r)Y_lm dengan bagian sudut ternormalisasi, probabilitas radial dalam dr adalah r²|R|²dr, bukan hanya |R|²dr. Untuk hidrogen 1s, densitas radial adalah 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: memuncak pada r=a₀ dan memiliki rata-rata 3a₀/2, sementara densitas titik tiga dimensi terbesar di titik asal. Bedakan ukuran-ukuran ini sebelum menemukan jari-jari yang paling mungkin.
Gunakan nol potensial yang dideklarasikan, cocokkan ψ′ selain ψ, dan sertakan ukuran cangkang radial. Ekor terikat dan gelombang perjalanan kontinum memiliki rezim energi yang berbeda.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Sesuaikan keadaan sumur terbatas yang meluruh dan turunkan kondisi kuantisasi bergantung paritas
A finite-well bound state can have nonzero probability outside the well while decaying at infinity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Its external exponential tails are nonzero near the edges but integrable for κ>0.
Jaga pembedaan
- keadaan terikat — Keadaan stasioner ternormalisasi dengan probabilitas terkonsentrasi dan energi diskrit dalam model tertentu.
- kepadatan probabilitas radial — Probabilitas per jarak radial, termasuk ukuran cangkang bola setelah integrasi sudut.
- Cocokkan keadaan sumur terbatas yang meluruh dan turunkan kondisi kuantisasi bergantung paritas.
- Tafsirkan akar keadaan terikat tanpa dimensi dan bedakan pengurungan dari hamburan.
- Gunakan bilangan kuantum hidrogenik, momentum sudut, dan ukuran probabilitas radial.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.