AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

Metode energi menghubungkan osilator pegas dan orbit, namun koordinat dan asumsi fisiknya berbeda.

Prasyarat: 26, 41.

• Membangun Hamiltonian sederhana
• Menggunakan persamaan kanonik
• Menerapkan penskalaan gravitasi dan radiatif

Momentum kanonik adalah p=∂L/∂qdot. Transformasi Legendre H=p qdot−L menghasilkan Hamiltonian ketika kecepatan dapat dinyatakan menggunakan koordinat dan momentum.

Persamaan Hamilton adalah qdot=∂H/∂p dan pdot=−∂H/∂q. Untuk osilator biasa H=p²/(2m)+kq²/2, persamaan ini mereproduksi hukum Newton.

Untuk orbit gravitasi melingkar v²=GM/r dan periode²=4π²r³/(GM). Asumsi mencakup massa pusat dominan dan pendekatan lingkaran; orbit elips menggunakan sumbu mayor dalam hukum Kepler. Untuk satelit bermassa m dengan orbit melingkar, besaran momentum sudut adalah mrv=m sqrt(GMr), sehingga satelit identik memiliki L berbanding lurus dengan sqrt(r). Rasio jari-jari 9 memberikan rasio momentum sudut 3, sementara rasio periode adalah 27. Perbedaan ini berasal dari hubungan gaya sentripetal yang sama; jangan gunakan penskalaan periode untuk momentum sudut.

Luminositas dan fluks yang diterima mengikuti F=L/(4πd²) untuk radiasi isotropik. Benda hitam memiliki L=4πR²σT⁴; puncaknya bergeser secara invers terhadap suhu. Bedakan luminositas intrinsik dari kecerahan yang diamati.

Untuk Lagrangian reguler $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, momentum kanonik adalah

Substitusikan kecepatan ke dalam transformasi Legendre: Menggabungkan keduanya menghasilkan $\ddot q=-(k/m)q$. Inversi momentum terhadap kecepatan diperlukan; hal ini tidak dapat diasumsikan untuk setiap Lagrangian yang terkendala atau singular.

Hamiltonian sama dengan total energi mekanik hanya di bawah asumsi sistem yang relevan; jangan menyimpulkan hal ini secara universal semata-mata berdasarkan namanya.

momentum kanonik: Turunan Lagrangian terhadap kecepatan umum.

luminositas: Total daya yang dipancarkan, berbeda dengan fluks pada pengamat.