TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

Gas dapat memiliki kecepatan rata-rata nol sementara partikel-partikelnya memiliki kecepatan rata-rata yang signifikan. Arah berlawanan saling meniadakan dalam mean vektor; kecepatan tidak memiliki tanda.

Prasyarat: 4, 35.

• Menormalisasi densitas kecepatan kontinu dan menginterpretasikan satuannya
• Membedakan mean vektor, mean kecepatan, dan kecepatan paling mungkin
• Menggunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi

Untuk densitas probabilitas kecepatan kontinu f(v), f(v)dv mendekati probabilitas dalam interval sempit dan ∫dari0sampai∞ f(v)dv=1. Densitas ini memiliki satuan invers-kecepatan dan bukan probabilitas itu sendiri. Jika P(v)dv menghitung partikel dalam interval tersebut, luasnya adalah jumlah partikel N dan f=P/N. Trapezoid yang naik sepanjang lebar v0, datar sepanjang lebar 2v0, lalu turun sepanjang lebar v0 memiliki area 3av0 untuk tinggi a. Normalisasi dilakukan berdasarkan area sebelum menghitung mean atau menginterpretasikan ketinggian pada grafik.

Dalam gas isotropik tanpa aliran massal, setiap distribusi komponen kecepatan bersifat simetris, sehingga ⟨v_vector⟩=0. Kecepatan v=|v_vector| bernilai nonnegatif dan memiliki mean positif. Untuk gas ideal klasik, densitas Maxwell sebanding dengan v²exp[−mv²/(2kBT)]. Modusnya adalah sqrt(2kBT/m), mean-nya adalah sqrt(8kBT/(πm)) dan kecepatannya rms adalah sqrt(3kBT/m). Ketiganya adalah besaran yang berbeda. Faktor v² membuat densitas kecepatan menjadi nol pada v=0, meskipun densitas vektor kecepatan terbesar pada vektor nol.

Untuk distribusi kontinu, probabilitas tepat satu kecepatan tertentu adalah nol; probabilitas nonzero merujuk pada interval. Pernyataan ini tidak menyiratkan bahwa tidak ada partikel dengan kecepatan yang sangat kecil, atau bahwa detektor resolusi terbatas tidak dapat merekam bin nol. Perubahan suhu mengubah skala distribusi Maxwell: kecepatan karakteristik sebanding dengan sqrt(T/m). Menggandakan suhu tidak menggandakan kecepatan, dan partikel yang lebih berat bergerak lebih lambat secara rata-rata pada suhu yang sama.

Dalam ensemble kanonik pada suhu T, keadaan dengan energi E_i memiliki bobot exp(−E_i/(kBT)). Bagi dengan fungsi partisi Z=Σexp(−E_i/(kBT)) untuk mendapatkan probabilitas. Jika tingkat energi memiliki degenerasi g_i, probabilitas tingkat tersebut adalah g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Energi yang sama per keadaan tidak berarti probabilitas yang sama per tingkat ketika degenerasinya berbeda. Untuk tingkat dasar dengan degenerasi 1 dan tingkat tereksitasi dengan degenerasi 2 pada Δ=kBT ln2, total bobot tereksitasi adalah 2e^(−ln2)=1: kedua tingkat masing-masing memiliki probabilitas 1/2. Asumsi klasik Maxwell–Boltzmann berbeda dari okupasi Bose–Einstein dan Fermi–Dirac.

Ensemble kanonik memiliki degenerasi dasar 1 dan degenerasi tereksitasi g pada celah Delta.

Dengan g = 4 dan $\Delta=k_BT\ln2$, Ini adalah probabilitas untuk seluruh tingkat tereksitasi. Masing-masing dari empat keadaannya memiliki probabilitas 1/6.

Tinggi densitas bukan probabilitas. Kecepatan rata-rata, rata-rata kecepatan, dan modus berbeda; sertakan degenerasi sebelum menormalisasi probabilitas tingkat.

densitas probabilitas: Probabilitas per satuan variabel kontinu, yang integralnya memberikan probabilitas interval.

fungsi partisi: Jumlah bobot statistik yang digunakan untuk menormalisasi probabilitas keadaan ekuilibrium.