Distribusi kecepatan dan ensemble statistik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | densitas probabilitas |
| partition function/pɑːˈtɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | fungsi partisi |
Keputusan sebelum jawaban
- Gas dapat memiliki kecepatan rata-rata nol sementara partikelnya memiliki kecepatan rata-rata yang signifikan. Arah berlawanan saling meniadakan dalam mean vektor; kecepatan tidak memiliki tanda.
- Tujuan Anda: Normalisasi densitas kecepatan kontinu dan interpretasikan satuannya.
Bacalah hubungannya
- Untuk densitas probabilitas kecepatan kontinu f(v), f(v)dv mengaproksimasi probabilitas dalam interval sempit dan ∫dari0hingga∞ f(v)dv=1. Densitas memiliki satuan invers-kecepatan dan bukan probabilitas itu sendiri. Jika P(v)dv menghitung partikel dalam interval tersebut, luasnya adalah jumlah partikel N dan f=P/N. Trapesium yang naik selama lebar v0, tetap datar selama lebar 2v0, lalu turun selama lebar v0 memiliki area 3av0 untuk tinggi a. Normalisasi dengan area sebelum menghitung rata-rata atau menginterpretasikan tinggi yang digambarkan.
- Bedakan mean vektor, mean kecepatan, dan kecepatan paling mungkin.
For an isotropic equilibrium ideal gas without bulk flow, which is correct?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Velocity directions cancel, while speed is nonnegative and its equilibrium mean is positive.
Gunakan aturan penentu
- Dalam gas isotropik setimbang tanpa aliran massal, setiap distribusi komponen kecepatan bersifat simetris, sehingga ⟨v_vector⟩=0. Kecepatan v=|v_vector| bernilai nonnegatif dan memiliki rata-rata positif. Untuk gas ideal klasik, densitas kecepatan Maxwell sebanding dengan v²exp[−mv²/(2kBT)]. Modusnya adalah sqrt(2kBT/m), rata-ratanya adalah sqrt(8kBT/(πm)) dan kecepatannya rms adalah sqrt(3kBT/m). Ketiganya adalah besaran yang berbeda. Faktor v² membuat densitas kecepatan nol pada v=0, meskipun densitas vektor kecepatan terbesar pada vektor nol.
- Gunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi.
Ground degeneracy 1, excited degeneracy 3, gap kBT ln3. The excited-level probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Excited total weight 3e^(−ln3)=1 equals ground weight 1; Z=2.
Periksa syarat-syaratnya
- Untuk distribusi kontinu, probabilitas tepat satu kecepatan tertentu adalah nol; probabilitas nonzero merujuk pada interval. Pernyataan ini tidak menyiratkan bahwa tidak ada partikel dengan kecepatan yang sangat kecil, atau bahwa detektor resolusi terbatas tidak dapat merekam bin nol. Suhu mengubah skala distribusi Maxwell: kecepatan karakteristik sebanding dengan sqrt(T/m). Menggandakan suhu tidak menggandakan kecepatan, dan partikel yang lebih berat bergerak lebih lambat secara rata-rata pada suhu yang sama.
- Gunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi.
Trapesium densitas hitung memiliki N=90 partikel, v0=2 m/s dan lebar dataran 2v0. Luasnya adalah 3av0, sehingga a=15 partikel per satuan kecepatan. Untuk ensemble dua tingkat dengan degenerasi 1 dan 2 serta celah kBT ln2, Z=2 dan probabilitas tingkat tereksitasi adalah 1/2. Setiap keadaan tereksitasi individu memiliki probabilitas 1/4.
A count-density trapezoid has area 3av0, N=60 and v0=4 m/s. Its height a is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a=N/(3v0)=60/12=5 particles per unit speed.
Terapkan format tugas
- Dalam ensemble kanonik pada suhu T, keadaan dengan energi E_i memiliki bobot exp(−E_i/(kBT)). Bagi dengan fungsi partisi Z=Σexp(−E_i/(kBT)) untuk mendapatkan probabilitas. Jika tingkat energi memiliki degenerasi g_i, probabilitas tingkatnya adalah g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Energi yang sama per keadaan tidak menyiratkan probabilitas yang sama per tingkat ketika degenerasinya berbeda. Untuk tingkat dasar dengan degenerasi 1 dan tingkat tereksitasi dengan degenerasi 2 pada Δ=kBT ln2, bobot total tereksitasi adalah 2e^(−ln2)=1: kedua tingkat masing-masing memiliki probabilitas 1/2. Asumsi Maxwell–Boltzmann klasik berbeda dari okupansi kuantum Bose–Einstein dan Fermi–Dirac.
- Gunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi.
Tinggi densitas bukan probabilitas. Kecepatan rata-rata, rata-rata kecepatan, dan modus berbeda; sertakan degenerasi sebelum menormalisasi probabilitas tingkat.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Menormalisasi kerapatan kecepatan kontinu dan menginterpretasikan satuannya
A continuous speed distribution assigns nonzero probability to exactly one specified speed.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Only an interval has nonzero probability; a single point has zero measure.
Jaga pembedaan
- densitas probabilitas — Probabilitas per satuan variabel kontinu, yang integralnya memberikan probabilitas interval.
- fungsi partisi — Jumlah bobot statistik yang digunakan untuk menormalisasi probabilitas keadaan kesetimbangan.
- Normalisasi densitas kecepatan kontinu dan interpretasikan satuannya.
- Bedakan mean vektor, mean kecepatan, dan kecepatan paling mungkin.
- Gunakan bobot Boltzmann dengan degenerasi dan fungsi partisi.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.