يتناول هذا الملف الموضوع 2، الجبر والرسوم البيانية. الأجزاء المحددة (متقدمة) تُختبر فقط في أوراق امتحان المستوى المتقدم؛ وما يتبقى منه للمستويين معاً.
الجبر والرسومات البيانية
IGCSE الرياضيات · الموضوع 2
19:38
الجبر والرسومات البيانية
انظر إلى الكابل الرئيسي لهذا الجسر. هذا الانحناء ليس صدفة. كل كابل كهذا يتدلى بنفس الشكل، وقاعدة قصيرة واحدة تصف كل نقطة على…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
2.1
التعامل مع الجبر
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 تعرف أن الأحرف يمكن استخدامها لتمثيل أعداد عامة. | |
| 2 عوض بالأعداد في التعبيرات والمعادلات. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
في الجبر نستخدم الأحرف لتمثيل الأرقام. الحرف الذي يمكن أن تتغير قيمته هو متغير. التعويض يعني وضع رقم مكان حرف.
مثال محلول. أوجد قيمة $3x^{2} - 2y$ عندما $x = 4$ و$y = 5$.
$$3 \times 4^{2} - 2 \times 5 = 3 \times 16 - 10 = 48 - 10 = 38.$$
استكشف
طريقة التعامل مع الجبر
اتبع عمل التعبير بدءاً من تجميع الحدود إلى الحل.
2.2
التبسيط والتوسيع
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بسّغ التعبيرات بتجميع الحدود المتشابهة. | التبسيط يعني إعطاء النتيجة بأبسط صورة، على سبيل المثال $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 فك أقواس ضرب تعبيرات جبرية. | على سبيل المثال، فك أقواس $3x(2x - 4y)$. يشمل ضرب قوسين يتضمن متغيراً واحداً، على سبيل المثال، فك أقواس $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 عامل بإخراج العوامل المشتركة. | التحليل يعني التحليل بالكامل، على سبيل المثال $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بسّغ التعبيرات بتجميع الحدود المتشابهة. | التبسيط يعني إعطاء النتيجة بأبسط صورة، على سبيل المثال $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 فك أقواس مضروب تعبير جبري. | مثال: فك $3x(2x - 4y)$، $(3x + y)(x - 4y)$. يشمل ضرب أكثر من قوسين، مثلاً فك $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 عامل بإخراج العوامل المشتركة. | التحليل يعني التحليل بالكامل، على سبيل المثال $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 تحليل تعابير على الصيغة: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 إكمال المربع للتعبيرات على الصيغة $ax^2 + bx + c$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الحد هو جزء واحد من عبارة، مثل $5a$ أو $-9b$. الحدود المتشابهة تحتوي على نفس الأحرف تماماً؛ يمكنك جمعها أو طرحها. الرقم أمام الحرف هو المعامل.
مثال محلول. بسّط $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.
اجمع الحدود المتشابهة: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$، $3ab - 9ab = -6ab$، $-1 + 4 = 3$. إذن الإجابة هي
$$7a^{2} - 6ab + 3.$$
التوسيع يعني فك الأقواس بالضرب. اضرب كل حد داخل القوس في الحد الخارجي؛ بالنسبة لقوسين، اضرب كل حد في الأول بكل حد في الثاني.
أمثلة محلولة.
$$3x(2x - 4y) = 6x^{2} - 12xy.$$
$$(2x + 1)(x - 4) = 2x^{2} - 8x + x - 4 = 2x^{2} - 7x - 4.$$
بالنسبة لثلاثة أقواس (متقدمة)، قم بتوسيع اثنين أولاً، ثم اضرب الناتج في الثالث:
$$(x - 2)(x + 3)(2x + 1) = (x^{2} + x - 6)(2x + 1) = 2x^{3} + 3x^{2} - 11x - 6.$$
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | الجبر |
| variable/ˈveərɪəbl/ | حدث |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | استبدال |
| term/tɜːm/ | حد (في المتسلسلة) |
| expression/ekˈspreʃn/ | تعبير |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | الحدود المتشابهة |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | المعامل |
| expand/ekˈspænd/ | فك الأقواس |
| brackets/ˈbrækɪts/ | أقواس |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | التحليل |
| common factor/ˈkɒmən ˈfæktə/ | عامل مشترك |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | فرق مربعين |
| perfect square/ˈpɜːfekt skweə/ | مربع كامل |
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
2.2
التحليل إلى عوامل
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بسّغ التعبيرات بتجميع الحدود المتشابهة. | التبسيط يعني إعطاء النتيجة بأبسط صورة، على سبيل المثال $2a + 3b + 5a - 9b = 7a - 6b$. |
| 2 فك أقواس ضرب تعبيرات جبرية. | على سبيل المثال، فك أقواس $3x(2x - 4y)$. يشمل ضرب قوسين يتضمن متغيراً واحداً، على سبيل المثال، فك أقواس $(2x + 1)(x - 4)$. |
| 3 عامل بإخراج العوامل المشتركة. | التحليل يعني التحليل بالكامل، على سبيل المثال $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بسّغ التعبيرات بتجميع الحدود المتشابهة. | التبسيط يعني إعطاء النتيجة بأبسط صورة، على سبيل المثال $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 فك أقواس مضروب تعبير جبري. | مثال: فك $3x(2x - 4y)$، $(3x + y)(x - 4y)$. يشمل ضرب أكثر من قوسين، مثلاً فك $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 عامل بإخراج العوامل المشتركة. | التحليل يعني التحليل بالكامل، على سبيل المثال $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 تحليل تعابير على الصيغة: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 إكمال المربع للتعبيرات على الصيغة $ax^2 + bx + c$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
التحليل إلى عوامل هو عكس التوسيع: اكتب العبارة كحاصل ضرب الأقواس. دائماً أخرج العامل المشترك أولاً.
مثال محلول. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$، لأن $3x$ يقسم كلا الحدين.
النماذج التالية متقدمة.
التجميع (أربعة حدود): أخرج عاملاً مشتركاً من كل زوج.
$$xy + 2x + 3y + 6 = x(y + 2) + 3(y + 2) = (x + 3)(y + 2).$$
فرق مربعين: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.
$$9x^{2} - 16 = (3x + 4)(3x - 4).$$
مربع كامل: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.
$$x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}.$$
عبيرات تربيعية $ax^{2} + bx + c$: أوجد عددين حاصل ضربهما $a \times c$ ومجموعهما $b$، ثم افصل الحد الأوسط.
مثال محلول. حلل $2x^{2} + 7x + 3$ إلى عوامل.
هنا $a \times c = 6$ و$b = 7$. الأعداد $1$ و$6$ تعمل. افصل وجمّع:
$$2x^{2} + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1).$$
بالنسبة لـ $ax^{3} + bx^{2} + cx$، أخرج العامل المشترك $x$ أولاً: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.
2.2
إكمال المربع (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بسّغ التعبيرات بتجميع الحدود المتشابهة. | التبسيط يعني إعطاء النتيجة بأبسط صورة، على سبيل المثال $2a^2 + 3ab - 1 + 5a^2 - 9ab + 4 = 7a^2 - 6ab + 3$. |
| 2 فك أقواس مضروب تعبير جبري. | مثال: فك $3x(2x - 4y)$، $(3x + y)(x - 4y)$. يشمل ضرب أكثر من قوسين، مثلاً فك $(x - 2)(x + 3)(2x + 1)$. |
| 3 عامل بإخراج العوامل المشتركة. | التحليل يعني التحليل بالكامل، على سبيل المثال $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$. |
| 4 تحليل تعابير على الصيغة: • $ax + bx + kay + kby$ • $a^2x^2 - b^2y^2$ • $a^2 + 2ab + b^2$ • $ax^2 + bx + c$ • $ax^3 + bx^2 + cx$. | |
| 5 إكمال المربع للتعبيرات على الصيغة $ax^2 + bx + c$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
إكمال المربع يعيد كتابة $x^{2} + bx + c$ على صورة $(x + p)^{2} + q$. خذ نصف معامل $x$، تربعه، ثم الموازنة.
مثال محلول. اكتب $x^{2} + 6x + 1$ بصيغة المربع المكتمل.
نصف $6$ هو $3$، و$3^{2} = 9$:
$$x^{2} + 6x + 1 = (x + 3)^{2} - 9 + 1 = (x + 3)^{2} - 8.$$
عندما يكون للحد $x^{2}$ معامل، أخرجه أولاً من أول حدين:
$$2x^{2} + 8x + 3 = 2(x^{2} + 4x) + 3 = 2\big((x + 2)^{2} - 4\big) + 3 = 2(x + 2)^{2} - 5.$$
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | تربيعي |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | إكمال المربع |
| algebraic fraction/ˌældʒɪˈbreɪɪk ˈfrækʃn/ | كسر جبري |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | التعبير الكسري |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | الأسس |
| base/beɪs/ | القاعدة |
2.3
الكسور الجبرية (متقدمة)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 التعامل مع الكسور الجبرية. | تشمل الأمثلة: • $\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2}$ • $\frac{2x}{3} - \frac{3(x - 5)}{2}$ • $\frac{3a}{4} \times \frac{9a}{10}$ • $\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10}$ • $\frac{1}{x - 2} + \frac{x + 1}{x - 3}$. |
| 2 تحليل وتبسيط التعبيرات النسبية. | مثل: $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6}$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الكسر الجبري يحتوي على جبر في البسط أو المقام. اجمع وطرح باستخدام مقام مشترك؛ اضرب وقسم كما مع الكسور العادية.
أمثلة محلولة.
$$\frac{x}{3} + \frac{x - 4}{2} = \frac{2x}{6} + \frac{3(x - 4)}{6} = \frac{2x + 3x - 12}{6} = \frac{5x - 12}{6}.$$
$$\frac{3a}{4} \div \frac{9a}{10} = \frac{3a}{4} \times \frac{10}{9a} = \frac{30a}{36a} = \frac{5}{6}.$$
لتبسيط التعبير النسبي، قم بتحليل البسط والمقام، ثم اختصر الأقواس المشتركة.
$$\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 5x + 6} = \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{x}{x - 3}.$$
استكشف
طريق الكسور الجبرية
بسط الكسور الجبرية بالتحليل قبل الاختصار.
2.4
الأسس في الجبر
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 افهم واستخدم المؤشرات (الموجبة، صفر، والسالبة). | على سبيل المثال $2^x = 32$. أوجد قيمة $x$. |
| 2 افهم واستخدم قواعد المؤشرات. | على سبيل المثال، بسّغ: • $(5x^3)^2$ • $12a^5 \div 3a^{-2}$ • $6x^7y^4 \times 5x^{-5}y$. لا يُطلب معرفة اللوغاريتمات. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 فهم واستخدام الأسس (الموجبة، والصفرية، والسالبة والكسرية). | مثل: حل: • $32^x = 2$ • $5^{x+1} = 25^x$. |
| 2 افهم واستخدم قواعد المؤشرات. | على سبيل المثال، بسّغ: • $3x^{-4} \times \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}$ • $\frac{2}{5}x^{\frac{1}{2}} \div 2x^{-2}$ • $\left(\frac{2x^5}{3}\right)^3$. لا يُطلب معرفة اللوغاريتمات. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
قوانين الأسس تعمل مع الأحرف أيضًا: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$، $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$، و$(a^{m})^{n} = a^{mn}$.
أمثلة محلولة.
$$(5x^{3})^{2} = 25x^{6}, \qquad 12a^{5} \div 3a^{-2} = 4a^{7}, \qquad 6x^{7}y^{4} \times 5x^{-5}y = 30x^{2}y^{5}.$$
يمكنك أيضًا حل معادلات الأسس البسيطة بكتابة كلا الطرفين بأساس مشترك.
مثال محلول. حل $2^{x} = 32$. بما أن $32 = 2^{5}$، فإنك تحصل على $x = 5$.
استكشف
معمل قواعد الأسس الجبرية
صنف أمثلة قواعد الأسس حسب القاعدة المستخدمة.
2.5
المعادلات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 قم بإنشاء تعبيرات ومعادلات ومعادلات بسيطة. | على سبيل المثال، اكتب تعبيراً عن عدد يزيد بمقدار 2 عن $n$. يشمل إنشاء معادلات خطية متزامنة. |
| 2 حل المعادلات الخطية بمتغير واحد. | الأمثلة تشمل: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 حل المعادلات الخطية المتزامنة بمتغيرين. | |
| 4 غيّر موضوع معادلات بسيطة. | على سبيل المثال، غيّر موضوع معادلات حيث: • الموضوع يظهر مرة واحدة فقط • لا يوجد أس أو جذر للموضوع. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 بناء تعابير ومعادلات وقوانين. | مثل: كتابة تعبير لحاصل ضرب عددين زوجيين متتاليين. يشمل بناء معادلات متزامنة. |
| 2 حل المعادلات الخطية بمتغير واحد. | الأمثلة تشمل: • $3x + 4 = 10$ • $5 - 2x = 3(x + 7)$. |
| 3 حل المعادلات الكسرية ذات المقامات العددية والجبرية الخطية. | تشمل الأمثلة: • $\frac{x}{2x + 1} = 4$ • $\frac{2}{x + 2} + \frac{3}{2x - 1} = 1$ • $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{x - 6}$. |
| 4 حل المعادلات المتزامنة الخطية بمتغيرين مجهولين. | |
| 5 حل المعادلات المتزامنة التي تتضمن واحدة خطية وأخرى غير خطية. | بأس لا يتجاوز التربيع. |
| 6 حل المعادلات التربيعية بالتحليل، وإكمال المربع، وباستخدام القانون العام. | يشمل كتابة تعبير تربيعي بصيغة المربع المكتمل. قد يُتوقع من المرشحين تقديم الحلول بصيغة الجذور. يُعطى القانون العام في قائمة القوانين. |
| 7 تغيير موضوع القوانين. | مثل: تغيير موضوع قانون حيث: • يظهر الموضوع مرتين • يوجد أس أو جذر للموضوع. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المعادلة تقول إن تعبيرين متساويان. لحل معادلة خطية، قم بنفس العملية على كلا الطرفين حتى يصبح المجهول وحده.
مثال محلول. حل $5 - 2x = 3(x + 7)$.
$$5 - 2x = 3x + 21 \;\Rightarrow\; 5 - 21 = 3x + 2x \;\Rightarrow\; -16 = 5x \;\Rightarrow\; x = -\tfrac{16}{5}.$$
معادلات كسرية (متقدمة)
المعادلة الكسرية تحتوي على المجهول في المقام. اضرب كلا الطرفين في المقام للتخلص منه.
مثال محلول. حل $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.
$$x = 4(2x + 1) = 8x + 4 \;\Rightarrow\; -7x = 4 \;\Rightarrow\; x = -\tfrac{4}{7}.$$
المعادلات المتزامنة
المعادلات المتزامنة هي معادلتان يُحلّان معًا. بالنسبة لمعادلتين خطيتين، اجمع أو اطرح للتخلص من أحد الأحرف.
مثال محلول. حل $2x + y = 7$ و$3x - y = 8$.
الجمع يزيل $y$: $5x = 15$، لذا $x = 3$. بعد ذلك $y = 7 - 2(3) = 1$.
لـمعادلة خطية واحدة ومعادلة تربيعية (متقدمة)، عوض بالمعادلة الخطية في المنحنى.
مثال محلول. حل $y = x + 2$ و$y = x^{2}$.
$$x^{2} = x + 2 \;\Rightarrow\; x^{2} - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 2)(x + 1) = 0,$$
إذن $x = 2$ (مما يعطي $y = 4$) أو $x = -1$ (مما يعطي $y = 1$).
حل المعادلات التربيعية (متقدمة)
هناك ثلاث طرق.
- بالتحليل: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ أو $x = -3$.
- باستكمال المربع: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
- بصيغة الجذور التربيعية، والتي تُعطى في الامتحان:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$
مثال محلول (الصيغة). حل $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. هنا $a = 2$، $b = 3$، $c = -1$:
$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.$$
تغيير الموضوع
تغيير موضوع الصيغة يعني إعادة ترتيبها بحيث يكون حرف معين وحيدًا في طرف واحد.
مثال محلول. اجعل $r$ موضوعًا لـ $A = \pi r^{2}$ (متقدمة بسبب الأس).
$$r^{2} = \frac{A}{\pi} \;\Rightarrow\; r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}.$$
عندما يظهر الحرف مرتين (متقدمة)، اجمع تلك الحدود وتحلل. لجعل $x$ موضوعًا لـ $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:
$$y(x - 1) = x + 1 \;\Rightarrow\; yx - x = 1 + y \;\Rightarrow\; x(y - 1) = 1 + y \;\Rightarrow\; x = \frac{1 + y}{y - 1}.$$
استكشف
حل معادلة
y = ax² + bx + c
الحل يعني إيجاد الجذور — حيث يتقاطع المنحنى مع محور x.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| equation/ɪˈkweɪʒn/ | معادلة |
| linear/ˈlɪnɪə/ | خطي |
| unknown/ʌnˈnəʊn/ | غير معروف |
| fractional equation/ˈfrækʃənl ɪˈkweɪʒn/ | معادلة كسرية |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | معادلات متزامنة |
| quadratic formula/kwɒˈdrætɪk ˈfɔːmjʊlə/ | القانون العام للمعادلة التربيعية |
| change the subject/tʃeɪndʒ ðə ˈsʌbdʒekt/ | تغيير الموضوع (تحويل المعادلة) |
2.6
المتباينات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| مثّل وتفسير المتباينات، بما في ذلك على خط الأعداد. | عند تمثيل وتفسير المتباينات على خط الأعداد: • يجب استخدام دوائر مفتوحة لتمثيل المتباينات الصارمة (<, >) • يجب استخدام دوائر مغلقة لتمثيل المتباينات الشاملة ($\leqslant$، $\geqslant$) على سبيل المثال $-3 \leqslant x < 1$ |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 تمثيل وتفسير المتباينات، بما في ذلك على خط الأعداد. | عند تمثيل وتفسير المتباينات على خط الأعداد: • تُستخدم الدوائر المفتوحة لتمثيل المتباينات الحادة (<, >) • تُستخدم الدوائر المغلقة لتمثيل المتباينات الشاملة ($\leqslant$، $\geqslant$). مثل: $-3 \leqslant x < 1$ |
| 2 بناء وحل وتفسير المتباينات الخطية. | تشمل الأمثلة: • $3x < 2x + 4$ • $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$. |
| 3 تمثيل وتفسير المتباينات الخطية في متغيرين بيانياً. | يجب استخدام الترتيبات التالية: • يجب استخدام خطوط متقطعة لتمثيل المتباينات الصارمة (<, >) • يجب استخدام خطوط متصلة لتمثيل المتباينات الشاملة ($\leqslant$، $\geqslant$) • يجب تظليل المناطق غير المرغوب فيها (إلا إذا تم توجيه ذلك بشكل مختلف في السؤال). مثال: رسوم بيانية لـ $x < 1$ و $y \geqslant 1$ |
| 4 سرد المتباينات التي تحدد منطقة معينة. | لا تشمل مسائل البرمجة الخطية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المتباينة تستخدم $<$، $>$، $\leqslant$ أو $\geqslant$. حلّها كمعادلة، لكن عكس الإشارة إذا ضربت أو قسمت بسالب.
مثال محلول. حل $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.
أضف $2$ إلى جميع الأجزاء، ثم قسم على $3$:
$$-1 \leqslant 3x < 9 \;\Rightarrow\; -\tfrac{1}{3} \leqslant x < 3.$$
على خط الأعداد، استخدم دائرة مفتوحة لـ $<$ أو $>$ (القيمة غير مشمولة) ودائرة مغلقة لـ $\leqslant$ أو $\geqslant$ (القيمة مشمولة).
المناطق (متقدمة)
متباينة بحرفين تصف منطقة من الرسم البياني. ارسم خط الحدود (متقطع لـ $<$ أو $>$، متصل لـ $\leqslant$ أو $\geqslant$) وظلل الجانب غير المرغوب فيه. قد يُطلب منك أيضًا سرد المتباينات التي تحدد منطقة معينة.
استكشف
المتباينات
y = ax + b
تسأل المتباينة أين يكون الخط فوق أو تحت قيمة معينة.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | عدم المساواة |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | خط الأعداد |
| region/ˈriːdʒn/ | منطقة |
2.7
المتتاليات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 أكمل متتالية عددية أو نمطاً معطى. | على سبيل المثال، اكتب الحدين التاليين في هذه المتتالية: 1، 3، 6، 10، 15، ... ، ... |
| 2 اعرف الأنماط في المتتاليات، بما في ذلك قاعدة الحد إلى الحد، والعلاقات بين متتاليات مختلفة. | |
| 3 أوجد واستخدم الحد $n$th من المتتاليات التالية: (أ) الخطية (ب) التربيعية البسيطة (ج) التكعيبية البسيطة. | على سبيل المثال، أوجد الحد $n$th من 2، 5، 10، 17 |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إكمال تسلسل عددي أو نمط معطى. | قد تُستخدم صيغة الفهرسة، على سبيل المثال: $T_n$ هو الحد $n$ من التسلسل $T$. |
| 2 التعرف على الأنماط في المتتاليات، بما في ذلك قاعدة الحد إلى الحد والعلاقات بين متتاليات مختلفة. | يشمل المتتاليات الخطية والتربيعية والتكعيبية والأسية والتركيبات البسيطة منها. |
| 3 إيجاد واستخدام الحد رقم $n$ للمتتاليات. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
*بروكلي رومانيسكو: تشكل الحلقات المتشابهة ذاتيًا نمطًا عدديًا طبيعيًا.
المتتالية هي قائمة من الأرقام تتبع قاعدة ما. قاعدة الحد إلى الحد تخبرك كيفية الحصول على الحد التالي من السابق له.
لعثر على قاعدة الحد في الموقع $n$ (الحد الـ $n$)، انظر كيف تتغير الحدود.
متتالية خطية (تزداد الحدود بنفس المقدار كل مرة). الفرق هو مضاعف $n$.
مثال محلول. أوجد الحد الـ $n$ من $2, 5, 8, 11, \dots$
تزداد الحدود بمقدار $3$، لذا ابدأ بـ $3n$. بما أن $3 \times 1 = 3$ لكن الحد الأول هو $2$، اطرح $1$: الحد الـ $n$ هو $3n - 1$.
متتالية تربيعية (تتغير الفروقات نفسها بنفس المقدار). الفرق الثاني يساوي $2 \times$ معامل $n^{2}$.
مثال محلول. أوجد الحد الـ $n$ من $2, 5, 10, 17, \dots$
الفروقات الأولى هي $3, 5, 7$؛ الفرق الثاني هو $2$، لذا جزء $n^{2}$ هو $1n^{2}$. بطرح $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) من المتتالية يتبقى $1, 1, 1, 1$. إذن الحد الـ $n$ هو $n^{2} + 1$.
متتالية مكعبة مثل $1, 8, 27, 64, \dots$ لها حد الـ $n$ هو $n^{3}$. متتالية أسية مثل $2, 6, 18, 54, \dots$ تضرب في عدد ثابت كل مرة؛ هنا الحد الـ $n$ هو $2 \times 3^{\,n-1}$.
استكشف
متتاليات الأعداد
بنِ متتالية حسابية (بجمع d) أو هندسية (بالضرب في r) حدًا تلو الآخر.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | تسلسل |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | القاعدة من حد إلى آخر |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | مكعب |
| exponential sequence/ˌekspəˈnenʃl ˈsiːkwəns/ | متتالية أسية |
| direct proportion/daɪˈrekt prəˈpɔːʃn/ | التناسب الطردي |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ثابت |
| inverse proportion/ɪnˈvɜːs prəˈpɔːʃn/ | التناسب العكسي |
2.8
التناسب المباشر والعكسي (متقدمة)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| التعبير عن التناسب الطردي والعكسي بالمصطلحات الجبرية واستخدام هذه الصيغة لإيجاد الكميات المجهولة. | يشمل التناسب الخطي والمربع وجذر التربيعي والتكعيبي وجذر التكعيب. مطلوب معرفة الرمز التناسبي ($\propto$). |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
كميتان في تناسب مباشر إذا كانت إحداهما دائمًا مضاعف ثابت للأخرى: $y \propto x$ تعني $y = kx$، حيث $k$ ثابت. هما في تناسب عكسي إذا زادت إحداهما عندما تنخفض الأخرى: $y \propto \dfrac{1}{x}$ تعني $y = \dfrac{k}{x}$. الرمز $\propto$ يُقرأ "يتناسب مع". يمكنك أيضًا أن يكون هناك تناسب مع مربع، جذر تربيعي، مكعب أو جذر تكعيفي.
مثال محلول. $y$ يتناسب طرديًا مع $x$، و$y = 12$ عندما $x = 3$. أجد $y$ عندما $x = 7$.
أوجد أولاً $k$: $12 = k \times 3$، إذن $k = 4$ و$y = 4x$. ثم $y = 4 \times 7 = 28$.
استكشف
التناسب المقلوب
y = a/x
التناسب المقلوب: عندما يتضاعف x، ينخفض y إلى النصف — منحنى مقلوب له مقاربان.
2.9
الرسوم البيانية في مواقف عملية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدم وتفسير البيانيات في مواقف عملية بما في ذلك بيانيات السفر وبيانيات التحويل. | على سبيل المثال، تفسر ميل بياني خط مستقيم كمعدل تغير. |
| 2 ارسم بيانيات من بيانات معطاة. | على سبيل المثال، ارسم بياني مسافة–زمن لتمثيل رحلة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام وتفسير الرسوم البيانية في المواقف العملية بما في ذلك رسوم الحركة ورسوم التحويل. | يشمل التقدير وتفسير ميل المماس عند نقطة. |
| 2 رسم الرسوم البيانية من بيانات معطاة. | |
| 3 تطبيق فكرة معدل التغير على حركة بسيطة تتضمن رسوم المسافة–الزمن وسرعة–الزمن، والتسارع والتباطؤ. | |
| 4 حساب المسافة المقطوعة كمساحة تحت رسم سرعة–الزمن. | ستشملAreas أقساماً خطية من الرسم فقط. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الميل (الانحدار) للرسم البياني يشير إلى معدل التغير.
- رسم بياني للحركة (مسافة–زمن) ميله يساوي السرعة؛ الجزء الأفقي يعني أن الجسم لا يتحرك.
- رسم بياني للتحويل هو خط مستقيم يستخدم لتحويل بين وحدتين (على سبيل المثال، أميال وكيلومترات).
الرسوم البيانية للسرعة–الزمن (متقدمة)
على الرسم البياني للسرعة–الزمن، يمثل الميل التسارع (أو التباطؤ إذا انخفضت السرعة)، والمساحة تحت الرسم البياني هي المسافة المقطوعة.
مثال محلول. تتسارع سيارة من السكون إلى $20\text{ m/s}$ في $8\text{ s}$، ثم تظل عند $20\text{ m/s}$ لمدة $12\text{ s}$. أوجد التسارع والمسافة الكلية.
التسارع $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. المسافة هي المساحة: مثلث زائد مستطيل،
$$\tfrac{1}{2} \times 8 \times 20 + 12 \times 20 = 80 + 240 = 320\text{ m}.$$
استكشف
الرسوم البيانية الحقيقية
y = ax + b
يُقرأ الرسم البياني للمسافة–الزمن أو التكلفة من ميله وقطعه المحور.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| distance/ˈdɪstəns/ | المسافة |
| table of values/ˈteɪbl ɒv ˈvæljuːz/ | جدول القيم |
| coordinates/kəʊˈɔːdɪnəts/ | الإحداثيات |
| axis/ˈæksɪs/ | محور |
| roots/ruːts/ | الجذور |
| intersection point/ˌɪntəˈsekʃn pɔɪnt/ | نقطة التقاطع |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | نمو أسي |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | تناقص أسي |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | التناظر |
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | المقطع |
2.10
رسوم بيانية للدوال
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 قم بإنشاء جداول قيم، وارسم واعرف وتفسير بيانيات للدوال من الأشكال التالية: • $ax + b$ • $\pm x^2 + ax + b$ • $\frac{a}{x} \ (x \neq 0)$ حيث $a$ و $b$ ثوابت صحيحة. | |
| 2 حل المعادلات ذات الصلة بيانياً، بما في ذلك إيجاد وتفسير الجذور بطرق بيانية. | على سبيل المثال، أوجد نقطة تقاطع خط ومنحنى. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إنشاء جداول للقيم، ورسم، والتعرف على وتفسير الرسوم البيانية لدوال من الأشكال التالية: • $a x^n$ (يشمل مجاميع لا تزيد عن ثلاثة منها) • $a b^x + c$ حيث $n = -2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$؛ $a$ و $c$ أعداد نسبية؛ و $b$ عدد صحيح موجب. | الأمثلة تشمل: • $y = x^3 + x - 4$ • $y = 2x + \frac{3}{x^2}$ • $y = \frac{1}{4} \times 2^x$. |
| 2 حل المعادلات المرتبطة بيانياً، بما في ذلك إيجاد وتفسير الجذور بالطرق البيانية. | مثال: إيجاد نقطة تقاطع خط ومنحنى. |
| 3 رسم وتفسير الرسوم البيانية التي تمثل مسائل النمو والتحلل الأسّي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
لرسم منحنى، قم بإنشاء جدول للقيم: اختر قيمًا لـ $x$، احسب $y$، ثم ارسم الإحداثيات وصِل بينها بمنحنى ناعم.
النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى مع محور $x$ (محور أفقي) تسمى الجذور — وهي حلول $y = 0$.
يمكنك حل معادلة عن طريق قراءة الرسم البياني. نقطة التقاطع بين خط ومنحنى تعطي حلاً للمعادلتين معًا.
بالنسبة للنمو الأسي والتناقص الأسي، يرتفع (أو ينخفض) منحنى $y = a\,b^{x} + c$ بشكل أسرع فأكثر ويتقارب نحو خط أفقي.
استكشف
تمثيل دالة تربيعية بيانياً
y = ax² + bx + c
اسحب a و b و c وشاهد القطع المكافئ يتحرك — نقطة انعطافه وأين يقطع المحاور.
2.11
رسم منحنيات تقريبية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| اعرف، ارسم، وتفسير بيانيات الدوال التالية: (أ) الخطية (ب) التربيعية. | مطلوب معرفة التماثل والجذور. معرفة نقاط الانعطاف ليست مطلوبة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| التعرف، الرسم التقريبي، وتفسير الرسوم البيانية للدوال التالية: (أ) خطية (ب) تربيعية (ج) تكعيبية (د) مقلوبة (هـ) أسية. | ستكون الدوال مكافئة لـ: • $ax + by = c$ • $y = ax^2 + bx + c$ • $y = ax^3 + b$ • $y = ax^3 + bx^2 + cx$ • $y = \frac{a}{x} + b$ • $y = ar^x + b$ حيث $a$، $b$ و $c$ أعداد نسبية و $r$ عدد نسبي موجب. يُشترط معرفة النقاط الحرجة، الجذور، والتناظر. يُشترط معرفة المقاربات الرأسية والأفقية. إيجاد النقاط الحرجة للتربيعية بإكمال المربع مطلوب. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يجب أن يُظهر الرسم التقريبي السريع الشكل الصحيح والميزات الرئيسية: حيث يتقاطع مع المحاور، أي تناظر، وأي خط يقترب منه المنحنى.
| الدالة | الشكل |
|---|---|
| خطية، $y = mx + c$ | خط مستقيم؛ ميل $m$، تقاطع $y$-محور الصادات $c$ |
| تربيعية، $y = ax^{2} + bx + c$ | قطع مكافئ (شكل U إذا كان $a>0$، شكل $\cap$ إذا كان $a<0$) |
| تكعيبية، $y = ax^{3} + bx + c$ | منحنى على شكل حرف S |
| مقلوب، $y = \dfrac{a}{x} + b$ | منحنيان منفصلان |
| أسية، $y = a\,r^{x} + b$ | نمو سريع أو تناقص |
بالنسبة للقطع المكافئ، إكمال المربع يعطي نقطة الانعطاف (النقطة الأدنى أو الأعلى). على سبيل المثال، $y = (x + 3)^{2} - 8$ لها نقطة انعطاف عند $(-3, -8)$.
المقارب هو خط يقترب منه المنحنى越来越近 لكنه لا يلمسه أبدًا — على سبيل المثال، محور $x$ لـ $y = \dfrac{a}{x}$، أو الخط $y = b$ لـ $y = a\,r^{x} + b$.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | قطع مكافئ |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | نقطة الانعكاس |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | مقارب |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | الاشتقاق |
2.12
الاشتقاق (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 تقدير ميل المنحنيات برسم المماسات. | |
| 2 استخدام مشتقات الدوال من الشكل $ax^n$، حيث $a$ ثابت نسبي و $n$ عدد صحيح موجب أو صفر، ومجاميع بسيطة لا تزيد عن ثلاثة منها. | سيُتوقع استخدام رمز $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. |
| 3 تطبيق الاشتقاق على الميل والنقاط الثابتة (النقاط الحرجة). | |
| 4 التمييز بين النقاط العظمى والصغرى بأي طريقة. | يمكن تحديد النقاط العظمى والصغرى بواسطة: • رسم تقريبي دقيق • استخدام المشتقة الثانية • فحص الميل من كلا جانبين للنقطة الحرجة. لا يُتوقع من المرشحين تحديد نقاط الانعطاف. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الاشتقاق يجد ميل المنحنى عند أي نقطة. يمكنك تقديره برسم مماس (خط يمس المنحنى فقط) وقياس ميله.
القاعدة الدقيقة: إذا $y = ax^{n}$، فإن المشتقة هي
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = a\,n\,x^{\,n-1}.$$
اشتق مجموعًا حدًا بحد.
مثال محلول. إذا كان $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$، فإن $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.
نقطة ساقطة (نقطة انعطاف) هي حيث يكون الميل صفرًا، لذا ضع $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.
مثال محلول. أوجد نقطة الانعطاف لـ $y = x^{2} - 6x + 5$.
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3, \quad y = 3^{2} - 6(3) + 5 = -4.$$
نقطة الانعطاف هي $(3, -4)$. لتحديد ما إذا كانت نقطة الانعطاف عظمى أم صغرى، تحقق من إشارة الميل على كل جانب، أو استخدم المشتقة الثانية (الموجبة تعني صغرى).
استكشف
ميل المنحنى
y = ax³ + bx² + cx + d
حرك النقطة: المماس يظهر الميل عند تلك النقطة، وهو ما تجده المشتقة.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | الميل |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | معدل التغير |
| travel graph/ˈtrævl ɡræf/ | رسم بياني للحركة |
| conversion graph/kənˈvɜːʃn ɡræf/ | مخطط التحويل |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | التسارع |
| deceleration/dɪˌseləˈreɪʃn/ | إبطاء |
| tangent/ˈtændʒənt/ | القطري |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | نقطة ثابتة |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | الأقصى |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | الحد الأدنى |
2.13
الدوال (متقدمة)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 فهم الدوال، والمجال والمدى واستخدام رموز الدوال. | تشمل الأمثلة: • $f(x) = 3x - 5$ • $g(x) = \frac{3(x + 4)}{5}$ • $h(x) = 2x^2 + 3$. |
| 2 فهم وإيجاد الدوال العكسية $f^{-1}(x)$. | |
| 3 تكوين دوال مركبة كما هو معرّف بواسطة $gf(x) = g(f(x))$. | مثل: $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ و$g(x) = (3x + 5)^2$. أوجد $fg(x)$. قدّم إجابتك ككسر في أبسط صورة. لا يُتوقع من المرشحين إيجاد مجالات ومدى الدوال المركبة. قد يتضمن هذا الموضوع مخططات التحويل. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الدالة تحول كل مدخل إلى مخرج واحد. نكتب $f(x)$، على سبيل المثال $f(x) = 3x - 5$، لذا $f(2) = 1$. مجموعة المدخلات المسموحة هي المجال؛ مجموعة المخرجات الممكنة هي المدى.
الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ تلغي عمل الدالة. لإيجادها، اكتب $y = f(x)$، قلب الأدوار، واجعل $x$ موضوعًا.
مثال محلّل. أوجد معكوس $f(x) = 3x - 5$.
$$y = 3x - 5 \;\Rightarrow\; x = \frac{y + 5}{3}, \quad \text{so} \quad f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}.$$
الدالة المركبة تطبق دالة بعد أخرى: $gf(x)$ تعني "قم بـ $f$ أولاً، ثم $g$".
مثال محلول. إذا $f(x) = 2x$ و$g(x) = x + 3$، فإن
$$gf(x) = g(2x) = 2x + 3, \qquad fg(x) = f(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6.$$
استكشف
الدوال
y = f(x)
تحوّل الدالة كل مدخل إلى مخرج واحد بالضبط — راقب شكلها.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | دالة |
| domain/dəˈmeɪn/ | المجال |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المركبة |
2.13
نصائح للامتحان
- عند فك الأقواس، اضرب كل حد وانتبه للإشارات، خاصة مع وجود علامة طرح في البداية: $-(x - 3) = -x + 3$.
- لحل معادلة، افعل نفس الشيء للطرفين. عندما تضرب أو تقسم متباينة في عدد سالب، قلب الإشارة.
- تحليل إلى عوامل بالكامل: خذ العامل المشترك الأكبر أولاً، ثم ابحث عن فرق مربعين أو نمط تربيعي.
- عادةً ما يكون للمعادلة التربيعية حلان — قدم كلاهما. تحقق مما إذا كانت السؤال يريد التحليل، أو الصيغة، أو إكمال المربع.
- عند التعويض في معادلة، ضع كل قيمة في أقواس أولاً، حتى تكون الإشارات والأسس صحيحة.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.