تغطي هذه الورقة الموضوع 8، الاحتمالات. الأجزاء المحددة بـ (المنهج المتقدم) تختبر فقط في ورقات المنهج المتقدم؛ والباقي لكلا المستويين.
احتمال
IGCSE الرياضيات · الموضوع 8
7:31
احتمال
هل ستمطر غداً؟ هل سيتأخر الحافلة؟ هل سيظهر هذا الرمز رقم ستة؟ لا شيء في الحياة مؤكد تقريباً، ولا شيء مستحيل تقريباً. معظم الأشياء تقع…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
8.1
مقياس الاحتمال
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 فهم واستخدام مقياس الاحتمال من 0 إلى 1. | لا يلزم استخدام رموز الاحتمالات. يجب تقديم الاحتمالكسوراً أو أعشاراً أو نسب مئوية. قد تتطلب المسائل استخدام معلومات من جداول أو رسوم بيانية أو مخططات فن (محدود بمجموعتين). |
| 2 حساب احتمال حدث مفرد. | |
| 3 فهم أن احتمال عدم حدوث حدث = 1 – احتمال حدوث الحدث. | مثال: احتمال أن تكون ficha زرقاء هو 0.8. ما هو احتمال ألا تكون زرقاء؟ |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 افهم واستخدم مقياس الاحتمال من 0 إلى 1. | $\text{P}(A)$ هو احتمال $A$ |
| 2 افهم واستخدم رمز الاحتمالات. | $\text{P}(A')$ هو احتمال عدم $A$ |
| 3 احسب احتمال حدث مفرد. | يجب إعطاء الاحتمالات ككسر أو عشري أو نسبة مئوية. قد تتطلب المسائل استخدام معلومات من جداول أو رسوم بيانية أو مخططات فون. |
| 4 افهم أن احتمال عدم وقوع حدث = 1 – احتمال وقوع الحدث. | مثال: $\text{P}(B) = 0.8$، أوجد $\text{P}(B')$ |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الاحتمال يقيس مدى احتمالية حدوث حدث. يمتد على مقياس من $0$ (مستحيل) إلى $1$ (مؤكد)، ويمكن كتابته بكسر أو رقم عشري أو نسبة مئوية. نكتب $\text{P}(A)$ لاحتمال حدث $A$.
لنتائج متساوية الاحتمال متكافئة،
$$\text{P}(\text{event}) = \frac{\text{number of favourable outcomes}}{\text{total number of outcomes}}.$$
الاحتمال الذي لا يحدث فيه حدث ما هو
$$\text{P}(A') = 1 - \text{P}(A).$$
مثال محلول. يحتوي كيس على $3$ حبات حمراء و$5$ حبات زرقاء. أوجد احتمال عدم سحب حبة حمراء.
$$\text{P}(\text{red}) = \frac{3}{8}, \qquad \text{P}(\text{not red}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$$
استكشف
مقياس الاحتمالية
اسحب المؤشر من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكد) لوضع حدث على مقياس الاحتمال.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | بالكلمات |
| event/ɪˈvent/ | مخرجات |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | الناتج |
8.2
التواتر النسبي والتواتر المتوقع
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 فهم التواتر النسبي كتقدير للاحتمال. | مثال: استخدام نتائج تجارب دوارة لتقدير احتمال نتيجة معينة. |
| 2 حساب التواترات المتوقعة. | مثال: استخدام الاحتمال لتقدير قيمة متوقعة من مجتمع إحصائي. يشمل فهم المقصود بالتساوي، التحيز والعشوائية. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 فهم التواتر النسبي كتقدير للاحتمال. | مثال: استخدام نتائج تجارب دوارة لتقدير احتمال نتيجة معينة. |
| 2 احسب التواترات المتوقعة. | مثال: استخدم الاحتمالات لتقدير قيمة متوقعة من مجتمع إحصائي. |
| يشمل فهم ما يعنيه العادل، التحيز والعشوائي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
عندما لا تكون النتائج متكافلة، قم بتجربة. التواتر النسبي يقدّر الاحتمال:
$$\text{relative frequency} = \frac{\text{number of times it happened}}{\text{total number of trials}}.$$
كلما قمت بمزيد من المحاولات، كان التقدير أفضل. الجسم العادل يعطي فرصاً متساوية؛ والجسم الذي به تحيز لا يفعل ذلك؛ وعشوائي يعني أن كل نتيجة تحدث عن طريق الصدفة.
التواتر المتوقع هو عدد المرات التي تتوقع فيها حدوث حدث في $n$ محاولة:
$$\text{expected frequency} = \text{P}(\text{event}) \times n.$$
مثال محلول. احتمال رمي رقم ستة هو $\tfrac{1}{6}$. كم عدد الستة المتوقعة في $300$ رميات؟
$$\frac{1}{6} \times 300 = 50.$$
استكشف
احتمالية رمي حجرين
ارمي الحجرين مرات عديدة: تبدأ الأشرطة بالتذبذب ثم تستقر في المثلث النظري الذي يتوج عند 7 — احتمالية تجريبية تقترب من النظرية.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| relative frequency/ˈrelətɪv ˈfriːkwənsi/ | التكرار النسبي |
| fair/feə/ | عادلة |
| bias/ˈbaɪəs/ | تحيزاً |
| random/ˈrændəm/ | عشوائي |
| expected frequency/ekˈspektɪd ˈfriːkwənsi/ | التردد المتوقع |
| combined events/kəmˈbaɪnd ɪˈvents/ | أحداث مشتركة / مركبة |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | أحداث مستقلة |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | متباعدة |
| sample space diagram/ˈsæmpl speɪs ˈdaɪəɡræm/ | مخطط فضاء العينة |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | رسم فين |
8.3
الأحداث المشتركة
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| حساب احتمال الأحداث المركبة باستخدام، عند الاقتضاء: • مخططات الفضاء العيني • مخططات فن • مخططات الشجرة. | ستكون الأحداث المركبة مع الإرجاع فقط. |
| ستقتصر مخططات فن على مجموعتين. | |
| في مخططات الشجرة، تُكتب النتائج في نهاية الفروع والاحتمالات بجانب الفروع. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| احسب احتمال الأحداث المشتركة باستخدام، حيثما يتناسب: • مخططات فضاء العينة • مخططات فون | الأحداث المشتركة قد تكون مع الاستبدال أو بدون استبدال. |
| يمكن استخدام الرمز $\text{P}(A \cap B)$ و $\text{P}(A \cup B)$ في سياق مخططات فون. | |
| • مخططات الأشجار. | في مخططات الأشجار تُكتب النتائج عند نهاية الفروع والاحتمالات بجانب الفروع. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
لاثنين أو أكثر من الأحداث معاً (أحداث مشتركة)، قاعدتان تساعدان:
- AND (يحدثان معاً): اضرب الاحتمالات — عندما تكون الأحداث مستقلة (واحد لا يؤثر على الآخر).
- OR (يحدث أحدهما): اجمع الاحتمالات — عندما تكون الأحداث منفصلة (لا يمكن أن يحدثا معاً).
ثلاث صور تساعدك على تنظيم العمل.
مخططات الفضاء العيني
المخطط للفضاء العيني هو جدول أو شبكة تدرج كل نتيجة ممكنة — مفيد لرمي حجرين نرد أو دوّارتين. عدّ النتائج التي تريدها من الإجمالي.
مخططات فون
مخطط فون يصنف النتائج إلى مجموعات متداخلة. يمكنك منه قراءة $\text{P}(A \cap B)$ (في كلا المجموعتين) و$\text{P}(A \cup B)$ (في أي منهما).
مخططات الشجرة
مخطط الشجرة يُظهر كل مرحلة كمجموعة من الفروع. اكتب الاحتمال على كل فرع والناتج في النهاية. اضرب على طول الفروع، ثم اجمع المسارات التي تريدها.
مثال محلول (مع الإرجاع). من الكيس ($3$ حمراء، $5$ زرقاء)، تُسحب حبة، تُعاد، ثم تُسحب ثانية. هذا مع الإرجاع، لذا لا تتغير الفرص. أوجد احتمال حصدين حمراوين.
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}.$$
مثال محلول (بدون إرجاع، موسّع). الآن لا تُعاد الحبة الأولى — السحب بدون إرجاع. بعد سحب واحدة حمراء، يتبقى $2$ حمراء من بين $7$:
$$\text{P}(\text{red, red}) = \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}.$$
استكشف
شجرة الاحتمالات
اضرب الاحتمالات على طول كل فرع؛ دائماً ما تُجمّع النتائج الأربعة لتعطي 1.
استكشف
أحداث مركبة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
اجمع حدثين: نموذج المساحة يُظهر AND (تقاطع) مقابل OR (اتحاد).
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | رسم بياني شجري |
| with replacement/wɪð rɪˈpleɪsmənt/ | مع الإرجاع |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | بدون إرجاع |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | احتمال شرطي |
8.4
الاحتمال الشرطي (موسّع)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| احسب الاحتمال الشرطي باستخدام مخططات فون ومخططات الأشجار والجداول. | لا يُطلب معرفة الرمز $\text{P}(A|B)$ والصيغ المتعلقة بالاحتمال الشرطي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الاحتمال الشرطي هو احتمال حدث واحد بشرط أن حدث آخر قد وقع بالفعل. اقرأه من مخطط فون أو جدول ثنائي الاتجاه أو مخطط شجرة بالنظر فقط إلى الجزء المطابق للشروط.
مثال محلول. في فصل يتكون من $30$ طالباً، يدرس $18$ الفرنسية، ومنهم $7$ يدرسون الألمانية أيضاً. تم اختيار طالب فرنسي عشوائياً. أوجد احتمال أنه يدرس الألمانية أيضاً.
انظر فقط إلى $18$ الطلاب الفرنسيين:
$$\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \frac{7}{18}.$$
استكشف
أشجار الاحتمال
غيّر احتمالات الفروع واقرأ الاحتمالات المشتركة والشروطية من الشجرة.
8.4
نصائح للامتحان
- يقع كل احتمال بين $0$ و$1$، ومجموع احتمالات جميع النتائج يساوي $1$.
- بالنسبة لـ "and" (حدثان معاً) اضرب الاحتمالات؛ ولـ "or" (حدث واحد) اجمع them. على مخطط الشجرة، اضرب على طول الفروع.
- انتبه لـ بدون إرجاع: يتغير الاحتمال الثاني لأن عنصرًا واحدًا قد أُزيل بالفعل.
- التواتر المتوقع = الاحتمال × عدد المحاولات.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.