تغطي هذه الورقة الموضوع 6، حساب المثلثات. الأجزاء المحددة (متقدمة) تُختبر فقط في أوراق الامتحان المتقدم؛ والباقي لكلا المستويين. قدّر إجابات الزوايا إلى منزلة عشرية واحدة.
مثلثات
IGCSE الرياضيات · الموضوع 6
8:37
مثلثات
كم طول ذلك البرج؟ لا يمكنك تسلقه بشريط قياس. ولكن يمكنك الوقوف على الأرض، المشي fifty متر للخلف، وقياس زاوية واحدة — الزاوية التي…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
6.1
نظرية فيثاغورس
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| معرفة واستخدام نظرية فيثاغورس. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
نظرية فيثاغورس تربط أضلاع ثلاثة لمثلث قائم الزاوية (مثلث يحتوي على زاوية $90^{\circ}$ واحدة). إذا كان أطول ضلع (الفرض المستقيم، المقابل للزاوية القائمة) هو $c$، فإن
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}.$$
استخدمها لإيجاد ضلع مفقود.
مثال محلول. مثلث قائم الزاوية وتره $13\text{ cm}$ وأحد ضلعيه القصيرين $5\text{ cm}$. أوجد الضلع القصير الآخر.
$$b^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144, \qquad b = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.$$
استكشف
نظرية فيثاغورس
غيّر الضلعين القصيرين وشاهد $a^2 + b^2 = c^2$ — المربعات المبنية على الأضلاع حقًا تجمع معًا.
6.2
حساب المثلثات في المثلثات القائمة الزاوية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 معرفة和使用 النسب المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل) للزوايا الحادة في الحسابات涉及 أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية. | ستُعطى الزوايا بالدرجات ويجب كتابة الإجابات بالدرجات، مع دقة decimals حتى منزلة عشرية واحدة. |
| 2 حل المسائل ثنائية الأبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس والمثلثيات. | قد يكون معرفة الاتجاهات مطلوبة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 معرفة和使用 النسب المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل) للزوايا الحادة في الحسابات涉及 أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية. | ستُعطى الزوايا بالدرجات ويجب كتابة الإجابات بالدرجات، مع دقة decimals حتى منزلة عشرية واحدة. |
| 2 حل المسائل ثنائية الأبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس والمثلثيات. | قد يكون معرفة الاتجاهات مطلوبة. |
| 3 معرفة أن المسافة العمودية من نقطة إلى خط هي أقصر مسافة إلى ذلك الخط. | |
| 4 إجراء حسابات تتعلق بزوايا الارتفاع والانخفاض. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
سمِّ الأضلاع بالنسبة للزاوية التي تستخدمها: المقابل (عكس الزاوية)، المجاور (بجوار الزاوية)، والوتر. النسب الثلاث هي نسبة الجيب، نسبة جيب التمام ونسبة الظل (sin, cos, tan):
$$\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}.$$
احفظها على أنها SOH-CAH-TOA. لإيجاد زاوية، استخدم الدالة العكسية ($\sin^{-1}$، $\cos^{-1}$، $\tan^{-1}$).
مثال محلول (إيجاد ضلع). في مثلث قائم الزاوية الوتر هو $10\text{ cm}$ والزاوية هي $30^{\circ}$. أوجد الضلع المقابل.
$$\text{opp} = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\text{ cm}.$$
مثال محلول (إيجاد زاوية). الضلع المقابل هو $4\text{ cm}$ والضلع المجاور هو $3\text{ cm}$.
$$\tan\theta = \frac{4}{3}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}.$$
استكشف
الجيب وجيب التمام وظل الجيب
اسحب الزاوية على دائرة الوحدة لترى откуда تأتي sin، cos و tan.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | نظرية فيثاغورس |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | مثلث قائم الزاوية |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | مثلث |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | الوتر |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | عكس |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | مجاور |
6.2
زوايا الارتفاع والانخفاض (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 معرفة和使用 النسب المثلثية (الجيب، جيب التمام، الظل) للزوايا الحادة في الحسابات涉及 أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية. | ستُعطى الزوايا بالدرجات ويجب كتابة الإجابات بالدرجات، مع دقة decimals حتى منزلة عشرية واحدة. |
| 2 حل المسائل ثنائية الأبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس والمثلثيات. | قد يكون معرفة الاتجاهات مطلوبة. |
| 3 معرفة أن المسافة العمودية من نقطة إلى خط هي أقصر مسافة إلى ذلك الخط. | |
| 4 إجراء حسابات تتعلق بزوايا الارتفاع والانخفاض. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
زاوية الارتفاع هي الزاوية للأعلى من الأفق نحو جسم فوقك. زاوية الانخفاض هي الزاوية للأسفل من الأفق نحو جسم تحتك. أقصر مسافة من نقطة إلى خط هي المسافة العمودية.
مثال محلول. من نقطة $50\text{ m}$ من قاعدة برج، زاوية الارتفاع إلى القمة هي $40^{\circ}$. أوجد ارتفاع البرج.
$$\text{height} = 50 \times \tan 40^{\circ} = 50 \times 0.839 = 42.0\text{ m}.$$
6.3
القيم المثلثية الدقيقة (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| معرفة القيم الدقيقة لـ: 1 $\sin x$ و$\cos x$ من أجل $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ و$90^\circ$. 2 $\tan x$ من أجل $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ و$60^\circ$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يجب أن تعرف هذه القيم الدقيقة بدون الآلة الحاسبة.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
6.4
الرسوم البيانية والمعادلات المثلثية (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 التعرف ورسم وتفسير الرسوم البيانية التالية من أجل $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 حل المعادلات المثلثية التي تتضمن $\sin x$ أو $\cos x$ أو $\tan x$، من أجل $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | مثال: حل: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ من أجل $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ من أجل $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
لـ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
- $y = \sin x$ موجة تبدأ من $0$، تصل لقمة عند $90^{\circ}$، تعود إلى $0$ عند $180^{\circ}$، وتنخفض إلى $-1$ عند $270^{\circ}$.
- $y = \cos x$ نفس الموجة ولكن تبدأ من $1$.
- $y = \tan x$ ترتفع بشدة وتتكرر كل $180^{\circ}$.
غالباً ما يكون للمعادلة المثلثية أكثر من حل في هذا النطاق. استخدم الرسم البياني (أو تناظر الموجة) لإيجاد جميع الحلول.
مثال محلول. حل $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ لـ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
حل واحد هو $x = 60^{\circ}$. الموجة الجيبية تأخذ قيمة $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ أيضاً عند $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. إذن $x = 60^{\circ}$ أو $120^{\circ}$.
مثال محلول. حل $2\cos x + 1 = 0$ لـ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
$$\cos x = -\tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = 120^{\circ} \text{ or } 240^{\circ}.$$
استكشف
رسوم بيانية للمثلثات & معادلات
(cos θ, sin θ)
عندما تدور الزاوية، sin و cos ترسمان موجاتهما — وتتكرر كل 360°.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| sine/saɪn/ | جايب |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | جيب التمام |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | نسبة الظل (Tangent) |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | زاوية الارتفاع |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | زاوية الانخفاض |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودية |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة المثلثية |
6.5
قواعد الجيب وجيب التمام (متقدم)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام قاعدتا الجيب وجيب التمام في الحسابات المتعلقة بالأطوال والزوايا لأي مثلث. | يشمل مسائل تتعلق بالزوايا المنفرجة والحالة الغامضة. |
| 2 استخدم الصيغة $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | معطاة في قائمة الصيغ قواعد الجيب والتجيب وصيغة مساحة المثلث. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
أي مثلث (غير القائم فقط)، مع أضلاع $a, b, c$ مقابل زوايا $A, B, C$:
$$\text{sine rule:}\quad \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$
$$\text{cosine rule:}\quad a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A.$$
استخدم قاعدة الجيب عندما يكون لديك ضلع وزاوية مقابلة له. استخدم قاعدة جيب التمام عندما يكون لديك ضلعان والزاوية بينهما، أو جميع الأضلاع الثلاثة. مع قاعدة الجيب، انتبه للحالة الغامضة، حيث يمكن أن تكون الزاوية حادة أو منفرجة.
مساحة أي مثلث هي
$$\text{area} = \tfrac{1}{2}ab\sin C.$$
مثال محلول. مثلث له $b = 7\text{ cm}$، $c = 8\text{ cm}$ والزاوية بينهما $A = 40^{\circ}$. أوجد الضلع $a$.
$$a^{2} = 7^{2} + 8^{2} - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 113 - 112 \times 0.766 = 27.2,$$
$$a = \sqrt{27.2} = 5.2\text{ cm}.$$
استكشف
قانون الجيب وجيب التمام
ضلعان والزاوية بينهما يحددان المثلث: قانون جيب التمام يجد الضلع الثالث، وقانون الجيب يحدد الزوايا الأخرى.
استكشف
ماذا يعني الجيب وجيب التمام
أدر الزاوية على دائرة الوحدة: الضلع الأفقي هو cos θ والضلع الرأسي هو sin θ — نفس النسب التي تستخدمها قوانين الجيب وجيب التمام.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | قانون الجيب |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | قانون جيب التمام |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | الحالة الغامضة |
| plane/pleɪn/ | المستوى |
6.6
فيثاغورس والمثلثات في 3D (ممتد)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| قم بإجراء العمليات الحسابية وحل المسائل في ثلاثة أبعاد باستخدام نظرية فيثاغورس والمثلثات، بما في ذلك حساب الزاوية بين خط ومستوى. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
في ثلاثة أبعاد، أوجد مثلثاً قائم الزاوية داخل الجسم الصلب، ثم استخدم فيثاغورس أو المثلثات عليه. مهمة شائعة هي الزاوية بين خط وسطح مستوٍ (مستوى).
مثال محلول. صندوق له قاعدة $6\text{ cm}$ × $8\text{ cm}$ وارتفاع $5\text{ cm}$. أوجد الزاوية بين قطر فراغي والقاعدة.
أولاً القطر القاعدي: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. هذا القطر والارتفاع يشكلان مثلثاً قائم الزاوية، لذا فإن الزاوية $\theta$ مع القاعدة هي
$$\tan\theta = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}.$$
استكشف
نظرية فيثاغورس
في المثلث القائم a² + b² = c². نفس الفكرة، مطبقة مرتين، تعطي أطوالاً داخل أجسام 3-Aبعادية.
6.6
نصائح للامتحان
- استخدم فيثاغورس ($a^2 + b^2 = c^2$) عندما لا توجد زاوية؛ استخدم SOH-CAH-TOA عندما تكون هناك زاوية.
- الوتر دائماً مقابل الزاوية القائمة. سمِّ الأضلاع (المقابل، المجاور، الوتر) بالنسبة للزاوية التي تستخدمها.
- لإيجاد زاوية، استخدم الدالة العكسية ($\sin^{-1}$، $\cos^{-1}$، $\tan^{-1}$)، وتأكد من ضبط الآلة الحاسبة على درجات.
- لمثلث غير قائم الزاوية، استخدم قاعدة الجيب أو قاعدة جيب التمام — قاعدة جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية بينهما.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.