الاحتمال الشرطي

سؤال المحقق

• أنت تعلم أن شخصاً ما يدرس الفرنسية. ما احتمال أنه يدرس الألمانية أيضاً؟
• هذا ليس نفس "ما احتمال أن يدرس شخص ما كلا اللغتين؟" — لقد قلصت المجموعة إلى طلاب الفرنسية فقط.
• هذا هو الاحتمال الشرطي: احتمال $B$ بشرط أن $A$ قد حدث بالفعل.

كيفية قراءته

• $\text{P}(B \mid A)$ تعني "احتمال $B$ بشرط $A$".
• انظر فقط إلى الجزء الذي يتوافق مع الشرط — على مخطط فين، أو جدول ثنائي الأبعاد، أو شجرة.

على مخطط الشجرة، نضرب الاحتمالات على طول الفروع؛ هنا يعطي اللونان الأحمران $\tfrac38\times\tfrac38=\tfrac{9}{64}$

الصيغة (موسّعة)

على جدول ثنائي الأبعاد

• لإيجاد $\text{P}(B \mid A)$: انظر إلى الصف (أو العمود) الخاص بـ $A$، ووجد الكسر الذي يتوافق أيضاً مع $B$.
• إجمالي الصف هو المقام، وليس الإجمالي الكلي.

المستقل عن المعتمد

• إذا كان $\text{P}(B \mid A) = \text{P}(B)$، فإن الأحداث مستقلة — معرفة حدوث $A$ لا تغير احتمال $B$.
• إذا اختلفا، فإن الأحداث معتمدة.

يحدد الاحتمال الشرطي الانتباه إلى المجموعة التي تتوافق مع الشرط — مثل النظر فقط داخل منطقة واحدة من مخطط فين.

الشرط على المجموعة الأصغر

• من بين 30 طالبًا، يدرس 18 الفرنسية وي درس 7 من هؤلاء الألمانية. بشرط دراسة الفرنسية، استخدم $p=7/18$، لا $7/30$؛ الشرط يختار فقط 18 طلابًا.
• افترض أن 12 طالبًا في الفصل الكامل يدرسون الألمانية. حينها $P(G)=12/30=0.4$ يختلف عن $P(G\mid F)=7/18$. الحدثان ليسا مستقلين لهذه البيانات.

لقد فهمت الأمر