أحداث مركبة
| English | العربية |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | مستقلة |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | متباعدة |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | فضاء العينة |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | رسم بياني شجري |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | استبدالاً |
حدثان في آنٍ واحد
- ترمي نرداً وترمي عملة. ما احتمال ظهور نقرة AND صورة؟
- الأحداث المشتركة تتطلب قاعدتين: AND (ضرب) و OR (جمع).
AND — ضرب (أحداث مستقلة)
- لحدثين مستقلين (لا يؤثر أحدهما على الآخر):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
أحداث مركبة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
اجمع حدثين: نموذج المساحة يُظهر AND (تقاطع) مقابل OR (اتحاد).
لحدوث حدثين مستقلين معاً (AND)، تقوم بـ:
P(A و B) = P(A) × P(B) للأحداث المستقلة.
OR — جمع (أحداث متنافية)
- لحدثين متنافيين (لا يمكن أن يحدثا معاً):
شجرة الاحتمالات
اضرب الاحتمالات على طول كل فرع؛ دائماً ما تُجمّع النتائج الأربعة لتعطي 1.
بالنسبة للأحداث المتنافية، P(A أو B) = P(A) + P(B).
الأحداث المتنافية لا يمكن أن تحدث معاً، لذا نجمع احتماليها.
ثلاث طرق لعرض النتائج
- رسم فضاء العينة: جدول لكل نتيجة (نردتان → $36$ خلية).
- رسم فن: يصنف النتائج في مجموعات متداخلة.
- رسم شجري: فرع لكل مرحلة؛ اضرب على طول الفروع، ثم اجمع المسارات التي تريدها.
رسم فن يصنف النتائج: التقاطع هو $\text{P}(A\text{ and }B)$، وكل شيء داخل إحدى الدائرتين هو $\text{P}(A\text{ or }B)$
اضرب على طول، اجمع بين. على الرسم الشجري: اضرب احتمالات كل فرع (للحصول على احتمال ذلك المسار)، ثم اجمع المسارات التي تريدها (للحصول على الاحتمال الكلي).
على الشبكة 6×6 لحجرين (36 خلية)، كم عدد الخلايا التي تعطي مجموعاً يساوي 7؟
1+6، 2+5، 3+4، 4+3، 5+2، 6+1 — ست خلايا، إذن P(7) = 6/36 = 1/6.
في شجرة الاحتمالات، أنت ______ على طول الفروع وتجمع بين المسارات.
اضرب على طول كل فرع للحصول على احتمال ذلك المسار، ثم اجمع المسارات المطلوبة.
مع وببدون إرجاع
- مع الإرجاع: تظل الفرص ثابتة في كل مرة.
- بدون الإرجاع (موسع): يتغير المجموع والعدد بعد كل سحب.
- كيس يحتوي على $3$ أحمر، $5$ أزرق: احتمال (أحمر، أحمر) مع الإرجاع $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. بدون إرجاع $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
تُظهر مخططات فين الأحداث المشتركة: التداخل (التقاطع) هو AND، والمنطقة الكاملة (الاتحاد) هي OR.
حقيبة بها 3 حمراء و 5 زرقاء، سحبان مع الاستبدال. P(أحمر، أحمر) = 9/b. ما قيمة b؟
(3/8) × (3/8) = 9/64، إذن b = 64.
نفس الحقيبة، بدون استبدال. بعد إزالة قطعة حمراء واحدة، كم قطعة حمراء متبقية؟
بدأنا بـ 3 حمراء؛ أخذ واحدة يترك 2 حمراء (من أصل 7 قطع).
يعني واحد بالضبط مسارين
- اسحب مرتين من 2 أحمر و3 أزرق بإعادة. كل مرحلة تحتوي على أحمر $2/5$ وأزرق $3/5$. يعني واحد أحمر يشمل RB وBR، لذا $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- واحد أو أكثر أحمر أسهل بالمكملة: $p=1-(3/5)^2=16/25$. هذا يشمل RR بالإضافة إلى المسارين المختلطين؛ لا تخلط بين واحد بالضبط وواحد أو أكثر.
مع الاستبدال من 2 فيونات حمراء و3 فيونات زرقاء، أوجد احتمال الحصول على فيون أحمر واحد بالضبط في سحبتين.
RB و BR تعطيان 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48.
لقد فهمت الأمر
- AND → اضرب (مستقلة)؛ OR → اجمع (متشابهة استثنائياً)
- على الشجرة: اضرب على طول الفروع، واجمع المسارات المطلوبة
- بدون إرجاع، يتغير الاحتمال الثاني (يتغير) ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)