IGCSE Mathematics · IGCSE الرياضيات · Topic 5 · الموضوع 5
7:47
القياسات
هرم الجيزة العظيم يقف منذ أربعة آلاف ونصف عام. كم حجر بداخله؟ حوالي مليونين ونصف المكعبات الألفية — وأحد…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
تغطي هذه الورقة الموضوع 5، الحسابات الهندسية (قياس الطول والمساحة والحجم). المحتوى الأساسي والممتد هنا متشابه تقريباً. في الامتحان، يتم إعطاء بعض القوانين في قائمة القوانين، ولكن يجب عليك حفظها جميعاً.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدم الوحدات المترية للكتلة والطول والمساحة والحجم والسعة في مواقف عملية وحوّل الكميات إلى وحدات أكبر أو أصغر. | تشمل الوحدات: • مم، سم، م، كم • $\text{mm}^2$، $\text{cm}^2$، $\text{m}^2$، $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$، $\text{cm}^3$، $\text{m}^3$ • مل، لتر • غ، كجم. يشمل التحويل بين الوحدات: • بين وحدات مختلفة للمساحة، مثل $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • بين وحدات الحجم والسعة، مثل $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
نستخدم وحدات مترية لـ الكتلة (g, kg)، الطول (mm, cm, m, km)، المساحة، الحجم و السعة (ml, litres — المساحة داخل حاوية).
لتحويل الوحدات، كن حذراً مع المربعات والمكعبات:
مثال محلول. حول $3\text{ m}^{2}$ إلى $\text{cm}^{2}$.
Choose the unit that matches the measurement scale. · اختر الوحدة التي تطابق مقياس القياس.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| أجرِ حسابات تتعلق بالمحيط ومساحة المستطيل والمثلث ومتوازي الأضلاع وشبه المنحرف. | باستثناء مساحة المثلث، لن تُعطى الصيغ. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| إجراء حسابات تتعلق بمحيط ومساحة المستطيل والمثلث ومتوازي الأضلاع وشبه المنحرف. | باستثناء مساحة المثلث، لا يتم إعطاء القوانين. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
المحيط هو المسافة المحيطة بالشكل بالكامل. المساحة هي مقدار المساحة المستوية بداخله. هنا $b$ هو القاعدة و$h$ هو الـارتفاع العمودي.
| الشكل | المساحة |
|---|---|
| مستطيل | $\text{length} \times \text{width}$ |
| مثلث | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| متوازي الأضلاع | $b \times h$ |
| شبه منحرف | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$، حيث $a$ و$b$ هما الضلعان المتوازيان |
مثال محلول. شبه منحرف له أضلاع موازية $6\text{ cm}$ و$10\text{ cm}$، وارتفاع $4\text{ cm}$. أوجد مساحته.
area = side^2 · المساحة = طول الضلع^2
Change side length and see why area grows quadratically. · غيّر طول الضلع ولاحظ为何 تنمو المساحة تربيعياً.
| English | العربية |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | مترية |
| mass/mæs/ | الكتلة |
| length/leŋθ/ | طول |
| area/ˈeərɪə/ | مساحة |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 أجرِ حسابات تتعلق بمحيط الدائرة ومساحتها. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. |
| 2 أجرِ حسابات تتعلق بطول القوس ومساحة الجزء الدائري كنسبة من محيط الدائرة ومساحتها، حيث يكون زاوية الجزء عاملاً من عوامل $360^\circ$. | تُعطى الصيغ في قائمة الصيغ. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إجراء حسابات تتعلق بمحيط ومساحة الدائرة. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. القوانين معطاة في قائمة القوانين. |
| 2 إجراء حسابات تتعلق بطول القوس ومساحة القطاع ككسور من محيط ومساحة الدائرة. | يشمل الأقطاع الصغيرة والكبيرة. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
لـدائرة نصف قطرها $r$ (وقطرها $d = 2r$):
المحيط هو المسافة حول الدائرة.
مثال محلول. دائرة نصف قطرها $7\text{ cm}$. أوجد محيطها ومساحتها (اترك $\pi$ في الإجابة).
| English | العربية |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | دائرة |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | نصف القطر |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | القطر |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | محيط الدائرة |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 أجرِ حسابات تتعلق بمحيط الدائرة ومساحتها. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. |
| 2 أجرِ حسابات تتعلق بطول القوس ومساحة الجزء الدائري كنسبة من محيط الدائرة ومساحتها، حيث يكون زاوية الجزء عاملاً من عوامل $360^\circ$. | تُعطى الصيغ في قائمة الصيغ. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إجراء حسابات تتعلق بمحيط ومساحة الدائرة. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. القوانين معطاة في قائمة القوانين. |
| 2 إجراء حسابات تتعلق بطول القوس ومساحة القطاع ككسور من محيط ومساحة الدائرة. | يشمل الأقطاع الصغيرة والكبيرة. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
القوس هو جزء من المحيط. الجزء (أو القطاع) هو "قطعة بيتزا" بين نصفَي قطر. إذا كانت زاوية الجزء $\theta$، فإن القوس والجزء يمثلان تلك الكسر $\dfrac{\theta}{360}$ من الدائرة الكاملة:
القطعة الصغيرة هي قطاع صغير؛ والباقي الكبير هو قطاع كبير.
مثال محلول. أوجد طول القوس ومساحة قطاع بزاوية $90^{\circ}$ ونصف قطر $8\text{ cm}$.
الكسر هو $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$، لذا
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · كلما كان الزاوية أو نصف القطر أكبر، كان الـ arc أطول ومساحة الـ sector أكبر.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · غيّر الزاوية ونصف القطر واقرأ طول القوس ومساحة القطاع — ككسر من الدائرة الكاملة.
| English | العربية |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | قوس |
| sector/ˈsektə/ | القطاع |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | قطعة دائرية صغيرة |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | قطعة دائرية كبيرة |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | طول القوس |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| إجراء الحسابات وحل المسائل المتعلقة بالمساحة السطحية والحجم لـ: • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • كرة • هرم • مخروط. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. المعادلات التالية معطاة في قائمة المعادلات: • المساحة الجانبية للأسطوانة • المساحة الجانبية للمخروط • المساحة السطحية للكرة • حجم المنشور • حجم الهرم • حجم الأسطوانة • حجم المخروط • حجم الكرة. يشير مصطلح "منشور" إلى أي جسم صلب له مقطع عرضي منتظم، مثل القطاع الأسطواني. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
مساحة السطح هي مجموع مساحة جميع الأوجه الخارجية. الحجم هو الفراغ الداخلي. لهذه المجسمات ($r$ = نصف القطر، $h$ = الارتفاع):
| المجسم | الحجم | مساحة السطح |
|---|---|---|
| صندوق مستطيل | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | اجمع الأوجه الستة |
| منشور | (مساحة المقطع العرضي) $\times$ × الطول | — |
| cylinder | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (مساحة السطح المنحني) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (منحني) $+\, \pi r^{2}$، حيث $l$ هو الطول المائل |
| كرة | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
مثال محلول. أسطوانة نصف قطرها $5\text{ cm}$ وارتفاعها $10\text{ cm}$. أوجد حجمها ومساحة سطحها الكلية (بالنسبة لـ $\pi$).
surface area grows with scale^2 · تنمو مساحة السطح بمقدار scale^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · غيّر مقياس الطول ولاحظ أن الحجم ينمو أسرع من مساحة السطح.
| English | العربية |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | الحجم |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | استيعابية |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | محيط |
| base/beɪs/ | القاعدة |
| height/haɪt/ | الطول |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | مستطيل |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | مثلث |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | متوازي الأضلاع |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | شبه منحرف |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | مساحة السطح |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | متوازي المستطيلات |
| prism/ˈprɪzəm/ | هرم مستقيم |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | قطع عرضي |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | أسطوانة |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | مساحة السطح المنحني |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | هرم |
| cone/kəʊn/ | مخروط |
| slant height/slænt haɪt/ | الارتفاع المائل |
| sphere/sfɪə/ | كرة |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إجراء الحسابات وحل المسائل المحصورة في المحيطات والمساحات لـ: • أشكال مركبة • أجزاء من أشكال. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. |
| 2 إجراء الحسابات وحل المسائل المحصورة في المساحات السطحية والأحجام لـ: • أجسام مركبة • أجزاء من الأجسام. | مثال: إيجاد حجم نصف الكرة. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 إجراء الحسابات وحل المسائل المحصورة في المحيطات والمساحات لـ: • أشكال مركبة • أجزاء من أشكال. | قد يُطلب الإجابة بدلالة $\pi$. |
| 2 إجراء الحسابات وحل المسائل المتعلقة بمساحات الأسطح وحجوم: • الأجسام الصلبة المركبة • أجزاء من الأجسام الصلبة. | مثال: أوجد مساحة السطح والحجم لقاطع مخروطي. |
Source: Cambridge International syllabus · المصدر: منهج كامبريدج الدولي
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
الشكل المركب يتكون من ربط أو قص أشكال بسيطة. قسّمه إلى أجزاء تعرفها، ثم اجمع أو اطرح.
بالنسبة لـ"الأجزاء" من دائرة أو مجسم، خذ الكسر الصحيح. على سبيل المثال، النصف كرة (نصف الكرة) لها حجم
الجزء المقطوع (فرستم) هو مخروط أو هرم تم قطع قمته؛ أوجد حجمه بطرح المخروط الصغير العلوي من المخروط الكامل.
مثال محلول. أوجد مساحة شكل يتكون من مستطيل $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ مع نصف دائرة قطرها $5\text{ cm}$ على أحد الطرفين.
لنصف الدائرة نصف قطر $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · فك الشكل المركب إلى أجزاء بسيطة، ثم أعد تجميعها.
| English | العربية |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | شكل مركب |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | كرة نصفية |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | قطع مخروطي |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.
Past Papers · أوراق الامتحانات السابقة
Loading subjects… · جار تحميل المواضيع…