تغطي هذه الورقة الموضوع 9، الإحصاء. الأجزاء المحددة بـ (موسّع) تُختبر فقط في أوراق الامتحان الموسعة؛ والباقي لكلا المستويين.
الإحصاء
IGCSE الرياضيات · الموضوع 9
8:09
الإحصاء
يجمع العالم يومياً أرقاماً عنك: المسافة التي تسلكها، مدة نومك، نتيجتك في اختبار. قائمة طويلة من الأرقام تخبرك تقريباً…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
9.1 9.2
جمع وعرض البيانات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| تصنيف وتبويب البيانات الإحصائية. | مثال: جداول العد، الجداول ثنائية الأبعاد. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 قراءة وتفسير واستخلاص استنتاجات من الجداول والرسوم البيانية الإحصائية. | |
| 2 مقارنة مجموعات البيانات باستخدام الجداول والرسوم البيانية والمقاييس الإحصائية. | مثال: مقارنة المتوسطات والمدى بين مجموعتي بيانات. |
| 3 إدراك القيود المفروضة على رسم الاستنتاجات من البيانات المعطاة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 قراءة وتفسير واستخلاص استنتاجات من الجداول والرسوم البيانية الإحصائية. | |
| 2 قارن مجموعات البيانات باستخدام الجداول والرسوم البيانية والمقاييس الإحصائية. | مثال: قارن المتوسطات ومقاييس التشتت بين مجموعتي بيانات. |
| 3 إدراك القيود المفروضة على رسم الاستنتاجات من البيانات المعطاة. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
لتنظيم الإحصائية البيانات، استخدم:
- جدول العدّ — ضع علامة لكل قيمة، ثم احسب.
- جدول ثنائي الاتجاه — يصنف البيانات حسب ميزتين في آن واحد (على سبيل المثال، أولاد/بنات مقابل مشي/حافلة).
عندما تقرأ مخططاً، استنتج فقط ما تدعمه البيانات حقاً.
استكشف
دورة التعامل مع البيانات
اتبع سؤالًا إحصائيًا من الجمع إلى العرض.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| statistical/stəˈtɪstɪkl/ | إحصائي |
| data/ˈdeɪtə/ | البيانات |
| tally table/ˈtælɪ ˈteɪbl/ | جدول العد |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | جدول ثنائي الأبعاد |
9.3
المتوسطات والمدى
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| حساب المتوسط، الوسيط، المنوال والمدى للبيانات الفردية والتمييز بين الأغراض التي تُستخدم فيها هذه المقاييس. | قد تكون البيانات في قائمة أو جدول تكراري، لكن لن تكون مجتمعة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، الربيعيات، المدى والفارق الربيعي للبيانات الفردية وميز الغرض الذي تُستخدم فيه هذه المقاييس. | |
| 2 احسب تقديرًا للوسط الحسابي للبيانات المتقطعة المجمعة أو المستمرة المجمعة. | |
| 3 حدد الفئة المنوالية من توزيع تكراري مجمّع. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
ثلاثة متوسطات تصف القيمة النموذجية للبيانات، والمدى يظهر مدى انتشارها. كل منها يُستخدم لغرض مختلف:
- متوسط حسابي $= \dfrac{\text{sum of all values}}{\text{how many values}}$.
- وسيط $=$ القيمة الوسطى عندما تُرتب البيانات.
- منوال $=$ القيمة التي تظهر الأكثر تكراراً.
- المدى $=$ أكبر قيمة $-$ أصغر قيمة (يُظهر مدى تشتت البيانات).
مثال محلول. أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى لـ $4, 7, 7, 2, 5$.
رتب البيانات: $2, 4, 5, 7, 7$.
$$\text{mean} = \frac{4 + 7 + 7 + 2 + 5}{5} = \frac{25}{5} = 5, \quad \text{median} = 5, \quad \text{mode} = 7, \quad \text{range} = 7 - 2 = 5.$$
استكشف
مختار المتوسط
اختر المتوسط المناسب لوضع البيانات.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| mean/miːn/ | متوسط |
| median/ˈmiːdiːən/ | الوسيط |
| mode/məʊd/ | المنوال |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
9.3
المتوسطات من جدول التواتر
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| حساب المتوسط، الوسيط، المنوال والمدى للبيانات الفردية والتمييز بين الأغراض التي تُستخدم فيها هذه المقاييس. | قد تكون البيانات في قائمة أو جدول تكراري، لكن لن تكون مجتمعة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، الربيعيات، المدى والفارق الربيعي للبيانات الفردية وميز الغرض الذي تُستخدم فيه هذه المقاييس. | |
| 2 احسب تقديرًا للوسط الحسابي للبيانات المتقطعة المجمعة أو المستمرة المجمعة. | |
| 3 حدد الفئة المنوالية من توزيع تكراري مجمّع. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
عندما تُدرج البيانات مع تواترها (كم مرة تظهر كل قيمة)، يكون المتوسط الحسابي
$$\text{mean} = \frac{\sum (\text{value} \times \text{frequency})}{\sum \text{frequency}}.$$
مثال محلول. القيم $1, 2, 3$ تظهر بتواترات $4, 5, 1$. أوجد المتوسط الحسابي.
$$\text{mean} = \frac{1(4) + 2(5) + 3(1)}{4 + 5 + 1} = \frac{17}{10} = 1.7.$$
بيانات مجزأة (موسّع)
بالنسبة للبيانات المجمعة، لا يمكنك إيجاد المتوسط الدقيق، لذا قّمه باستخدام الوسط الحسابي لكل مجموعة كقيمة. الفئة الغالبة هي ببساطة المجموعة ذات التكرار الأعلى.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | التردد |
| grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/ | البيانات المبوبة |
| modal class/ˈməʊdl klæs/ | الفئة المنوطة |
9.3
مقاييس التشتت (موسّع)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، الربيعيات، المدى والفارق الربيعي للبيانات الفردية وميز الغرض الذي تُستخدم فيه هذه المقاييس. | |
| 2 احسب تقديرًا للوسط الحسابي للبيانات المتقطعة المجمعة أو المستمرة المجمعة. | |
| 3 حدد الفئة المنوالية من توزيع تكراري مجمّع. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
عندما تكون البيانات مرتبة، تقسم الربيعياتها إلى أربعة أجزاء متساوية. الربيع الأدنى (LQ) يقع عند ربع المسافة للأعلى؛ والربيع الأعلى (UQ) يقع عند ثلاثة أرباع المسافة للأعلى. يقيس مدى الربيعين تشتت النصف الأوسط:
$$\text{interquartile range} = \text{UQ} - \text{LQ}.$$
مدى الربيعين مفيد لأنه، على عكس المدى، يتجاهل القيم المتطرفة.
استكشف
الرسم البياني للصندوق والساق
بني رسم صندوق من ملخص الخمس قيم: الصندوق يمثل الـ 50% الوسطى (مدى الربيع) وموضع الوسيط يشير إلى الانحراف.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | الربيع |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | المدى الربيعي |
9.4
المخططات والرسوم البيانية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| رسم وتفسير: (أ) الرسوم البيانية الشريطية (ب) الدوائر البيانية (ج) الصور الرمزية (د) مخططات الجذير والورقة (هـ) التوزيعات التكرارية البسيطة. | يشمل الرسوم البيانية الشريطية المركبة (المكدسة) والمزدوجة (بجوار بعضها البعض). يجب أن تحتوي مخططات الجذير والورقة على بيانات مرتبة مع مفتاح. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
| مخطط | ما يعرضه |
|---|---|
| رسم بياني عمودي | عمود لكل فئة؛ الارتفاع هو التكرار |
| رسم بياني دائري | دائرة مقسمة إلى قطع، كل منها كسر من $360^{\circ}$ |
| رسم بياني رمزي | يستخدم رمزًا ليمثل عددًا من العناصر |
| مخطط الجذير والورقة | يحتفظ بأرقام البيانات المرتبة، مع مفتاح |
| توزيع التكرارات | جدول للقيم وتكراراتها |
مثال محلل (رسم بياني دائري). من بين $120$ شخصًا، اختار $30$ الشاي. أوجد زاوية قطعة الشاي.
$$\frac{30}{120} \times 360^{\circ} = 90^{\circ}.$$
استكشف
زوايا الرسم الدائري
زاوية كل قطعة هي حصتها من الكل محولة إلى درجات — التكرار ÷ المجموع الكلي × 360 — والقطع دائماً تجمع 360°.
استكشف
مختار نوع المخطط
اختر المخطط المناسب لنوع البيانات.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| bar chart/bɑː tʃɑːt/ | مخطط عمودي |
| pie chart/paɪ tʃɑːt/ | مخطط دائري |
| pictogram/ˈpɪktəɡræm/ | المخطط الرمزي |
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | مخطط الساق والورقة |
| frequency distribution/ˈfriːkwənsi ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | توزيع التواتر |
| scatter diagram/ˈskætə ˈdaɪəɡræm/ | المخطط المبعثر |
9.5
مخططات التشتت والتعلق
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 رسم وتفسير مخططات التشتت. | يجب تحديد النقاط المرسومة بوضوح، على سبيل المثال كعلامات x صغيرة. |
| 2 فهم المقصود بالارتباط الموجب والسالب والصفر. | |
| 3 رسم بخط اليد وتفسير واستخدام خط أفضل انحدار. | خط أفضل انحدار: • يجب أن يكون خطاً مستقيماً واحداً مرسوماً بالفحص البصري • يجب أن يمتد عبر مجموعة البيانات بالكامل • لا يحتاج إلى التطابق تماماً مع أي من النقاط ولكن يجب أن يكون هناك توزيع متوازن تقريباً للنقاط على جانبي الخط على طول كامله. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 ارسم وتفسر مخططات التبعثر. | يجب تحديد النقاط المرسومة بوضوح، على سبيل المثال كعلامات x صغيرة. |
| 2 فهم المقصود بالارتباط الموجب والسالب والصفر. | |
| 3 رسم بخط اليد وتفسير واستخدام خط أفضل انحدار. | خط أفضل انحدار: • يجب أن يكون خطاً مستقيماً واحداً مرسوماً بالفحص البصري • يجب أن يمتد عبر مجموعة البيانات بالكامل • لا يحتاج إلى التطابق تماماً مع أي من النقاط ولكن يجب أن يكون هناك توزيع متوازن تقريباً للنقاط على جانبي الخط على طول كامله. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
يرسم المخطط المشتت أزواجًا من القيم كنقاط لإظهار ما إذا كان هناك رابط بين شيئين. الرابط هو التعلق:
- تعلق إيجابي — عندما يرتفع أحدهما، يرتفع الآخر.
- تعلق سلبي — عندما يرتفع أحدهما، ينخفض الآخر.
- تعلق صفري — لا يوجد رابط واضح.
إذا كان هناك تعلق، ارسم خط أفضل تطابق: خط مستقيم واحد مرسم من خلال منتصف النقاط، بحيث يكون عدد النقاط تقريبًا مساويًا على كل جانب. استخدمه للتنبؤ بالقيم.
استكشف
مخطط التشتت والارتباط
غيّر قوة العلاقة وأضف خط أفضل ملاءمة لملاحظة الاتجاه.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| correlation/ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | الارتباط |
| positive correlation/ˈpɒzɪtɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | ارتباطًا إيجابيًا |
| negative correlation/ˈneɡətɪv ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | ارتباطًا سلبيًا |
| zero correlation/ˈzɪərəʊ ˌkɒrɪˈleɪʃn/ | تباين صفري |
| line of best fit/laɪn ɒv best fɪt/ | خط أفضل ملاءمة |
9.6
مخططات التكرار التراكمي (موسّع)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 ارسم وتفسر جداول ومخططات التواتر التراكمي. | يجب تحديد النقاط المرسومة على مخطط التواتر التراكمي بوضوح، على سبيل المثال كعلامات x صغيرة، وتوصيلها بمنحنى سلس. |
| 2 قدّر وتفسر الوسيط، المئويات، الربيعيات والفارق الربيعي من مخططات التواتر التراكمي. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
التكرار التراكمي هو مجموع تراكمي للتكرارات. ارسمه مقابل الطرف العلوي لكل فئة وصِل النقاط بمنحنى أملس.
من المنحنى يمكنك قراءة الوسيط (عند نصف الإجمالي)، والربيعيات (عند الربع والثلاثة أرباع)، وأي مئوي (على سبيل المثال، المئوي $90$ يقع عند $90\%$ من الإجمالي).
استكشف
مسار التكرار التراكمي
اتبع البيانات الخام إلى منحنى التكرار التراكمي وقراءة百分يل (المئوي).
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | التكرار التراكمي |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | المئوي |
9.7
المدرج التكراري (موسّع)
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 ارسم وتفسر المدرجات التكرارية. | في المدرجات التكرارية، يكون المحور الرأسي مُسمى "كثافة التواتر". |
| 2 احسب باستخدام كثافة التواتر. | تُعرف كثافة التواتر بأنها $\text{frequency density} = \text{frequency} \div \text{class width}$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المدرج التكراري يشبه الرسم البياني العمودي، لكن الأعمدة قد تكون ذات عرض مختلف، ومساحة كل عمود (وليس ارتفاعه) تُظهر التكرار. المحور الرأسي هو كثافة التكرار:
$$\text{frequency density} = \frac{\text{frequency}}{\text{class width}}.$$
مثال محلل. الفئة لها عرض الفئة $10$ والتكرار $25$. أوجد كثافة التكرار.
$$\text{frequency density} = \frac{25}{10} = 2.5.$$
استكشف
المدرج التكراري لكثافة التكرار
مع عدم تساوي أعرض الفئات، تكون ارتفاع العمود كثافة التكرار، لذا فإن المساحة (وليس الارتفاع) تمثل التكرار.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | مخطط مستند |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | كثافة التردد |
| class width/klæs wɪtθ/ | عرض الفئة |
9.7
نصائح للامتحان
- اعرف المتوسطات الثلاثة: المتوسط (اجمع ÷ العدد)، الوسيط (القيمة الوسطى عند الترتيب)، المنوال (الأكثر تكرارًا). المدى هو الأعلى − الأقل.
- من جدول التكرار، المتوسط هو $\frac{\sum fx}{\sum f}$ — اقسم على إجمالي التكرار، وليس عدد الصفوف.
- على المخطط المشتت، وصف التعلق بأنه إيجابي أو سلبي أو معدوم، وارسم خط أفضل تطابق من خلال نقطة المتوسط.
- بالنسبة لـ مدرج تكراري بأعرض فئات غير متساوية، الارتفاع هو كثافة التكرار (التكرار ÷ عرض الفئة)، وليس التكرار.
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.