المعادلات
| English | العربية |
|---|---|
| linear equations/ˈlɪnɪə ɪˈkweɪʒnz/ | المعادلات الخطية |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | معادلات متزامنة |
| eliminate/ɪˈlɪmɪneɪt/ | استبعاد |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | تربيعي |
| subject/ˈsʌbdʒekt/ | موضوع |
الفن القديم للموازنة
- كلمة "معادلة" مشتقة من "متساوي" — يجب أن يكون كلا الطرفين متساويين، مثل ميزان.
- البابليون حلوا المعادلات الخطية قبل 4000 عام باستخدام ألواح الطين. اليوم نستخدم نفس المبدأ: افعل الشيء نفسه للطرفين.
المعادلات الخطية
- حلّها بإجراء عملية مماثلة على كلا الطرفين حتى يبقى المجهول وحده.
- $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.
انتبه للإشارات. $-2x + 5 = 11 \Rightarrow -2x = 6 \Rightarrow x = -3$. القسمة على عدد سالب تعكس إشارة الإجابة.
حل بإجراء الشيء نفسه على كلا الطرفين
حل معادلة
y = ax² + bx + c
الحل يعني إيجاد الجذور — حيث يتقاطع المنحنى مع محور x.
حل 3x + 7 = 22.
3x = 22 − 7 = 15، إذن x = 5.
المعادلات المتزامنة
- معادلتان، مجهولان. أزل أحد المتغيرات بالجمع أو الطرح.
- $2x + y = 7$ و $3x - y = 8$: الجمع يعطي $5x = 15$، إذن $x = 3$، ثم $y = 1$.
تحقق من إجابتك. عوض عائدًا: $2(3) + 1 = 7$ ✓ و $3(3) - 1 = 8$ ✓.
حل ⟦2x + y = 7⟧ و ⟦3x − y = 8⟧. ما قيمة x؟
بجمع المعادلتين: 5x = 15، إذن x = 3 (ثم y = 1).
من 2x + y = 7 و 3x − y = 8، ما قيمة y؟
x = 3 من الجمع. بالتعويض: 2(3) + y = 7 → y = 1.
معادلات ثاني درجة (متوسع)
- معادلة ثانية درجة $ax^2 + bx + c = 0$ يمكن أن يكون لها اثنان، واحد، أو صفر من الحلول الحقيقية.
- بالتحليل إلى عوامل: $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2$ أو $x = -3$.
- بالصيغة: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (معطاة في الامتحان).
جذور المعادلة التربيعية هي النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى الزائدي مع المحور $x$ — وهي حلول $y = 0$.
حل x² + 5x + 6 = 0 عن طريق التحليل إلى عوامل.
(x + 2)(x + 3) = 0، إذن x = −2 أو x = −3.
الصيغة التربيعية هي x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
هذه الصيغة تحل أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0.
القوى في إعادة ترتيب المعادلات (ممتد)
- اجعل الحرف موضوعاً بعكس العمليات المطبقة عليه.
- اجعل $r$ موضوعاً لـ $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$: $\;r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$، إذن $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.
اجعل r هو موضوع المعادلة V = (4/3)πr³. r = ∛(____).
اضرب في 3/(4π): r³ = 3V/(4π)، ثم خذ الجذر التكعيبي.
بناء معادلة، ثم اختيار طريقة
- مشكلة التذاكر تعطي $2a+c=31$ و $a+2c=26$. ضاعف الثاني وطرح الأول: $3c=21$، إذن $c=7$، ثم $a=12$. تحقق من المجموع الأصلي لكلا الحالتين.
- إعادة الترتيب الأساسية: $C=5t+8$ تعطي $C-8=5t$، ثم $t=(C-8)/5$. الموضوع يظهر مرة واحدة وليس له أس أو جذر.
لـ 2a + c = 31 و a + 2c = 26، أوجد a.
تخلص من a: 3c = 21، c = 7. ثم 2a = 24، a = 12.
إكمال المربع والقانون العام (ممتد)
- $x^2+6x+5=0$ تصبح $(x+3)^2-4=0$، إذن $x+3=\pm2$، مما يعطي $x=-1,-5$.
- بالنسبة لـ $2x^2+x-3=0$، اختر $a=2,b=1,c=-3$ في $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. وبالتالي $x=(-1\pm5)/4=1,-1.5$. التحقق بالتعويض يفحص كل جذر.
أوجد الجذر الموجب لـ 2x² + x − 3 = 0.
تعطي الصيغة (−1+5)/4 = 1؛ الجذر الآخر هو −1.5.
المعادلات الكسرية (ممتد)
- بالنسبة لـ $x/(x+2)=3/5$، استبعد $x=-2$. اضرب في $5(x+2)$: $5x=3(x+2)$، إذن $2x=6$ و$x=3$. تحقق من $3/5=3/5$.
- بالنسبة لـ $2/(x+1)+1/(x-1)=1$، استبعد $x=-1,1$. اضرب جميع الأطراف في $(x+1)(x-1)$: $2(x-1)+(x+1)=x^2-1$. هذا يعطي $x^2-3x=0$، إذن $x=0$ أو 3؛ كلاهما مسموح به.
حل x/(x+2) = 3/5.
5x = 3x+6، لذا x = 3، وهو ليس القيمة المستبدة −2.
خط واحد ومنحنى واحد (ممتد)
- حل $y=x+2$ و$y=x^2$ بالتعويض: $x^2=x+2$، إذن $(x-2)(x+1)=0$. وبالتالي $x=2$ أو $-1$.
- أوجد $y$ المطابقة لكل منها: الأزواج هي $(2,4)$ و$(-1,1)$. لا تخلط بين جذر مع قيمة $y$ للجذر الآخر.
حل y = x+2 و y = x². أعطِ الحل الموجب لـ x.
x²−x−2 = (x−2)(x+1)، لذا الحل الموجب هو 2.
موضوع يظهر مرتين (متقدم)
- أعد ترتيب $y=(3x+2)/(x-1)$ من أجل $x$: $y(x-1)=3x+2$، ثم $yx-3x=y+2$.
- قم بتحليل الموضوع: $x(y-3)=y+2$، مما يعطي $x=(y+2)/(y-3)$، $y\ne3$. يتطلب الأمر الأصلي أيضًا $x\ne1$.
لقد فهمت الأمر
- خطي: نفس العملية على كلا الطرفين؛ متزامن: أضف/اطرح للتخلص من المتغير
- تربيعي: جدّله، أو أكمل المربع، أو استخدم الصيغة
- أعد الترتيب: عكس العمليات بالترتيب العكسي لجعل حرف ما هو الموضوع