التفاضل
| English | العربية |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | التفاضل والتكامل |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | المشتقة |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | تشتق |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | نقطة ثابتة |
الميل المتغير
- الخط المستقيم له ميل واحد في كل مكان. المنحنى له ميل مختلف عند كل نقطة.
- نيوتن وليبنيتز ابتكرا التفاضل والتكامل للإجابة عن: "ما هو ميل المنحنى هنا بالضبط؟" الجواب هو المشتقة.
قاعدة القوة
- إذا كانت $y = ax^n$، فإن $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- بالكلمات: إنزل الأس للأمام، ثم قلله بمقدار واحد.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. اشتق حدًا بحد — يُعامل كل حد بشكل مستقل.
ميل المنحنى عند نقطة هو ميل المماس هناك، وهو ما يكتشفه التفاضل
الميل عند نقطة ما
الميل = dy/dx
حرك النقطة — ميل المماس هو المشتقة عند تلك النقطة.
إذا كانت y = x³ + 2x² − 5x، فإن dy/dx = 3x² + 4x − 5. ما هي قيمتها عند x = 1؟
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
لـ y = axⁿ، حيث n عدد صحيح موجب، الاشتقاق يعطي:
انزل الأس وقلله بمقدار 1: a·n·xⁿ⁻¹.
إذا كانت y = 4x³، فما هي dy/dx عند x = 2؟
dy/dx = 12x². عند x = 2: 12(4) = 48.
مشتقة y = x⁵ هي dy/dx = ______.
قاعدة القوة: انزل الـ 5 وقلل الأس: 5x⁴.
حالات خاصة
- $y = c$ (ثابت) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (الخط الأفقي له ميل صفر).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (الخط المستقيم له ميل ثابت).
- قاعدة القوى في IGCSE هنا تستخدم أسسًا صحيحة غير سالمة ومجموعًا لا يزيد عن ثلاثة حدود؛ اشتقاق الدوال المقلوبة خارج نطاق هذا المنهج.
لا تنس الحد الثابت. مشتقة $x^2 + 7$ هي $2x$، وليس $2x + 7$. مشتقة الثابت تكون دائمًا صفراً.
مشتقة y = x² + 7 هي 2x + 7.
مشتقة الثابت تساوي 0. إذن dy/dx = 2x، وليست 2x + 7.
النقاط الثابتة
- نقطة ثابتة هي حيث $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — المنحنى مسطح لحظيًا.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- عند $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. نقطة الانعطال: $(3, -4)$.
النقطة الساقطة هي حيث يكون المنحنى مسطحاً لحظياً — الميل (المشتقة) يساوي صفراً.
للمنحنى y = x² − 6x + 5 نقطة انعطاف. عند أي قيمة x تكون (dy/dx = 0)؟
dy/dx = 2x − 6 = 0 تعطي x = 3.
لماذا يهم التفاضل
- الفيزياء: السرعة هي مشتقة الموقع؛ التسارع هو مشتقة السرعة.
- الاقتصاد: التكلفة الحدية هي مشتقة التكلفة الكلية — تكلفة وحدة إضافية واحدة.
- التحسين: لتعظيم الربح أو تقليل التكلفة، اجعل المشتقة تساوي صفراً.
المماس يقدر ميل المنحنى
- ارسم مماسًا يلامس المنحنى عند النقطة المطلوبة، ثم اختر نقطتين واضحتين على المماس، وليس نقطتين عشوائيتين على المنحنى. احسب الارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية.
- بالنسبة لـ $y=x^2$ عند $(2,4)$، المماس المار بـ $(1,0)$ و $(3,8)$ له $m=(8-0)/(3-1)=4$. يؤكد الاشتقاق $dy/dx=2x=4$ عند $x=2$.
يمر مماس عبر النقطتين (1,0) و(3,8). أوجد ميله.
الارتفاع 8 مقسومًا على المسافة الأفقية 2 يعطي 4.
حد أدنى أم حد أقصى؟
- بالنسبة لـ $y=x^2-6x+5$، المشتقة هي $2x-6$. تكون سالبة عند $x=2$، صفرًا عند 3، وموجبة عند 4: الهبوط ثم الارتفاع يعني حدًا أدنى عند $(3,-4)$.
- بالنسبة لـ $y=-x^2+4x+1$، $dy/dx=-2x+4$. تكون موجبة عند 1 وسالبة عند 3 مما يعني حدًا أقصى عند $x=2$، حيث $y=5$.
لـ y = −x² + 4x + 1، أوجد الإحداثي y لأعلى نقطة.
dy/dx = −2x + 4 يساوي صفرًا عند x = 2؛ y = −4 + 8 + 1 = 5.
لقد فهمت الأمر
- قاعدة القوة: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- اشتق المجموع حدًا بحد؛ مشتقة الثابت هي صفر
- نقطة ساقطة هي حيث $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$