الدوال
| English | العربية |
|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | دالة |
| domain/dəˈmeɪn/ | المجال |
| range/reɪndʒ/ | المدى |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | الدالة العكسية |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | الدالة المركبة |
آلة بها مدخل ومخرج
- ماكينة بيع ذاتي: تضع رمزاً (مدخل)، تعطيك وجبة خفيفة (مخرج). الدالة تعمل بنفس الطريقة — كل مدخل ينتج مخرجاً واحداً بالضبط.
- $f(x) = 3x - 5$ هي دالة: أدخل $x = 2$، احصل على $f(2) = 1$.
تقييم الدوال
- $f(x) = 3x - 5$: $\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$; $\;f(0) = -5$; $\;f(-1) = -8$.
- المجال هو مجموعة المدخلات المسموحة. المدى هو مجموعة المخرجات الممكنة.
$f(x) = \sqrt{x}$ له مجال $x \geq 0$ (لا يمكن جذر تربيعي لعدد سالب) ومدى $f(x) \geq 0$.
الدوال
y = f(x)
تحوّل الدالة كل مدخل إلى مخرج واحد بالضبط — راقب شكلها.
بالنسبة لـ f(x) = 3x − 5، ما هي f(2)؟
f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1.
بالنسبة لـ f(x) = x² + 1، ما هي f(3)؟
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
الدوال العكسية
- العكسي $f^{-1}$ يلغي $f$: إذا $f$ يحول $2$ إلى $1$، فإن $f^{-1}$ يحول $1$ عائدًا إلى $2$.
- الطريقة: اكتب $y = f(x)$، استبدل $x$ و$y$، ثم اجعل $y$ موضوع المعادلة.
- $f(x) = 3x - 5$: $y = 3x - 5$، استبدال: $x = 3y - 5$، حل: $y = \dfrac{x+5}{3}$.
- إذن $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$. تحقق: $f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓.
$f^{-1}$ ليس مساوياً لـ $f$ أس $-1$. الرمز $f^{-1}(x)$ يعني "المعكوس الضربي لـ $f$"، وليس "$\dfrac{1}{f(x)}$". هذان مختلفان تماماً.
معكوس الدالة f(x) = 3x − 5 هو f⁻¹(x) = (x + 5)/3. ما هي f⁻¹(1)؟
f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2.
لإيجاد معكوس f(x)، اكتب y = f(x)، ثم استبدل x بـ y والعكس، واجعل ______ هو الموضوع.
بعد الاستبدال، حل من أجل y — هذا يعطيك f⁻¹(x).
الدوال المركبة
- $gf(x)$ تعني "نفذ $f$ أولاً، ثم طبق $g$ على النتيجة".
- $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$: $gf(x) = g(2x) = 2x + 3$.
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$. الترتيب مهم!
إذا كانت f(x) = 2x و g(x) = x + 3، فما هي gf(x) عند x = 5؟ (gf تعني تطبيق f أولاً)
gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13.
بالنسبة لـ f(x) = 2x و g(x) = x + 3، الدالتان gf(x) و fg(x) تعطيان نفس النتيجة.
gf(x) = 2x + 3، لكن fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6. الترتيب مهم.
حقيقة ممتعة
- دالة الهوية $I(x) = x$ تترك كل شيء دون تغيير. لأي دالة، $f \circ f^{-1} = I$ — تركيب دالة مع عكسيها يعيد المدخل الأصلي.
كل المنحنيات هنا دوال: لكل مدخل $x$، يوجد مخرج واحد فقط $y$.
لقد فهمت الأمر
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$؛ المجال = المدخلات، المدى = المخرجات
- العكسي $f^{-1}$ يلغي $f$: استبدل $x$ و$y$، ثم حل بالنسبة لـ $y$
- مركب $gf(x)$ = نفذ $f$ أولاً، ثم $g$; الترتيب مهم ($gf \neq fg$)